Equacões Diferenciais Ordinárias 1ª Ordem

Equacões Diferenciais Ordinárias 1ª Ordem

(Parte 1 de 2)

Capıtulo 1

Equacoes Diferenciais Ordinarias de Primeira Ordem

1.1 Introducao Definicao. EDOs de primeira ordem sao equacoes do tipo

F (t,y,y′) = 0, isto e, alem da variavel t e da funcao y, elas envolvem apenas a derivada primeira y′.

Neste curso, estudaremos principalmente equacoes de primeira ordem da forma y′ = f (t,y) ou dy

Definicao. Uma solucao da EDO y′ = f (t,y) em um intervalo I ⊂ R e uma funcao diferenciavel y : I −→ R que satisfaz a EDO.

Definicao. Um problema da forma { dy e chamado um problema de valor inicial.

Exemplo 1.1. Encontre a solucao geral da EDO

A partir da solucao geral, encontre a solucao para o problema de valor inicial dy dt

2 EDOs de Primeira Ordem

Solucao: Atraves de uma integracao simples, obtemos

ou seja,

donde a solucao para o problema de valor inicial e

1.2 Equacoes Lineares de Primeira Ordem

Uma EDO linear de primeira ordem e da forma

e pode ser resolvida diretamente por integracao:

que chamamos uma EDO linear homogenea. Esta tambem pode ser resolvida diretamente por integracao uma vez que as variaveis sejam separadas: escrevemos

e daı dy donde ∫ dy

obtendo

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Exemplo 1.2. Encontre a solucao geral da EDO

A partir da solucao geral, encontre a solucao para o problema de valor inicial dy dt

Solucao: Atraves de separacao da variaveis seguida da uma integracao simples, obtemos

A integral pode ser calculada atraves do metodo de fracoes parciais:

1.2.3 Caso Coeficientes Constantes

Quando a EDO linear possui coeficientes constantes, isto e, as funcoes p(t),q (t) sao constantes a,b ∈ R, ainda podemos resolver a equacao a EDO diretamente por integracao:

dt + ay = b. (1.6)

De fato, escrevemos dy dt = −ay +b,

4 EDOs de Primeira Ordem separamos as variaveis dy y − b a e integramos ∫ dy

y − b a

Verificando: dy

de modo que dy

1.2.4 Caso Geral – Metodo do Fator Integrante

Para resolver a EDO linear de primeira ordem (1.1) de forma geral, usamos uma tecnica chamada resolucao por fator integrante. O fator integrante e uma funcao r (t) pela qual multiplicamos a EDO, escolhido de tal modo que a expressao resultante pode ser resolvida por integracao simples. Mais especificamente, quando multiplicamos (1.1) por uma funcao r (t), obtemos

Se a funcao r (t) fosse tal que pudessemos escrever terıamos entao dt + dr que pode ser escrita na forma d

Nesta forma, a EDO pode ser resolvida diretamente por integracao:

donde

Para descobrir o fator integrante de (1.1), precisamos resolver a EDO

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Esta pode ser resolvida de maneira simples se escrevermos

e daı integrarmos, obtendo donde o fator integrante e

Esta funcao satisfaz de fato (apenas verificando)

Portanto, a solucao geral da EDO linear de primeira ordem (1.1) e

Exemplo 1.3. Encontre a solucao geral da EDO linear de primeira ordem com coeficientes constantes e da EDO linear de primeira ordem dy pelo metodo do fator integrante.

No primeiro caso segue que

Verificando: dy de modo que

No segundo caso temos

Verificando:

donde

6 EDOs de Primeira Ordem

Exemplo 1.4. Encontre a solucao do problema de valor inicial{ dy

Solucao: Temos

Como, integrando por partes, ∫

segue que

Verificando: dy

donde

A solucao deve satisfazer a condicao inicial y (0) = 1, logo

Portanto, a solucao do problema de valor inicial e

1.2.5 Caso Geral – Metodo de Variacao dos Parametros

Outra tecnica para resolver EDOs que se aplica tambem ao caso geral das EDOs lineares e o metodo de variacao dos parametros. Tendo resolvido o caso homogeneo q(t) = 0 obtendo a solucao onde C e uma constante, procura-se resolver o caso geral nao-homogeneo

Rodney Josue Biezuner 7 buscando-se uma variacao da solucao obtida no caso homogeneo (a ideia e que a solucao do caso naohomogeneo nao deve ser tao diferente da solucao do caso homogeneo), espeficamente tentando uma solucao da forma onde C (t) e agora uma funcao a ser determinada. Para determina-la, usamos a propria EDO: a solucao deve satisfazer

ddt ou seja, dC donde dC

Esta ultima EDO pode ser resolvida por integracao direta e obtemos

Assim a solucao e

1.3 Equacoes Separaveis

Para EDOs de primeira ordem em geral, nao-lineares, nao existe um metodo universal para obter a solucao geral. Existem subclasses de EDOs de primeira ordem as quais certos metodos especıficos podem ser aplicados para obter a solucao geral. Equacoes separaveis sao uma subclasse importante de EDOs que podem ser escritas na forma

Elas sao chamadas separaveis porque na notacao diferencial podemos escreve-las na forma f (x)dx = g (y)dy, (1.16) separando as variaveis. Esta EDO pode ser resolvida diretamente por integracao, mas o resultado obtido e em geral uma expressao implıcita para y em funcao de x. Temos∫

Denotando

fica claro que o que obtemos e uma expressao implıcita

F (x) + G(y (x)) = C. (1.18) Entretanto, atraves desta expressao, muitas vezes e possıvel obter a solucao y (x) de forma explıcita.

8 EDOs de Primeira Ordem

Exemplo 1.5. Encontre a solucao geral da equacao

Solucao: Escrevendo ydy = −xdx, segue que y2

que pode ser escrito de maneira mais simples na forma implıcita

Exemplo 1.6. Encontre a solucao do problema de valor inicial dy dx

Solucao: No exemplo anterior vimos que a solucao geral e dada implicitamente por x2 + y2 = C.

A constante C e determinada pela condicao inicial 02 + 2 = C, isto e, C = 4. Obtemos duas solucoes explıcitas distintas, ambas definidas no intervalo [−2,2]:

Como a condicao inicial e positiva, a solucao do problema de valor inicial e

1.4 Equacoes Exatas

Outra subclasse importante de EDOs de primeira ordem sao as equacoes exatas, que sao as equacoes que podem ser escritas na forma dy

em que as funcoes f (x,y) e g (x,y) sao contınuas e tem derivadas parciais ∂f

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Teorema 1.1. (Existencia do Potencial) Sejam f,g : R → R funcoes contınuas definidas no retangulo

∂x que satisfazem a condicao

Entao existe uma funcao continuamente diferenciavel ψ : R → R tal que

Prova. Para obter ψ que satisfaz estas condicoes (que e equivalente a resolver um sistema simples de duas equacoes diferenciais parciais nao acopladas), em primeiro lugar resolvemos a equacao diferencial parcial por integracao direta, obtendo

onde h e uma funcao a ser determinada. Para determinar h usamos o fato que ψ tambem deve satisfazer de modo que dy = e portanto h satisfaz a EDO dh h e uma funcao apenas de y, logo o lado direito nao pode depender de x. E, de fato, a condicao (1.21)

garante que ∂

Obtemos h atraves de uma integracao simples:

Portanto, a funcao potencial ψ e dada por

(conforme sera visto no curso de Calculo I).

10 EDOs de Primeira Ordem

Usando a funcao potencial ψ, podemos resolver (1.19). De fato, substituindo ψ em (1.19), obtemos

∂y dy dx

Pela regra da cadeia, isso e equivalente d

Integrando, obtemos que a solucao geral de (1.19) e dada implicitamente por

Exemplo 1.7. Encontre a solucao geral da equacao

Resolva o problema de valor inicial

Solucao: Temos

ela e exata. Vamos encontrar a funcao potencial, que agora sabemos existir. Ela satisfaz

Integrando a segunda equacao com respeito a y, obtemos

Temos tambem

Assim, a solucao geral e dada implicitamente por

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Para encontrar a solucao ou as solucoes para a condicao inicial y (0) = 1, primeiro determinamos o valor da constante C:

As solucoes sao dadas implicitamente por

Logo,

donde obtemos a solucao explıcita (a condicao inicial e positiva)

O intervalo de definicao destas duas solucoes e um intervalo contendo x = 0 onde o polinomio 2x3 + 2x2 + x + 1 e nao-negativo. Este e exatamente o intervalo (−1,+∞), ja que as duas outras raızes do polinomio sao complexas. ¤

No caso geral de uma EDO nao-exata na forma

podemos tentar multiplica-la por um fator integrante r (x,y) para torna-la exata. Isso significa que a equacao se torna

e a condicao desta nova equacao ser exata e satisfeita, isto e,

Ou seja,

de modo que r deve satisfazer a EDP (equacao diferencial parcial) linear homogenea:

Resolver esta EDP pode nao ser facil, ou mesmo ser mais difıcil de resolver do que a EDO original. Ao inves de procurar um fator integrante dependendo de duas variaveis, podemos tentar achar um fator integrante mais simples que dependa de apenas uma variavel, por exemplo r (x,y) = r (x). Neste caso, r devera satisfazer a EDO

1r dr dx

Isso so fara sentido se 1

12 EDOs de Primeira Ordem for independente de y, o que pode acontecer. Caso contrario, podemos tentar encontrar um fator integrante r (x,y) = r (y) e r satisfazera a EDO

1r dr dy

que fara sentido somente se 1 independer de x. [Observe que quando a equacao e exata isso sempre ocorre, pois a expressao entre parenteses e nula, e o fator integrante e uma constante, que obviamente tomamos igual a 1 (a equacao ja e exata).] Quando pelo menos uma destas situacoes ocorrer, o fator integrante r pode ser encontrado atraves de uma integracao direta, como o proximo exemplo mostra.

Exemplo 1.8. Encontre a solucao geral da equacao

Solucao: Temos

Como

ela nao e exata. Vamos procurar um fator integrante da forma r (x). Ele deve satisfazer a EDO

1r dr dx que faz sentido e pode ser diretamente resolvida por integracao:

(tomamos a constante de integracao C = 0 porque buscamos um fator integrante simples), donde

Quando multiplicamos a EDO deste exemplo por este fator integrante, obtemos exatamente a EDO exata do exemplo anterior. ¤

1.5 Metodo de Mudanca de Variaveis

Mudar as variaveis para obter uma expressao mais simples e uma tecnica bastante aplicada em varias areas da Matematica, tambem na resolucao de EDOs.

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1.5.1 Equacoes Homogeneas

Equacoes homogeneas de primeira ordem sao equacoes que podem ser escritas na forma

Introduza a nova variavel

Entao y = vx e pela regra da cadeia dy dx = x dv

Substituindo na equacao original, obtemos x dv x dv

que e uma EDO separavel que em princıpio pode ser resolvida por integracao direta:

Exemplo 1.9. Encontre a solucao geral da equacao

Solucao: Escrevendo

dx = vemos que ela e uma equacao homogenea. Tomando v = y/x, segue que

= dx

donde

Substituindo de volta, segue que y

14 EDOs de Primeira Ordem

1.5.2 Equacoes de Bernoulli Equacoes de Bernoulli sao equacoes na forma

Para resolve-las, introduza a nova variavel v = y1−n. (1.38)

Pela regra da cadeia, dv

Multiplicando a equacao de Bernoulli por y−n, segue que

ou 1

que e uma equacao linear.

Exemplo 1.10. Encontre a solucao geral da equacao

Solucao: Fazendo a mudanca de variavel v = y−1, obtemos a equacao linear

x v = x

Logo,

1.5.3 Outras Substituicoes

Exemplo 1.1. Resolva o problema de valor inicial dy dx

de modo que dv

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A equacao original torna-se entao dv

ou dv

que e uma equacao separavel: (v − 1) dv = dx.

Integrando: v2

Substituindo de volta, obtemos que a solucao y satisfaz a equacao implıcita

No caso do problema de valor inicial, obtemos

1.6 Aplicacoes

1.6.1 Equacao Logıstica Vamos resolver a equacao logıstica que consideramos nos Exemplos 0.3 e 0.4 da Introducao:

Os pontos fixos desta equacao (isto e, os valores de p para os quais dp dt = 0, ou seja, a taxa de crescimento populacional e zero) sao

O ultimo ponto fixo e de fato um valor de equilıbrio para a populacao, como vimos no Exemplo 0.3: temos dp b e dp b . Portanto, M = a

b representa a populacao maxima sustentavel.

Escrevendo o lado direito da equacao logıstica na forma

16 EDOs de Primeira Ordem vemos que ela simplesmente diz que a taxa de variacao da populacao em cada instante de tempo e proporcional a populacao atual e tambem a diferenca entre a populacao maxima sustentavel e a populacao atual. Vamos agora resolver a equacao logıstica. Observe que ela e uma equacao separavel. Portanto separamos as variaveis e integramos ∫ dp

A integral do lado esquerdo pode ser resolvida por separacao de variaveis: precisamos encontrar constantes

A e B tais que 1

Logo, ∫ dp

Portanto, 1 donde a solucao implıcita e p

Escrevendo

obtemos a solucao geral para a equacao logıstica de forma explıcita:

p(t) = CMeMbt

Em um problema de valor inicial, a constante C pode ser determinada. Se a populacao inicial p(0) = p0 e conhecida, por exemplo, temos

donde

e portanto

Observe que

como esperado.

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1.6.2 Lei de Torricelli

Suponha que um tanque de agua tenha um buraco de area a no seu fundo, por onde escoa agua. Denote por y (t) a profundidade da agua no tanque e por V (t) o volume de agua restante no tanque no instante de tempo t. E possıvel derivar a partir da equacao de Bernoulli da Mecanica dos Fluidos (ou seja, desprezando completamente os efeitos da viscosidade da agua) a chamada lei de Torricelli que determina a velocidade de escoamento da agua saindo pelo buraco:

Em condicoes mais reais, a lei se escreve na forma

onde 0 < c < 1 e uma constante empırica (em torno de 0.6 para um pequeno fluxo contınulo de agua). Para simplificar a discussao, tomaremos c = 1. Como consequencia da lei de Torricelli, segue que

(o sinal negativo deve-se ao fato que o volume de agua no tanque esta diminuindo com o passar do tempo). Se A(y) denota a area da secao transversal do tanque na altura y, temos

logo o teorema fundamental do calculo implica que

Por outro lado, pela regra da cadeia temos dt = dVdy dy dt

Portanto, a taxa de variacao da altura da agua com o tempo e dada pela EDO nao-linear (tambem chamada equacao de Torricelli)

Exemplo 1.12. Um tanque hemisferico tem raio de 4m e no instante t = 0 esta cheio de agua. Neste momento, um buraco circular com diametro de 4cm. Quanto tempo levara para que toda a agua do tanque tenha escoado?

Solucao. Temos

Separando as variaveis, (

e integrando, obtemos 16

18 EDOs de Primeira Ordem

Como y (0) = 4, a constante de integracao e

Portanto, a solucao da EDO de Torricelli para este caso e dada implicitamente por

O tanque estara vazio quando y = 0, isto e, quando

o que da pouco mais que 4 horas e 40 minutos. ¤

1.6.3 Lei de Resfriamento de Newton

De acordo com a lei de resfriamento de Newton, a taxa de variacao da temperatura T (t) de um objeto em um ambiente de temperatura constante igual a A e diretamente proporcional a diferenca de temperaturas

onde k e uma constante positiva dependendo do material de que e feito o objeto.

Exemplo 1.13. Suponha que pouco antes do meio-dia o corpo de uma vıtima de homicıdio e encontrado numa sala ar condicionada mantida a temperatura constante de 21◦C. Ao meio-dia a temperatura do corpo e 30◦C, e uma hora mais tarde e 27◦C. Assumindo que a temperatura do corpo na hora da morte era 36,5◦C, qual foi a hora da morte?

Solucao. Pela lei de resfriamento de Newton,

e ainda nao sabemos o valor da constante k. Resolvendo por separacao de variaveis,∫ dT

9 ou

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Para determinar o instante da morte t0 usamos o fato que de modo que

donde

o que da aproximadamente uma hora e vinte minutos. Portanto, o horario da morte foi aproximadamente as 10:40 da manha. ¤

1.6.4 O Problema da Braquistocrona

Em 1696, Johann Bernoulli propos o seguinte problema: imagine que um ponto A e unido atraves de um fio, que pode assumir a forma de qualquer curva, a um ponto B mais abaixo em um plano vertical. Assuma que uma conta de colar e colocada no fio e pode deslizar sem atrito do ponto A ate o ponto B. Dentre todas as curvas possıveis, qual e aquela que permite a conta de colar percorrer a trajetoria de A a B no menor tempo possıvel? Tal curva foi batizada de braquistocrona (grego brachistos = mais curto e chronos = tempo).

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