Funções de Várias Variáveis

Funções de Várias Variáveis

(Parte 1 de 2)

Notas de aula --- Parte I FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Escritas pelo Professor Wilson Canesin

Utilizada na disciplina Matemática C para o curso de Ciências Aeronáuticas da Universidade Braz Cubas

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

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1- FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Em muitas situações práticas, o valor de uma certa quantidade, depende dos valores de duas outras ou de três outras. Então, é usual representar estas relações como funções de várias variáveis.

Por exemplo, numa fábrica, uma quantidade chamada de produção (P), depende do número de homens-hora (L) e do número de máquinas (K) , usadas para produzir algum produto. A representação funcional dessa relação é

P = f( L, K)

O mesmo conceito se estende para qualquer número de variáveis.

1.2 – Funções de duas variáveis Seja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano) . Chama- se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) ε D, um único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio da função. Assim, D é o domínio da função em R2 , f é a função f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y).

Ex.1-se f(x,y) = x2 + 2y , então f(2,3) = 2 +2.3 = 10
Ex.2-f(x,y) = (3x+y3)1/2 f(1,2) = (3.1+23)1/2 = 3,32

Exemplos de valores de função de 2 variáveis:

Domínio das funções de duas variáveis O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio de funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região D ε R2 , tal que os valores calculados da função,para todo (x,y) ε D resultem em valores finitos e reais para f(x,y).

Ex.1- Achar o domínio da função f(x,y) =xy−

A condição de existência dessa função é y-x ≥0 (real) , portanto o seu domínio é D ={ (x,y) ε R2 / y - x ≥ 0 }.

y zx

(x,y)D

f(x,y)

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Ex.2 – Ache o domínio da função f(x,y) = yxx −2 2

, a função é finita quando 2x-y≠ 0. Assim, domínio D ε (xy) é o conjunto de pontos, tais que,

D ={ (x,y) ε R2 / y ≠ 2x }.

Ex.3 - Ache o domínio da função f(x,y) =

2 , a função é finita quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que,

D ={ (x,y) ε R2 / 3x - y > 0 }.

1.3 - Gráfico de uma função de 2 variáveis

Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é no plano x,y e y=f(x).

Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R3 e z = f(x,y). Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3.

z x

A superfície é obtida para cada par x,y , fixando um valor de x e variando y, em seguida fixa um 2o valor de x e varia y , depois fixa um 3o x e varia y ,etc., até variar x e y em todo o domínio.

X Y 0 0 0 1 0 2 0 3 1 0 1 1 1 2 1 3 2 0 2 1 2 2 2 3 3 0 3 1 X

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Exemplos de funções de 2 variáveis: Ex.1 – A função é z = f(x,y) = 5

Ex.2 - A função é z = f(x,y) = 6 – 2 x + 3 yEsta função pode ser

escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é so fazer :

a) x =0 e y =0 → z = 6 b) x =0 e z = 0 → y = 2 c) y =0 e z = 0 → x = 3

A superfície é um plano infinito, paralelo a x,y e passando por z=5

Portanto, o gráfico de f no plano é ⇒

A superfície é um parabolóide de revolução.

A superfície gerada é uma semi-esfera de centro na origem.

Ex. 4 - A função é

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1.4 – Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por

0 yxyx Lyxfmil → =

Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0 , y0), dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma.

Nas funções abaixo o limite existirá sempre,com exceção nas restrições.

Ex. 1f(x,y) = x2 + y2 – xy , é contínua para todo par x,y
Ex.2f(x,y) = x3y2 –xy + y3 + 6, contínua ∀ x , y
Ex.3f(x,y) =1
yxé contínua ∀ x.y ≠ 1 ou y ≠ 1/x
Ex. 4f(x,y) =yx
yx−+é contínua se ∀ x ≠ y

y D

X y D y = x

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Ex.5f(x,y) = ln(x-y) é contínua ∀x,y tal que x - y > 0
ouy > x
Ex.6f(x,y) = 221yx−− é contínua se 1-x2-y2 ≥ 0 ,ou x2+y2 ≤ 1
Ex.7f(x,y) = xy/1− a função é contínua se y – 1/x ≥ 0 , y ≥ 1/x

Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 2 Que resulta no gráfico:

y > x y

O domínio é uma circunferência de centro na origem e de raio r ≤ 1 y x

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1.5 – Derivadas de Funções de 2 Variáveis

A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é que , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y) , sua derivada em relação a x é

),(),(yxfyxxff−∆+=∆incremento da função
∆),(),(taxa de variação da função

Analogamente , se mantivermos agora o valor de x constante a derivada parcial em relação a y é

1.6 – Interpretação geométrica da derivada parcial

Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. Nas funções do tipo f(x,y) de duas variáveis, a derivada em relação a x, mede a inclinação da reta tangente à superfície, no ponto dado (x0 ,y0,z0) e numa seção paralela ao eixo x, com y constante, e numa seção paralela a y e com x constante.

),(yxfxfxfx=∂∂=∆∆Derivada parcial em x

y x0 x

Assim, tanα = fx(x0,y0) = ∂ f / ∂x tanβ = fy(x0,y0) = ∂ f / ∂y l i m ∆x→0

Derivada parcial em y

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Número Função f = f(x,y) Derivadafs = ∂f/∂s , s = x,y
1 f = k( k = constante) fs = 0 (derivada de 1 const.)
2 f = xou f = y fs = 1 s = x ou y
3 f = un; u = f(x,y) Ds un = n un-1 us , us=∂u/∂(x,y)

TABELA DE DERIVADAS (adaptada p/derivadas parciais)

4 f = nmu Ds n msn m u un umu=

5 f = ln u Ds ln u = u us

6 f = lga u Ds lga u = au u sln

7 f = au Ds au = au lna us 8 f = eu Ds eu = eu us 9 f = u v fs = v us + u vs

10 f = u / v, us=∂u/∂(x,y) fs =(v us – u vs ) / v2

1 f = senu fs = cosu .us 12 f = cosu fs = -senu .us 13 f = tanu fs = sec2u .us 14 f = secu fs = secu.tanu.us 15 f = cscu fs = -cscu.cotu.us 16 f = cotu fs = -cotu.cscu.us

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1.6.1- A técnica de Derivadas Parciais

A derivada parcial em relação a "x" , considera y como constante, enquanto que a derivada parcial em relação na "y" considera x como constante.

fy = ∂ f / ∂ y → x=constante Ex.1- Derivar a função f(x,y) =3 x3y2

fx = ∂ (3x3y2) / ∂ x = 9x2y2fy = ∂ (3x3y2) / ∂ y = 6x3y
fx = ∂ ( x2 + y2) / ∂ x = 2xfy = ∂ (x2 + y2) / ∂ y = 2y

Ex.2 - Derivar a função f(x,y) = x2 + y2

f = u / v, u =x e v = x2 + y2 fs = [ v us – u vs ]/v2
fx =[(x2 + y2).1 – x. 2x]/( x2 + y2)2 = (y2-x2)/(x2 + y2)2
fy =[(x2 + y2).0 – x. 2y]/( x2 + y2)2 = -2xy/(x2 + y2)2

Ex.3 - Derivar a função f(x,y) =x /( x2 + y2 )

Ex.4 – Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da superfície z = 4 x2 y -xy3 , com o plano y=2 no ponto (3,2 ,48). Solução: Para derivar em relação a x, mantém y constante.

mas no ponto x=3 e y=2 , tem-se

Ex. 6 – Calcular a inclinação da tangente à interseção da superfície z = x3 + y2 +2xy, com plano y = 1 no ponto (1,1,4).

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Ex. 7 – Achar as derivadas parciais da função f(x,y) =( x2 + y3).senx

1.7 – Diferencial total de uma função de 2 ou mais variáveis

A condição para que uma função seja diferenciável é que suas derivadas parciais existam. Assim, dada a função z = f(x,y) , sua diferencial total é :

Ex.1 diferenciar a função z = 3x3y2 – 2xy3 +xy –1

xf∂∂ = 9x2y2 – 2y3 +ye yf∂∂ = 6x3y – 6xy2 + x

assim, a diferencial da função é

A função de várias variáveis é diferenciável se suas derivadas parciais forem contínuas. A diferencial de uma função F(x1,x2,...xn) de n variáveis é:

dF = 11dxxF∂∂+22dxxF∂∂++nndxxF∂∂= ∑=∂

i i dxxF 1

Ex.2-Calcule a diferencial da função F(x,y,z) =2x+3xy-2zy Fx = 2+3y ; Fy = 3x-2z ; Fz = -2y

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Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 27 dF = (2+3y) dx +(3x-2z)dy –2ydz

1.8 – Derivada de funções compostas

Seja a função f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t) . A derivada desta função em relação a “t” é td ydyf td xdxf td fd∂∂+∂∂=

onde x(t) = et e y(t) = t3

Ex.1 Calcular a derivada da função F(x,y) = x2 + 3y –5 , a) A função pode ser posta em função de t , F(t) = e2t +3t3 – 5

E a derivada dF/dt = 2 e2t + 9t2 b) Calcula-se pelas derivadas parciais

xf∂∂= 2x ; yf∂∂ = 3 ;=
xdet ;=

td yd 3t2

Assim

Fd = 2x.et + 3.3t2 = 2 et + 9t2

Se a função tiver mais de 2 variáveis, f(x1,x2,...xn), onde x1(t), x2(t),...xn(t) , são funções de t, então a sua derivada em relação a “t” é dada pela regra da cadeia td xdxfdt df i td xdxf td xdxf td xdx f n

n∂∂++∂∂+∂∂21
fx = 2 , fy = 3 , fx = -2 ,dx/dt =cost ; dy/dt =et ; dz/dt = 2t

Ex.2– Dada a função f(x,y,z) = 2x+3y-2z , onde x=sent, y=et e z =t2 tet

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Exercícios propostos: achar as derivadas df/dt

1) f(x,y,z) =x+x2y+3xyz , com x=sent ; y= cost e z= t3 2) f(x,y,z) =ex+y+z , com x=t2 ; y= t3 e z = t-1 3) f(x,y,z) =x2y+3yz2 , com x=1/ t ; y= 1/ t2 e z =1/ t3

1.9 – Derivada de uma função implícita de 2 ou mais variáveis

Uma função está na forma implícita, quando não está resolvida para uma variável específica. As funções resolvidas para uma variável são chamadas de explícitas. Exemplo, y = f(x), z = f(x,y) . Na forma implícita seria f(x,y)=0, f(x,y,z) =0, etc.

A derivada de uma função implícita do tipo f(x,y)=0, em relação a x é

f→ 0=∂∂+∂∂dxdyyfx
ou,

Ex.1 – Derivar a função f(x,y) = 2x2 + 5y3 + 2 =0 usado, diretamente a fórmula acima, f x

Ex.2 – Derivar a função f(x,y) = 4y2 – 6xy = 0 xy y f x

Para mais de 2 variáveis, F(x,y,z) = 0Fazendo u = f (x,y,z) e

diferenciando, e após algumas considerações teremos yxf f f x

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Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 29 zf xfxz ∂∂ zf yfyz ∂∂

Exercícios propostos: Derivar as funções implícitas e achar xz∂∂ e yz∂∂, nas expressões abaixo

1) 2 x3- 4 y2 – 6 z = 0 2) x2 + xy2 + xyz3 –3 =0

1.10 – Derivadas parciais de segunda ordem

parciais são fx =∂f /∂x e fy = ∂f /∂ySe derivarmos essas derivadas

Se f é uma função de duas variáveis x e y, suas derivadas mais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem, que são representadas por

Quando a função e suas derivadas são contínuas, as derivadas cruzadas são iguais , ou seja fxy = fyx .

fx =∂f /∂x = 8x – 6ye fy = ∂f /∂y = 6y – 6x

Ex.1 – Calcular as derivadas de f(x,y) = 4x2 +3y2 – 6xy zxff

e

zyff

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fx∂∂== 8 ;;
= -6
= -6;

= -6

fx =∂f /∂x = 2e2x+5yfy = ∂f /∂y = 5e2x+5y

EX.2 - Calcular as derivadas de f(x,y) = e2x+5y

fx∂∂== 4e2x+5y;
= 10e2x+5y
= 10e2x+5y ;
= 25e2x+5y

EX.3 - Calcular as derivadas de f(x,y) = ln(x2+y2)

yxx+; fy = ∂f /∂y = VU
xy+−;

VUUV y −

yxxy+−;

yx yx+−

Note que fxy = fyx

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1.1 – Derivadas Parciais de Funções de Várias Variáveis

As derivadas parciais têm a mesma definição já vista para 2 variáveis e são representadas da mesma forma. Exemplos:

1) f(x,y,z) = x2 + y3 +z2x

fx = 2x+z2 ;fy = 3y2 ; fz = 2zx

2) f(x,y,z,t) = ln( 2x + 3y - z2 + t2 )

tzyx+−+ ;fy = 22323
+−+−; ft = 22322
+−+

fz = 22322 tzyx z tzyx t

Exercícios propostos - Derivar as funções: 1) f(x,y,z) = 3x+5y-6z 2) f(x,y,z) = 2xy+2xz+3yz

3) f(x,y,z) = zx yx −+

4) f(x,y,z) = xyz

5) f(x,y,z) = (x2+2y-3z)3 6) f(x,y,z,t) = 2x-3zt 7) f(x,y,z,t) =ln(3x2+5y2-zt3)

1.12 – Derivadas de Ordem Superior

Seja a função f de n variáveis x,y,z,...r,s,t . As suas derivadas de ordem superior são calculadas a partir de suas primeiras derivadas.

fx ,fy,...fr,fs,ft , ou seja fxx ,fxy,...fxt ; fyx,fyy,...,fys,fyt , etc.

Ex.1 –f(x,y,z) = x2 + 4xy2 – 3y2z3
fx = 2x + 4y2 ; fxx =2; fxy = 8y ; fxz = 0
fy = 8xy – 6yz3 ; fyx = 8y ;fyy= 8x – 6 z3 ; fyz =-18yz2

fz = -9y2z2 ; fzx = 0 ; fzy = -18yz2 ; fzz = -18y2 z

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Ex.2 – Calcule as derivadas de ordem superior da função : f(x,y,z) = ln(xy2z3) .Lembrando que Ds lnu = us /u e Dsun =unn-1us

fxy = 0 ;fxz = 0
fy = 2xyz3/xy2z3 = 2 / y ;fyx = 0 ; fy = )2(1−∂∂y
fz = 3xy2z2 / xy2z3 = 3 / z ; fzx = 0 ;fzy = 0 ; fzz = -3 /z2
1) f(x,y,z)=2xy+3xz+4yzResp. fx =2y+3z , fy = 2x+4z , fz=3x+4y
fxx=0 ; fxy=2 ; fxz=3
f yx=2 ; fyy=0 ; fyz=4
fzx=3 ; fzy=4 ; fzz = 0

EXERCÍCIOS -Derivar as funções a seguir (c/respostas)

2) f(x,y,z) = zy yx−+ ; fx= 1/(y-z) ; fy=-(z+x)/(y-z)2 ; fz=(x+y)/(y-z)2

fyz=(2x+y-z)/(y-z)3; fzx=1/((y-z)2 ; fzy = fyz ;fzz =2(x+y)/(y-z)3

fxx=0 ; fxy=-1/(y-z)2 ; fxz=1/(y-z)2 ;fyx=-1/(y-z)2 ; fyy=2(z+x)/(y-z)3 ;

;fyy=24(x+2y+3z) ; fyz= 36(x+2y+3z) ; fzx= 6(x+2y+3z) ; fzy= 12(x+2y+3z)

; fzz= 18(x+2y+3z) . 4) f(x,y,z)=xyz=(xyz)1/2 ; fx=(1/2).yz(xyz)-1/2 ; fy=(1/2).xz(xyz)-1/2

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5)f(x,y,z,t) = ln(2x2+y2-zt2) ; fx=4x/(2x2+y2-zt2) ; fy=2y/(2x2+y2-zt2)

fxy=-8xy/( (2x2+y2-zt2)2 ; fxz=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fyx=-8xy/(2x2+y2-zt2)2;

6) f(x,y,z) = sen(x2+xy+yz2) ; fx = -(2x+y)cos(x2+xy+yz2) ; fy=-(x+z2)cos(x2+xy+yz2) ; fz=-2yzcos(x2+xy+yz2);

fxz = 2yz(2x+y)sen(x2+xy+yz2); fyy= (x+z2)2sen(x2+xy+yz2)

fxx = -2.cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)2sen(x2+xy+yz2) fxy = -cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)(x+z2)sen(x2+xy+yz2) fyx = fxy ; fyz = -2zcos(x2+xy+yz2)+2yz(x+z2)sen(x2+xy+yz2) ; fzx=fxz ; fzy =fyz ; fzz =-2ycos(x2+xy+yz2)+(2yz)2sen(x2+xy+yz2)

7) f(x,y,z) =

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1.13 – Máximos e mínimos para funções de duas variáveis

Uma importante aplicação do estudo de derivadas parciais, é a da otimização de funções. Otimizar uma função, significa encontrar seu desempenho máximo ou mínimo. Como para as funções de uma variável, quando as derivadas primeiras forem nulas, teremos pontos extremos que podem ser máximos ou mínimos. Para saber de que tipo são esses pontos, teremos de utilizar o determinante Hessiano calculado no ponto (x0,y0 ), que é definido a seguir.

xyxx f

Assim , Se as derivadas fx e fy forem nulas, o ponto(x0,y0) é um extremo, e

a)H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) <0 então (x0,y0) é um máximo.
b)H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) >0 então (x0,y0) é um mínimo.
c)H(x0,y0 )<0 então (x0,y0) é um ponto de sela.
d)H(x0,y0 )= 0 o teste é inconclusivo.
Os pontos P eQ são pontos

T de máximo, porque qualquer deslocamento em sua vizinhança, irá descer. O ponto S é uma sela porque nos sentidos SP e SQ sobe, mas no sentido SL ou ST desce.

F(x,y)

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Ex.1 Para o projeto de uma calha, tem-se uma folha metálica de 12cm de largura, a qual deseja-se dobrar de forma a se ter uma capacidade máxima.

A área da seção da calha é a área do retângulo, mais a área dos dois triângulos.

A = f = (1/2).xcosθ.xsenθ. 2 + x senθ.(12-2x)(a)

f(x, θ) = x2 cosθsenθ + 12xsenθ -2x2senθ

Estudar os extremos (máximos e mínimos) da função. fx = (∂ f / ∂x) = 2xsenθcosθ + 12senθ - 4xsenθ=0

2xcosθ = 4x – 12ou cosθ = 2-6/x
= x ( 2cos2θ - 2cosθ-1)+12cosθ

fθ = (∂ f / ∂θ ) = x2 cos2θ + 12xcosθ - 2x2 cosθ=0 substituindo o valor cosθ = 2 – 6/x na 2a equação e resolvendo, encontra-se x = 4 que resulta cosθ =2-6/4=1/2

cosθ = ½→ θ = 60o

O resultado é tão razoável, que omitimos o teste das 2as derivadas, também pó causa do trabalho que estas dariam. Mas para ter certeza podemos calcular a área (a) para valores de x e θ abaixo e acima destes e confirmaremos se a capacidade é ou não máxima.

sen2θ = 2senθcosθ =2 cos2θ - 1 cos2θ =cos2θ - sen2θ = 2cos2θ -1 x x x senθ y cosθ

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Ex.2 – Achar os extremos da função

f(x,y) = sen[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y) + 4,5]. Calculando as primeiras derivadas , tem-se:

Como o cos(...) é diferente de zero(para não dar uma solução nula) então quem deve ser zero são : 0,045 x – 0,45 = 0 , e 0,045 y – 0,45 = 0 , que resulta x = 10 e y =10 . Para verificar se o ponto é de máximo ou de mínimo calcula-se as segundas derivadas.

fxx = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(…). 0,045 fyy = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(…). 0,045

Então, calculando-se essas derivadas no ponto x = y =10, tem-se: fxx + fyy > 0 que corresponde a um ponto de mínimo da função.

máximo

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Substituindo os valores x = y = 10 na função f(x,y) vemos que vai dar zero, e portanto a função tem um mínimo nesse ponto. Isso é confirmado pelo gráfico tridimensional da função.

M Gráfico 3D da função seno

exemplo 2, para uma exponencial

Ex.3 – Achar os extremos da função, com os mesmos valores do fxx = [-0,045 x+ 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y) fxx = [-0,045 y + 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y) No ponto x=y=10, tem-se:

(Parte 1 de 2)

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