Apostila de Álgebra Linear

Apostila de Álgebra Linear

(Parte 1 de 8)

Álgebra Linear Prof.: Denilson Paulo

Álgebra Linear - Profa Ana Paula

Definição: Conjunto de números dispostos numa forma retangular (ou quadrada). Exemplo:

A matriz A é retangular 3x2, ou seja, possui 3 linhas e 2 colunas. A matriz B é uma matriz-coluna 3x1, ou seja, possui 3 linhas e 1 coluna. A matriz C é uma matriz quadrada _x_, ou seja, possui _ linhas e _ colunas. A matriz D é uma matriz quadrada _x_, ou seja, possui _ linha e _ coluna. A matriz E é uma matriz-linha _x_, ou seja, possui _ linha e _ colunas.

De uma forma geral, uma matriz Amxn tem m linhas e n colunas, sendo m e n as suas dimensões e sua representação genéricaéas eguinte:

a11 a12a1n
a21 a22a2n
am1 am2amn

Usamos as palavras "tamanho" ou "dimensão" ou "ordem" para dizer quantas linhas e colunas uma matriz possui. Use-se letra maiúscula para representá-la:

Cada elementod am atriz A ér epresentada pelam esma letrae m minúsculoeés eguido de dois números subscritos, sendo o primeiro deles o número da linha onde o elemento se encontra e o segundo o número da coluna, ou seja, o elemento a23 encontra-se na segunda linha e terceira coluna.

Exercício 1: Dadas as matrizes:

Aula 1

Matrizes Especiais Matriz nula: é a matriz de qualquer tamanho com todos os seus elementos iguais a zero.

Um elemento qualquer de uma matriz nula é dado por aij = 0 para todos i e j.

Obs: Usa-se a notação A = 0 para matriz nula. Não confundir com o número zero!!!

Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. Neste caso, diz-seq ueam atriz é de ordem n, ondenéon úmerod el inhas e colunas da matriz.

.Nestee xemploam atriz A é de ordem 3.

Matriz diagonal: é uma matriz quadrada que possui todos os elementos fora da diagonal principal nulos.

Um elemento qualquer de uma matriz diagonal é dado por: aij = 0 se i ≠ j d se i = j onde d ∈ R.

Obs: 1. Os elementos a11,a22,a33,..., ann constituem a diagonal principal de uma matriz quadrada.

Exemplo: Marque os elementos da diagonal principal: A = 7 −41

2. Os elementos da diagonal principal podem ser quaisquer números, inclusive zero. Porém, se a diagonal principal for constituída toda de zeros, matriz passará ser uma matriz nula.

3. Se A é uma matriz quadrada, então Traço é soma dos elementos da diagonal principal, isto

é, a11 + a22 + a33 ++ann. O traço não está definido se a matriz A não for quadrada.
Notação: trA = a11 + a22 + a33 ++ann =

n ∑ akk

Exercício 2: Encontre o traço da matriz B = 12 3

Aula 1

Matriz identidade: é uma matriz diagonal que possui todos os seus elementos não-nulos iguais a 1. É geralmente denotada pela letra I.

Um elemento qualquer de uma matriz identidade é dado por: aij = 0 se i ≠ j

ej = 1,,n.

Exercício 3: Escreva as matrizes identidade de ordem 2 , 4 e 5.

Matriz transposta: a matriz transposta relativa a matriz Amxn é definida através da seguinte relação:

aijT = aji, para todo i e todo j.

, então sua transposta será

Exercício 4: Usando as matrizes do exercício 1, determine: a) Os elementos da diagonal principal da matriz D. b) O traço da matriz de D. c) BT d) CT 3

Aula 1

Matriz simétrica: é uma matriz quadrada cujos elementos obedecem a seguinte relação:

Exemplo:Am atriz A = 7 −14 é simétrica, pois A = AT.Verifique encontrando a

matriz transposta de A,A T = .

Matriz anti-simétrica: a matriz anti-simétrica relativa a matriz Anxn é definida através da seguinte relação:

é uma matriz anti-simétrica.

Observe que os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica devem ser todos nulos. Por quê???

Vetores: é um caso especial de matrizes, onde uma das dimensões é unitária (igual a 1).

é um vetor coluna e E = 51 1x2 é um vetor linha.

Matriz triangular Inferior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos acima da diagonal principal são zeros é chamada de matriz triangular inferior.

Um elemento qualquer de uma matriz triangular inferior é dado por: aij = 0 se i < j d se i ≥ j onde d

Matriz triangular Superior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros é chamada de matriz triangular superior.

Aula 1

Um elemento qualquer de uma matriz superior é dado por: bij = 0 se i > j d se i ≤ j onde d ∈ R.

Propriedades: 1. A transposta de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular superior. 2. A transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior.

Exercícios 5: Quais das matrizes são simétricas e quais são anti-simétricas?

Operações com Matrizes

Igualdaded em atrizes Duas matrizes A e B são iguais, se e somente se aij = bij, elemento por elemento.

Exemplo:S e A = B e A = 3 x

Exercício 6: Dadas as matrizes A = 21

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