fazendo derivadas na Calculadora HP

fazendo derivadas na Calculadora HP

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5 - DERIVADAS

Neste ensinaremos como se derivar uma função com a calculadora e trabalhar com essa função obtida; como plotar o gráfico de uma função e obter a derivada; como trabalhar com estes gráficos.

Vamos agora a definição de derivada .

Definição de Derivada

A derivada da função f é a função f’ definida por

( I )

para todo x para o qual o limite exista.

5.1 - TAXAS DE VARIAÇÃO

Falamos anteriormente que a derivada de uma função é o coeficiente angular da reta que tangencie esta função em um dado ponto. Mas será que é só isso? Não! Uma outra função interpretação muito importante das derivadas é a taxa de variação da função relacionada à variável independente.

Exemplifiquemos: Seja Q uma função que varie com o tempo, ou seja, a variável independente desta função é o tempo. Portanto Q = f(t).

Se diferenciarmos Q em relação a t obteremos a taxa instantânea de variação da função com relação ao tempo.

Vários são os casos, como Edwards & Penney ilustram em seu livro, onde podemos aplicar as taxas de variação:

- Velocidade instantânea de um corpo, no qual o movimento varia de acordo com o tempo.

- Número de habitantes de uma cidade, os quais crescem regidos em função do tempo.

- A quantidade de água em um reservatório com entrada e vazão variáveis.

- O número de reais em uma conta bancária.

Enfim, infinitas são as aplicações das taxas de variação.

5.2 - DERIVANDO COM A CALCULADORA

5.2.1 – Utilizando o menu symbolic

Vamos agora ensinar como derivar com a calculadora.

A opção para se diferenciar uma função está no menu “Symbolic” ( [] [9]).

Ao selecionarmos esta opção aparecerá um quadro com outras opções; selecionaremos a opção “Differentiate” .

Selecionando esta opção poderemos diferenciar as equações; coloque a barra na linha “Differentiate” e aperte [OK].

Aparecerá uma outra tela.

Repare que as opções para as teclas brancas são quase sempre as mesmas.

Neste menu de diferenciação aparecem três campos:

EXPR: que é o campo onde entraremos com a expressão a ser derivada.

VAR: no qual determinaremos a variável na qual a função será derivada.

RESULT: no qual aparecerão duas opções: “Symbolic” e “Numeric”. A opção “Symbolic” dará o resultado da expressão de uma forma simbólica, ou seja, a função derivada com as variáveis; já a opção “Numeric” dará a resposta de uma forma numérica. Se selecionarmos a opção “Numeric” aparecerá mais um campo, onde entraremos com o valor de x para o qual queremos determinar a derivada.

Será mais interessante trabalharmos com a opção “Symbolic”.

Repare que as opções dos outros menus que já trabalhamos, são bem parecidas com a deste menu de diferenciação. Mas aparece aqui uma opção que não tinha aparecido em nenhum outro, a opção [STEP]. Esta opção indicará os “passos” para você diferenciar uma função. Vamos dar um exemplo simples, para que seja bem clara a visualização:

Vamos diferenciar a função x2

Expr: X^2

Var: X

Result: Symbolic

Ficaremos com a tela:

Repare na opção [STEP].

Ficamos com a tela ao lado.

Que resposta é esta? Bom, ela está mostrando quais são os passos para se derivar a função x2.

Pela regra da potência generalizada, tomemos f(x)=x e r = 2. Teremos então:

Repare que foi a mesma coisa que a calculadora escreveu. A única diferença é a nomenclatura que a calculadora utiliza. O nosso é o “dX(X)” dela.

Vamos, agora, obter a derivada da função anterior ( x2 ).

Dentro do menu “Differentiate”.

Entremos com os dados:

EXPR: X^2

VAR: X

RESULT: Symbolic

E basta selecionar a opção [OK] para que a calculadora derive a função x2

A derivada da função aparecerá no nível 1. Podemos salvar essa equação em uma célula para vários fins, como por exemplo plotar o gráfico da derivada.

5.2.2 – Utilizando a opção [FCN]

Há um outro método de se obter a derivada de uma função; ao plotarmos uma função uma das opções que aparecem na tela é a opção [FCN] (abreviação de “function” – função).

Esta opção nos permite trabalhar com a função. A explicação do restante dos comandos está no APENDICE A.

A outra maneira de se derivar uma função seria plotar a tal função e depois selecionar a opção [F‘], que está dentro da opção [FCN].

Dos dois passos para se derivar uma função, o primeiro é fortemente aconselhável quando quisermos trabalhar com a função (utilizá-la para outro fim, salvá-la em alguma célula, etc); já o segundo será utilizado quando estivermos trabalhando com os aspectos gráficos das funções (pontos de máximo e mínimo, etc).

5.3 - MÁXIMOS E MÍNIMOS EM INTERVALOS FECHADOS

Vários são os casos onde precisamos determinar os valores máximo ou mínimo que uma função pode obter. O problema do reservatório de água apresentado anteriormente (seção 3.9) é um bom exemplo.

Naquele caso nos temos Área em função de y. Teremos um valor de y para o qual a área seja a menor possível, ou seja, teremos um valor de y para o qual a função Área tenha um ponto de mínimo.

Quando estivermos trabalhando com máximos e mínimos, por várias vezes, precisaremos determinar os zeros de uma função. Mas a calculadora somente dá o valor de uma raiz? Não, a calculadora dá o valor das outras. Segue-se alguns métodos para se obter o valor das outras raízes.

Se plotarmos o gráfico da função derivada podemos utilizar a opção [ROOT] (que está dentro do leque de opções [FCN], que aparece quando plotamos o gráfico). Com esta opção, lembre-se, podemos encontrar as raízes, desde que o cursor esteja devidamente posicionado (próximo da raiz). Ao determinarmos f’ podemos encontrar os pontos críticos da função f(x).

Para achar as raízes você também pode utilizar o “Solve equation”. Se você pedir para a calculadora resolver a função ela dará uma resposta. Caso você deseje outra resposta, no nosso caso para determinar outro valor de ponto crítico, será necessário que você de um “chute” inicial, para que a calculadora procure outro valor de raiz da função. Isto ocorre (a necessidade do chute) porque o método numérico que a calculadora utiliza necessita de um valor inicial para que ela comece a fazer os cálculos para achar o valor de x para que a função seja zero. Vocês irão aprender mais sobre este processo mais a frente, com o curso de Cálculo Numérico.

5.3.1 – Calculando pontos críticos

Exemplo 1 – Vamos calcular os valores dos pontos críticos da função:

f(x) =

Primeiramente vamos derivar a função; entre no menu “differentiate”.

Expr: X^3/3-4*X+3

Var: X

Result: Symbolic

Selecionamos [OK] e obtemos a função derivada no primeiro nível.

Repare que a calculadora está multiplicando e dividindo o “X^2” por 3. Há uma opção que a calculadora agrupa os membros da função.

Vamos a ela; o que a calculadora irá realizar será um “trabalho” com a função, para deixá-la mais “enxuta”. Selecionemos [] [Symbolic].

Aparecerão várias opções; repare na primeira, a opção [COLCT] (colect – coletar). Ao selecionarmos esta opção, a calculadora realizará operações de divisão e multiplicação e eliminará casos como este, de multiplicar e dividir pelo mesmo número ou variável.

Vamos a ela:

Repare agora, que a resposta que obtemos é “-4+0.999999999999*X^2”. O que aconteceu foi que a calculadora primeiro dividiu 1 por 3 e depois multiplicou esse resultado por 3. Isso já foi discutido anteriormente. O fato é: isso não importará significativamente para nossos cálculos.

Salvemos a derivada em uma célula [A].

[ `] [] [A] [enter] [sto]

Pronto, agora com a célula salva, entraremos no menu “solve equation”.

Agora, com a barra na linha EQ: selecione a opção [CHOOS]. Aqui iremos selecionar uma equação que esteja salva no diretório [HOME], ou em alguns de seus subdiretórios. Lembre-se que estamos sempre trabalhando com este diretório, e quando salvamos a equação derivada como célula [A], esta célula foi salva na raiz [HOME], ou em algum subdiretório. Pois bem, selecionemos a equação [A].

Ao selecionarmos a célula [A], ela vai para a linha EQ:.

Vamos agora selecionar a opção [SOLVE] para obtemos a resposta de que valor de x a função é igual a zero. Obtemos a resposta 2.

A resposta é um valor de um ponto crítico da função f(x) = .

Mas repare que ainda falta um valor, pois a função derivada é um polinômio do segundo grau e, portanto, temos duas raízes. Agora, teremos que “chutar” um valor para x.

Coloque –1 e, com a barra negra na linha [X]: selecione [solve].

Obtemos a resposta –2, que é a outra raiz da equação x2 – 4.

Obtemos que os pontos críticos tem os valores de x igual a 2 e –2.

Para calcularmos o y dos pontos de máximo e mínimo basta substituirmos os valores de x encontrados (2 e –2) na primeira equação () e obtermos os valores de y.

5.3.2 – Analisando graficamente pontos críticos

Vamos agora plotar o gráfico da função f(x) e de sua derivada e analisar o que está acontecendo.

EQ:X^3/3-4*X+3

Indep: X

<: RAD

H-view: -5 a 5

V-view: –10 a 15

Repare que neste caso, teremos um ponto de máximo e de mínimo locais. Vamos agora, plotar o gráfico da derivada desta função. Dentro de [FCN] vamos escolher a opção [ F’]. Obtemos o gráfico:

Temos no gráfico da esquerda, apenas as duas funções traçadas (f(x) e f’(x)). O gráfico da direita mostra que quando o valor da função f’(x) = 0 (neste caso) nós temos um ponto de máximo ou de mínimo em f(x); mas o fato de termos f`(x) = 0 (genericamente) não implica em máximo ou mínimo, e sim em ponto crítico. Este ponto crítico pode, aí sim, ser de máximo, mínimo ou um ponto de inflexão.

5.4 - ATIVIDADE 1

1) Derive as funções abaixo:

a)

b)

c)

d)

2)Plote os gráficos das funções e das derivadas das funções do exercício 1.

Vamos agora falar de aplicações para os máximos e mínimos.

5.5 - PROBLEMAS APLICADOS DE MÁXIMO E MÍNIMO

Vários são os casos em que temos que determinar o valor mínimo ou máximo de uma função, para, com este valor, melhorarmos ou criarmos um sistema sem desperdício, ou seja, com a melhor utilização do material que dispomos para obtermos o melhor resultado possível.

Exemplo 1 – (Edwards & Penney, Vol. 1, 4ª edição,) Um fazendeiro tem 200m de cerca para construir três lados de um cercado retangular; um muro longo, retilíneo, servirá como o quarto lado. Que dimensões maximizarão a área do cercado?

Queremos maximizar a área A do cercado do esquema ao lado.

Seja:

A = xy

Vamos deixar a variável A em função de x ou de y. Optamos por x; Logo y tem de ser expresso em função de x.

Podemos então escrever:

A(x) = x(200-2x) = 200x – 2x2

E qual é o domínio de x? Veja bem, a soma 2x + y = 200 terá valor máximo de x quando y for zero, ou seja, x=100. Já, o valor mínimo de x será quando y valer 200, então x = 0. Temos então .

Vamos agora derivar a função A em relação a x.

Expr: 200*X-2*X^2

Var :X

Result: Symbolic.

Obtemos o resultado na figura ao lado:

Salvemos a equação na célula [A].

[ ` ] [] [A] [sto]

Agora no menu Solve equation vamos procurar o valor de x para f’(x) = 0.

Obtemos o valor de x= 50m. Determinamos então que quando x = 50 temos um ponto crítico; e este ponto crítico é único pois f’(x) é uma equação do primeiro grau.

Devemos então calcular o valor de A para o ponto crítico e para as extremidades 0 e 100.

A(0) = 0

A(50) = 5000

A(100) = 0

Vemos que o valor máximo para área se dá quando x = 50m. Pela equação vemos que y = 100 quando x = 50. Portanto, o ponto de máximo da função A é (50,100).Tracemos o gráfico para enxergarmos o que está acontecendo:

EQ: 200*X-2*X^2

Indep: X

H-view : 0 a 100 (domínio da função)

V-view : -1000 a 6000

Vamos traçar no mesmo gráfico a derivada da função e pedir o valor da raiz, através da opção [ROOT].

Podemos também pedir para a calculadora traçar a reta tangente à função área nesse ponto, onde x=50. Certifique-se que você está trabalhando com a função A. Você pode fazê-lo selecionando a opção [VIEW] dentro de [FCN] que lhe mostrará a função que você está trabalhando ou com a opção [NEXT] também dentro de [FCN] que alternará as funções que você está trabalhando. Sempre que selecionar esta opção, aparecerá na parte inferior da tela, por alguns segundos, a função para qual a calculadora alternou.

Pois bem, no ponto x=50 vamos, através da opção [TLINE] traçar a tangente à função A. Obtemos o gráfico:

Repare que o coeficiente angular (que é a derivada da função) é zero no ponto de máximo (por este motivo procuramos as raízes de f’(x)).

5.6 - ATIVIDADE 2

Problemas com máximos e mínimos. Seria bom se você plotasse o gráfico da função f(x) e de f’(x) e analisasse o que estaria acontecendo com os pontos de máximo e mínimo.

(Parte 1 de 2)

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