demonstração da area do circulo

demonstração da area do circulo

O Cálculo Integral nos permite calcular precisamente a área de um círculo de raio dado.

Em primeiro lugar, vamos estabelecer um sistema de eixos cartesianos, a fim de poder descrever a circunferência como o gráfico de duas funções:

Uma vez que é a equação da circunferência de centro na origem e raio r, podemos escrever:

ou .

A área da região delimitada pelo eixo horizontal e pelo gráfico de , ou seja a área de um dos semi-círculos, é dada por:

.

Uma vez que a função integrando é uma função par, podemos apenas calcular a área de um quarto do círculo, ou seja:

.

A fim de calcular a família de primitivas, isto é, , fazemos a substituição:

, para

temos:

.

Logo

pois se , e, além disso, .

Como

temos:

Logo,

.

Como é a área de um quarto do círculo, a área do círculo inteiro é .

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