Introdução às Equacões Diferenciais Parciais

Introdução às Equacões Diferenciais Parciais

(Parte 1 de 11)

Notas de Aula

Introducao as Equacoes Diferenciais Parciais

Rodney Josue Biezuner 1

Departamento de Matematica

Instituto de Ciencias Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

Notas de aula da disciplina Introducao as Equacoes Diferenciais Parciais dos Cursos de Bacharelado em Matematica e Matematica Computacional, lecionada pelo autor durante tres semestres entre 2005 e 2007.

12 de outubro de 2007

1E-mail: rodney@mat.ufmg.br; homepage: http://www.mat.ufmg.br/∼rodney.

Sumario

0.1 Conducao do Calor em uma Barra5
0.1.1 Modelagem Fısica e Matematica do Problema5
0.1.2 Algumas Formas mais Gerais para a Equacao do Calor9
0.1.3 Condicao Inicial e Condicao de Fronteira10
0.1.5 Exercıcios15
0.2 Leis de Conservacao e Relacoes Constitutivas15
0.2.1 Lei de Conservacao Unidimensional15
0.2.2 Lei de Conservacao em Varias Dimensoes17
0.2.3 Relacoes Constitutivas18
0.2.4 Exercıcios19

0 Introducao 5 0.1.4 Solucao do Modelo Matematico: O Metodo de Separacao de Variaveis e Series de Fourier 1

1.1 Propriedades das Funcoes Seno e Cosseno20
1.1.1 Periodicidade20
1.1.2 Relacoes de Ortogonalidade2
1.1.3 Produto Interno no Espaco das Funcoes Quadrado-Integraveis23
1.1.4 Exercıcios24
1.2 Calculo dos Coeficientes da Serie de Fourier25
1.3 Teorema de Fourier27
1.3.1 Existencia da Serie de Fourier28
1.3.2 Funcoes Contınuas por Partes28
1.3.3 O Teorema de Fourier30
1.3.4 Estimativa dos Coeficientes de Fourier3
1.3.5 Series de Fourier de Funcoes Pares e Impares36
1.3.6 Extensoes Periodicas Pares e Impares de Funcoes Definidas em Intervalos38
1.3.7 Exercıcios40
1.4 Convergencia da Serie de Fourier43
1.4.1 Convergencia Puntual da Serie de Fourier: Demonstracao do Teorema de Fourier43
1.4.2 Diferenciacao e Integracao Termo a Termo da Serie de Fourier48
1.4.3 Desigualdade de Bessel53
1.4.4 Convergencia Uniforme da Serie de Fourier5
1.4.5 Identidade de Parseval57
1.4.6 Sistemas Ortogonais61
1.4.7 Exercıcios62

Rodney Josue Biezuner 2

2.1 Existencia, Unicidade e Estabilidade da Solucao para o Problema de Dirichlet63
2.1.1 Existencia de Solucao para o Problema de Dirichlet65
2.1.2 Princıpio do Maximo70
2.1.3 Unicidade e Estabilidade de Solucoes para o Problema de Dirichlet Geral71
2.2 Problema de Dirichlet Nao Homogeneo73
2.3 Problema de Neumann74
2.4 Problema de Robin76
2.5 Unicidade de Solucao para os Problemas de Neumann e Robin79
2.6 Problemas Gerais81
2.6.1 Equacao do calor nao-homogenea com fonte independente do tempo81
2.6.2 Equacao do calor nao-homogenea com fonte dependente do tempo83
2.6.3 O problema geral84
2.7 Alguns problemas especıficos de conducao do calor85
2.7.1 Problema da barra com conveccao de calor em um extremo85
2.7.2 Condicoes de fronteira de Robin complexas87
2.7.3 Problema do anel circular fino87
2.8 Solucao da Equacao do Calor em R – Nucleo do Calor8
2.8.1 Solucao do Problema de Cauchy89
2.8.2 O Princıpio do Maximo em R92
2.9 Exercıcios93

2 Equacao do Calor Unidimensional 63

3.1 Modelo Matematico da Corda Vibrante97
3.1.1 Vibracoes Livres97
3.1.2 Condicoes Iniciais e de Fronteira98
3.1.3 Solucao da Equacao da Onda9
3.1.4 Outros Tipos de Vibracao9
3.2 Solucao pelo Metodo de Separacao de Variaveis e Series de Fourier100
3.2.1 Exercıcios104
3.3 A Solucao de D’Alembert106
3.3.1 Solucao Geral da Equacao da Onda106
3.4 Solucao da Equacao da Onda em R1
3.4.1 Corda Infinita1
3.4.2 Domınio de Dependencia e Cone de Influencia112
3.4.3 Fenomeno de Huygens112
3.4.4 Exercıcios113
3.5 Harmonicos, Energia da Corda e Unicidade de Solucao para a Equacao da Onda113
3.5.1 Harmonicos113
3.5.2 Energia da Corda114
3.5.3 Unicidade de Solucao para a Equacao da Onda117
3.6 Apendice: Corda Suspensa118

3 Equacao da Onda Unidimensional 97 3.3.2 Solucao do Problema de Dirichlet para a Equacao da Onda pelo Metodo de D’Alembert108

4.1 Series de Fourier Duplas120
4.1.1 Definicao e Calculo dos Coeficientes120
4.1.2 Funcoes de Duas Variaveis Pares e Impares122
4.2 A Equacao da Onda Bidimensional123

Rodney Josue Biezuner 3

e Series de Fourier123
4.2.3 Linhas Nodais126
4.3 A Equacao do Calor Bidimensional126
4.3.1 Deducao da Equacao do Calor Tridimensional126
4.3.2 Equacao do Calor Bidimensional128
tidas a Temperatura Zero por Separacao de Variaveis e Series de Fourier129
lada por Separacao de Variaveis e Series de Fourier131
4.4 Exercıcios132

4.2.2 Solucao do Problema da Membrana Vibrante pelo Metodo de Separacao de Variaveis 4.3.3 Solucao do Problema da Conducao do Calor na Chapa Retangular com Margens Man- 4.3.4 Solucao do Problema da Conducao do Calor na Chapa Retangular Termicamente Iso-

5.1 Solucao da Equacao de Laplace no Retangulo135
5.1.1 Exercıcios137
5.2 O Princıpio do Maximo Fraco e a Unicidade de Solucao para a Equacao de Laplace138
5.3 Solucao da Equacao de Poisson no Retangulo139
5.3.1 Exercıcios140
5.4 A Equacao de Laplace no Disco140
5.4.1 A Equacao de Laplace em Coordenadas Polares140
Series de Fourier142
5.4.3 Exercıcios144
5.5 Funcoes Harmonicas e o Princıpio do Maximo Forte145
5.5.1 Identidades de Green145
5.5.2 Funcoes Harmonicas e as Propriedades do Valor Medio147
5.5.3 Princıpio do Maximo Forte149
5.5.4 Desigualdade de Harnack149
5.6 Solucao da Equacao de Laplace atraves de Funcoes de Green150
5.6.1 Solucao Fundamental da Equacao de Laplace150
5.6.2 Funcao de Green153
5.6.3 Propriedades da Funcao de Green155
5.6.4 Solucao da Equacao de Laplace em Bolas – Formula Integral de Poisson156
5.6.5 Exercıcios159

5 A Equacao de Laplace 134 5.4.2 Solucao da Equacao de Laplace no Disco pelo Metodo de Separacao de Variaveis e

6.1 A Membrana Circular Vibrante: Vibracoes Radiais160
6.2 Funcoes de Bessel161
6.2.1 Funcoes de Bessel do Primeiro Tipo162
6.2.2 A Funcao Gama166
6.2.3 Exercıcios166
6.2.4 Formulas de Recursao para as Funcoes de Bessel167
6.2.5 Funcoes de Bessel do Segundo Tipo169
6.2.6 Zeros das Funcoes de Bessel170
6.3 Series de Funcoes de Bessel e a Solucao do Problema da Membrana Circular Vibrante173
6.3.1 Ortogonalidade das Funcoes de Bessel173
6.3.2 Series de Bessel de ordem p175
6.3.3 Solucao do Problema da Membrana Circular Vibrante Radial175

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7.1 A Equacao de Laplace em um Cilindro180
7.1.1 A Equacao de Laplace em Coordenadas Cilındricas180
7.1.2 Solucao de um Problema de Laplace no Cilindro180
7.1.3 Funcoes de Bessel Modificadas182
7.1.4 Solucao de outro Problema de Laplace no Cilindro183
7.2 A Equacao de Laplace em uma Bola184
7.2.1 A Equacao de Laplace em Coordenadas Esfericas184
7.2.2 A Equacao de Legendre e Polinomios de Legendre185
7.2.3 Series de Polinomios de Legendre188
7.2.4 Solucao da Equacao de Laplace na Bola com Simetria Radial189

7 Equacao de Laplace em Domınios Tridimensionais Simetricos 180

8.1 A Integral de Fourier191
8.1.1 Exercıcios193
8.2 A Transformada de Fourier194
8.2.1 Definicao194
8.2.2 Propriedades Operacionais197
8.2.3 Transformada de Fourier da Funcao Gaussiana200
8.2.4 Tabela de Transformadas de Fourier202
8.2.5 Exercıcios203
8.3 O Metodo da Transformada de Fourier204
8.3.1 A Equacao do Calor para uma Barra Infinita205
8.3.2 A Equacao da Onda em uma Corda Infinita206

Capıtulo 0 Introducao

Uma equacao diferencial parcial (EDP) e uma equacao matematica envolvendo derivadas parciais. Uma solucao para uma equacao diferencial parcial e uma funcao cujas derivadas parciais satisfazem a equacao. Dizemos que uma equacao diferencial parcial tem ordem m quando a derivada parcial de ordem mais alta tem ordem m.

A maioria das equacoes diferenciais parciais surgem de modelos fısicos. Uma outra classe importante surge de problemas em geometria diferencial. Nestas notas, cada equacao que estudarmos sera precedida pela introducao de um modelo fısico. O modelo fısico, alem de prover uma motivacao para o estudo de determinada equacao (por que estudar exatamente esta equacao diferencial parcial, ja que existem infinitas outras possibilidades matematicas?), sugere as propriedades matematicas que as solucoes desta equacao devem ter e, muitas vezes, metodos para resolve-la ou ate mesmo a expressao exata da solucao.

Como exemplos de areas que sao altamente dependentes do estudo de EDPs, destacamos as seguintes: acustica, aerodinamica, elasticidade, eletrodinamica, dinamica dos fluidos, geofısica (propagacao de ondas sısmicas), transferencia do calor, meteorologia, oceanografia, otica, prospeccao de petroleo, fısica do plasma, mecanica quantica, relatividade, circulacao de fluidos dentro de organismos vivos e crescimento de tumores.

Nesta introducao veremos como muitas equacoes diferenciais parciais importantes surgem atraves de leis de conservacao. Veremos antes um exemplo concreto: a equacao do calor unidimensional, que e a forma diferencial da lei de conservacao da energia termica. Alem disso, introduziremos um metodo de solucao para equacoes diferenciais parciais lineares: o metodo de separacao de variaveis e o uso de series de Fourier, cuja teoria sera desenvolvida a partir do primeiro capıtulo.

0.1 Conducao do Calor em uma Barra

0.1.1 Modelagem Fısica e Matematica do Problema

Considere uma barra uniforme de comprimento L, feita de material homogeneo condutor de calor. Por barra uniforme, entendemos que ela e geometricamente gerada pela translacao de uma determinada figura geometrica plana na direcao perpendicular ao seu plano (em outras palavras, um cilindro reto cuja base pode ser qualquer figura geometrica, como por exemplo um disco (cilindro circular reto), uma elipse (cilindro elıptico reto), um triangulo (prisma reto), um retangulo (paralelepıpedo reto), ou qualquer outra figura geometrica plana). Em particular, a sua secao transversal e sempre igual a esta figura e portanto tem area constante, que denotaremos por A. Suponha que a superfıcie lateral da barra esteja isolada termicamente, de modo a nao permitir transferencias de calor atraves dela com o ambiente. Transferencias de calor, se e que acontecem, podem ocorrer apenas atraves das extremidades da barra.

A uniformidade da barra, a homogeneidade do material e o isolamento termico lateral implicam que o fluxo de calor acontece somente na direcao longitudinal (isto e, ao longo do comprimento da barra).

Rodney Josue Biezuner 6

Portanto, este e um problema de conducao de calor unidimensional. Em outras palavras, as variaveis fısicas sao constantes em cada secao transversal da barra, podendo variar apenas de uma secao para outra.

Consideremos a barra posicionada no eixo x, com uma das extremidades na origem x = 0; logo a outra extremidade ocupa a posicao x = L. Queremos determinar como a temperatura em cada ponto da barra varia a medida que o tempo passa. Para isso, vamos analisar o fluxo de calor ao longo da barra. Inicialmente, considere duas secoes transversais da barra, localizadas em x e x + ∆x, delimitando uma fatia da barra. Atraves destas secoes, calor flui (entra ou sai) para ou desta fatia. Denotaremos o fluxo de calor, isto e, a quantidade de calor por unidade de tempo fluindo para a direita por unidade de area, por φ(x,t); no S.I., o fluxo de calor tem como unidades Joules/m2s.

φ(x,t) = fluxo de calor (quantidade de calor por unidade de tempo fluindo para a direita por unidade de area).

Se φ(x,t) < 0, o calor esta fluindo para a esquerda. A quantidade total de calor que entra na fatia por unidade de tempo e dada pela diferenca entre a quantidade de calor que entra pela secao transversal em x e a quantidade de calor que sai pela secao transversal em x + ∆x, isto e,

E claro que calor pode sair da fatia pela secao transversal em x (se φ(x,t) < 0), assim como calor pode entrar na fatia pela secao transversal em x + ∆x (se φ(x + ∆x,t) < 0); se a diferenca acima for negativa, entao o resultado final e que calor sai da fatia.

Esta quantidade de calor total que entra ou sai da fatia por instante de tempo pode ser calculada em funcao das temperaturas nas secoes transversais que delimitam a fatia atraves da Lei de Conducao do Calor de Fourier (esta lei foi empiricamente observada por Fourier):

Lei de Conducao do Calor de Fourier. Sejam P1 e P2 duas placas formadas de um mesmo material e de mesma area igual a A, mantidas a temperaturas constantes respectivas T1 e T2. Se elas forem colocadas paralelamente a uma distancia d uma da outra, havera passagem de calor da placa mais quente para a placa mais fria e a quantidade de calor transferida de uma placa para a outra por unidade de tempo (ou seja, a taxa de transferencia de calor, medida em Joules/s) e dada por

Rodney Josue Biezuner 7 onde k e uma constante especıfica do material entre as placas, chamada condutividade termica do material.

Denotemos u(x,t) = temperatura do ponto x da barra no instante de tempo t.

As secoes transversais da barra, localizadas em x e x + ∆x, fazem o papel das duas placasP1 e P2. Denote as temperaturas nestas secoes, no instante de tempo t, por T1 = u(x,t) e T2 = u(x+∆x,t). Entao, pela Lei de Fourier, o fluxo de calor na direcao positiva do eixo x que passa pela secao transversal localizada em x e dado por (lembre-se que o fluxo de calor e definido como sendo a taxa de transferencia de calor por unidade de area)

de modo que quando a temperatura cresce com x, ux e positivo, mas o calor flui para a esquerda, portanto φ e negativo; se a temperatura decresce com x, ux e negativo e o calor flui para a direita, portanto φ e positivo. Agora fixe um segmento qualquer da barra entre as posicoes x = a e x = b. Vamos calcular a quantidade total de calor Q que entra neste segmento no perıodo de tempo que vai de t0 ate t1. Esta e a diferenca entre o calor que entra na secao transversal que ocupa a posicao x = a e o calor que sai pela secao transversal que ocupa a posicao x = b durante o perıodo de tempo considerado:

Mas, pelo Teorema Fundamental do Calculo, podemos escrever

a uxx(x,t)dx.

Logo, como k e constante (pois assumimos que a barra e feita de um unico material homogeneo), temos

Por outro lado, tambem e observado experimentalmente que a quantidade de calor absorvida por uma substancia em um perıodo de tempo e diretamente proporcional a massa desta substancia e a variacao media de sua temperatura durante o intervalo de tempo considerado:

A constante de proporcionalidade, denotada por c, depende de cada substancia e e chamada o calor especıfico da substancia; em outras palavras, o calor especıfico nada mais e que a quantidade de calor necessaria para elevar em um grau a temperatura de uma unidade de massa da substancia; no S.I., o calor especıfico tem como unidades Joules/kgK. Embora o calor especıfico de uma substancia em geral varie com a temperatura em que ela se encontra (isto e, c = c(u)), para diferencas de temperaturas nao muito grandes o calor especıfico e aproximadamente constante. Aplicamos esta lei empırica novamente a um segmento qualquer da barra entre as posicoes x = a e x = b.

A variacao media da temperatura neste segmento da barra no intervalo de tempo que vai de t0 ate t1 e obtida tomando-se a media das variacoes medias das temperaturas de todos os pontos da barra, ou seja

Rodney Josue Biezuner 8 Pelo Teorema Fundamental do Calculo, segue que

Logo, a quantidade de calor absorvida por este segmento e dada por

t ut(x,t)dtdx.

sendo m a massa deste segmento e c o calor especıfico do material que constitui a barra. Por outro lado, escrevendo m = ρA(b − a), onde ρ e a densidade volumetrica da barra, e trocando a ordem dos limites de integracao, obtemos

Igualando as duas expressoes obtidas em (1) e (2) para a quantidade total de calor Q que entra no segmento da barra entre x = a e x = b no perıodo de t0 ate t1, obtemos a equacao do calor em sua forma integral: cρ ∫ t

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