Equacões Diferenciais Ordinárias 2ª Ordem

Equacões Diferenciais Ordinárias 2ª Ordem

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Capıtulo 2

Equacoes Diferenciais Ordinarias de Segunda Ordem

2.1 Introducao Definicao. EDOs de segunda ordem sao equacoes do tipo

F (t, y, y′, y′′) = 0, isto e, alem da variavel t e da funcao y, elas envolvem a derivada primeira y′ e a derivada segunda y′′.

Neste curso, estudaremos principalmente equacoes de segunda ordem da forma y′′ = f (t, y, y′)

ou d2y dt2

Definicao. Uma solucao da EDO y′′ = f (t,y,y′) em um intervalo I ⊂ R e uma funcao duas vezes diferenciavel y : I −→ R que satisfaz a EDO.

dt2 e chamado um problema de valor inicial.

Duas condicoes iniciais sao necessarias para determinar uma unica solucao para uma EDO de segunda ordem pois a sua solucao envolve em um certo sentido duas integracoes, que introduzem duas constantes de integracao arbitrarias.

Exemplo 2.1. Encontre a solucao geral da EDO

2 EDOs de Segunda Ordem

A partir da solucao geral, encontre a solucao para o problema de valor inicial

Solucao: Atraves de uma integracao simples, obtemos

ou seja, dy

Integrando uma segunda vez, obtemos

ou seja,

2.2 Equacoes Lineares de Segunda Ordem Homogeneas

Uma EDO de segunda ordem e linear se ela tiver a forma

Ela e homogenea se f (t) ≡ 0, isto e, se ela for da forma

Para equacoes lineares de segunda ordem, um teorema de existencia e unicidade de solucoes para problemas de valor inicial tambem e valido:

Teorema 2.1. (Teorema de Existencia e Unicidade) Considere o problema de valor inicial

Se p, q e f sao contınuas em um intervalo aberto I que contem t0, entao o problema possui uma unica solucao neste intervalo.

Rodney Josue Biezuner 3

Para uma equacao linear e homogenea, combinacoes lineares de solucoes sao ainda solucoes. De fato, se y1 (t) e y2 (t) sao duas solucoes de (2.2), isto e, se

e se c1,c2 ∈ R sao dois escalares reais, entao dt2

de modo que c1y1 + c2y2 tambem e uma solucao de (2.2). Este fato e as vezes chamado de princıpio da superposicao.

2.2.1 Solucoes Fundamentais

O princıpio da superposicao implica que o espaco solucao de uma equacao linear homogenea de segunda ordem e um subespaco vetorial do espaco das funcoes duas vezes diferenciaveis. Portanto, para encontrar todas as solucoes de uma EDO linear de segunda ordem, ou seja, para encontrar a sua solucao geral, basta encontrar uma base para este subespaco. Vamos agora provar que este subespaco tem dimensao 2, de modo que basta encontrar duas solucoes linearmente independentes da equacao para encontrar todas as suas solucoes.

Teorema 2.2. Sejam y1 (t) e y2 (t) duas solucoes linearmente independentes da equacao linear homogenea de segunda ordem

possui uma unica solucao da forma

Prova. Para quaisquer constantes c1,c2 ∈ R a funcao y (t) = c1y1 (t)+c2y2 (t) e uma solucao para a equacao homogenea. Para provarmos o teorema, precisamos apenas mostrar que existem constantes unicas c1,c2 tais

Este sistema possui uma solucao unica quaisquer que sejam y0,y′0 se e somente sedet

4 EDOs de Segunda Ordem Por sua vez, este determinante e nao nulo se e somente se as solucoes y1 (t) e y2 (t) sao linearmente indepen- dentes. Isso decorre do Teorema de Existencia e Unicidade. De fato,det

se e somente se as colunas desta matriz sao linearmente dependentes, isto e, se e somente se existe uma constante c ∈ R nao-nula tal que

Como as condicoes iniciais determinam a solucao de uma EDO linear de segunda ordem de maneira unica, isso e verdade se e somente se para todo t, isto e, se e somente se y1 (t) e y2 (t) sao linearmente dependentes. ¥

Definicao. Duas solucoes linearmente independentes de uma equacao linear homogenea de segunda ordem sao chamadas solucoes fundamentais desta equacao.

Existe um numero infinito de pares de solucoes fundamentais para uma equacao linear homogenea de segunda ordem, ja que quaisquer duas solucoes linearmente independentes sao solucoes fundamentais. Vimos na demonstracao do Teorema 2.2 uma maneira simples de determinar se duas solucoes de uma EDO linear homogenea de segunda ordem sao solucoes fundamentais. Basta verificar se o determinante (chamado Wronskiano)

e diferente de zero para algum valor de t; observe que se isso ocorrer, na verdade o Wronskiano sera diferente de zero para qualquer valor de t. Reciprocamente, duas solucoes serao linearmente dependentes se e somente se seu Wronskiano for igual a zero para todo valor de t.

Encontre sua solucao geral.

Solucao: Temos y′1 (t) = 0 e y2 (t) = 1, de modo que o Wronskiano desta duas solucoes em qualquer ponto t ∈ R e dado por

Mostre que z1 (t) = senhat e z2 (t) = coshat tambem sao solucoes fundamentais para a EDO. Encontre sua solucao geral.

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Solucao: Temos y′1 (t) = aeat e y2 (t) = −ae−at, de modo que o Wronskiano desta duas solucoes em qualquer ponto t ∈ R e dado por

[ senhat coshat acoshat asenhat

Exemplo 2.4. Mostre que se a 6= 0, entao y1 (t) = senat e y2 (t) = cosat sao solucoes fundamentais da EDO

Encontre sua solucao geral.

Solucao: Temos y′1 (t) = acosat e y2 (t) = −asenat, de modo que o Wronskiano desta duas solucoes em qualquer ponto t ∈ R e dado por

[ senat cosat

acosat −asenat

A sua solucao geral e, portanto, y (t) = c1 senat + c2 cosat.

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