Matemática Básica Coleção Fundamental 4

Matemática Básica Coleção Fundamental 4

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Apostila de Matemática Básica

Assunto:

MATEMÁTICA BÁSICA Coleção Fundamental - volume 4/8 b) Passando inicialmente os números para a forma retangular, j j j j z z z

Temos também que:

xy 0 z z +

gráfico do obtidos Valores 6,7

Resolva a equação 21θ

=−je para pi≤θ<pi− e verifique a solução geometricamente3

Solução: Temos que:

onde θ+θ==sencosθ1jjez e donde,

2sen1cos2cos 2sen1cos

2sen1cos

2sen1cos21sencos

rad

Substituindo na equação (*), verificamos que somente o valor rad pi=θ é compatível.

A verificação gráfica é imediata, visto que 21zz− é a distância entre os pontos definidos pelos complexos 1z e

Sendo θ1 jez = , temos que

, e o lugar geométrico representado por 1z , quando θ varia ao longo do intervalo pi≤θ<pi− , é uma circunferência de raio unitário centrada na origem.

Sendo 12 =z , a situação é a representada na figura a seguir:

É fácil verificar que teremos 221=−z quando θ assumir o valor rad pi .

b) Multiplicação A multiplicação de grandezas na forma retangular é dada por:

21221121yxyxyyxxyxyxzz +++=++= j

Lembramos que 12 −=j segue-se que:

Já na forma exponencial,

== j ezzezezzz

o que nos permite então escrever:

θ+θj

Conclusões: 1.ª) Da equação (63) temos que:

2121z =

2.ª) Para θ=+= j ezyxz e vale então estabelecer a seguinte equação:

θ−θ= j ezezzz ..

ou seja,

3.ª) Também não é difícil mostrar que

Exemplo 1.19 Multiplicar os seguintes números complexos:

Solução:

pipipi eeezzb)

Passar o número complexo 652 pi− j e para as formas polar e cartesiana.

Solução:

Este é uma excelente exemplo, pois, lembrando a forma exponencial de um complexo, θ= jezz , parece que estamos diante de um absurdo, qual seja um numero com módulo negativo. Acontece que aí não existe módulo negativo, mas sim uma “multiplicação implícita”, conforme veremos a seguir:

devemos pois usual é não que é a forma polar. A forma cartesiana é facilmente obtida à partir da forma polar, ou seja:

Observação: As calculadoras eletrônicas estão em um estágio de desenvolvimento tão elevado que, aquelas que tem as rotinas RET → POL e POL → RET, assimilariam a transformação 2− º150 diretamente para a forma cartesiana, pois, quando se entra com

2−=z , o software da calculadora entende que isto não é simplesmente módulo, e que existe uma multiplicação implícita. Está duvidando? Pois então pegue uma e execute a operação! a) Divisão

A divisão de duas grandezas complexas, 2

, é definida como 321 .z =

Em coordenadas retangulares temos:

yx yx yx yx yxzz j

onde o processo de racionalização foi efetuado utilizando-se o complexo conjugado do denominador.

Finalmente, yxyx yx yyxxz z j

(68) e na forma exponencial, θθ == j j e z ez ezz

o que nos conduz a z e

Conclusões: 1ª) Da equação (69) concluímos que:

(71)

2ª) Não é difícil mostrar que

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