EDO - Equacões Diferenciais Ordinárias

EDO - Equacões Diferenciais Ordinárias

Equacoes Diferenciais Ordinarias

Uma equacao diferencial ordinaria (EDO) e uma equacao cuja incognita e uma funcao de uma variavel

x, y, y′, y′′,, y(n))

y = y (x) envolvendo uma ou mais derivadas da funcao y, e possivelmente a variavel x e a propria funcao y:F ( = 0.

A ordem da EDOe a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equacao. Resolver a EDOe portanto encontrar a funcao y. EDOs aparecem frequentemente como modelos matematicos para descrever e prever fenomenos naturais. Nestes modelos matematicos, a taxa de variacao de alguma grandeza em funcao de uma unica variavel (ou as taxas de variacao de varias ordens) obedece alguma lei hipotetizada ou verificada experimentalmente, que e expressa apenas em termos da variavel ou da grandeza; esta e uma EDO. Quando a EDO e resolvida, obtem-se a funcao da grandeza em relacao a esta variavel, o que permite prever o valor da grandeza em valores especıficos da variavel, e assim entender melhor o fenomeno natural.

Exemplo 0.1. (Objeto em Queda Livre) Um objeto em queda livre satisfaz a segunda lei de Newton F = ma, onde F = mg e a forca gravitacional. Portanto, a funcao distancia percorrida pelo objeto com o tempo x = x(t) satisfaz a EDO de segunda ordem e a funcao velocidade do objeto com o tempo v = v (t) satisfaz a EDO de primeira ordem

Ambas as equacoes podem ser resolvidas por integracao direta. Integrando a segunda equacao uma vez, obtemos v(t) = gt + C onde C e a constante de integracao, arbitraria. A constante de integracao fica determinada uma vez que o valor da velocidade do objeto em um determinado instante de tempo e conhecido. Por exemplo, se a velocidade inicial do objeto e conhecida, isto e, a velocidade v0 = v (0) no instante de tempo t = 0 e conhecida, entao como segue que C = v0. A unica solucao do problema e

Em geral esperamos que quando um fenomeno natural determinıstico e bem compreendido, com todas as variaveis que possam influencia-lo conhecidas, deve existir apenas uma unica solucao. Caso contrario, nao ha como preve-lo e provavelmente o modelo nao e suficientemente completo, se o fenomeno e do tipo determinıstico.

2 Equacoes Diferenciais Ordinarias

Para resolver a equacao de segunda ordem, precisamos integra-la duas vezes, obtendo no processo duas constantes arbitrarias:

Como dx dt = v a primeira constante C1 e a velocidade inicial do objeto v0. A segunda constante C2 e a posicao inicial do objeto x0 = x(0), pois

Assim, a distancia percorrida pelo objeto em queda livre com o tempo e dada por

Exemplo 0.2. (Crescimento Exponencial) O caso mais simples em que a taxa de variacao de uma grandeza em relacao a uma variavel depende da propria grandeza e o caso do crescimento exponencial. Por exemplo, suponha que p(t) representa o numero de bacterias em uma placa de petri no minuto t. Assuma que a placa possui uma quantidade suficiente de acucar, de modo que nao falta comida para as bacterias. Espera-se que, nessas condicoes, cada bacteria se dividira em duas a cada 20 minutos. Se nenhuma bacteria morre (nao ha predadores ou influencias externas danosas), entao a taxa de variacao de p e igual a 1

20 p = 0.05p por minuto. Portanto, a EDO que modela o crescimento da populacao de bacterias na placa de petri e dp dt = ap, (5) onde a = 0.05. Esta EDO de primeira ordem tambem pode ser resolvida por integracao direta:∫ dp

donde lnp = at+C

Mais uma vez, uma condicao inicial determina o valor da constante C, C = p(0) =: p0, de modo que a unica solucao da EDO e

Se o numero de bacterias no instante inicial t = 0 nao e conhecido, mas o numero de bacterias em qualquer instante especıfico t0 e conhecido, a constante C tambem pode ser determinada. Neste caso,

E claro que a medida que o numero de bacterias cresce, este modelo matematico comeca a refletir menos e menos a situacao real. A partir de um certo momento, o numero de bacterias na placa de petri e tao grande que a competicao por recursos comeca a afetar a reproducao das bacterias e a taxa de crescimento cai. O modelo matematico original nao assumia nenhuma interacao entre as bacterias. E necessario modificar o modelo, obtendo uma EDO que descreva melhor o crescimento da populacao de bacterias depois de decorrido um certo tempo. Veremos as modificacoes necessarias na proxima secao e ao longo do curso. ¤

Rodney Josue Biezuner 3

EDOs Lineares e Nao-Lineares Alem da classificacao das EDOs com relacao a sua ordem, uma importante classificacao e a de EDOs

x, y, y′, y′′,, y(n))

e chamada linear se a funcao F for uma funcao linear, caso contrario ela e nao-linear. Uma EDO linear pode ser escrita na forma an (x) dny

++ a2 (x)

Uma das principais propriedades que distinguem as equacao lineares das equacoes nao-lineares e o fato de que a combinacao linear de solucoes de equacoes lineares homogeneas (isto e, quando f (x) = 0) e tambem uma solucao. De fato, se y1 (x) e y2 (x) sao duas solucoes da EDO linear (8) com f (x) = 0, isto e,

++ a2 (x)
++ a2 (x)

e se α,β ∈ R sao dois escalares reais, entao

++ a2 (x)

dny1

++ a2 (x)

dny2

++ a2 (x)

de modo que αy1 + βy2 tambem e uma solucao de (8). Mais que isso, podemos dizer o seguinte: Proposicao 0.1. Seja an (x) dny

++ a2 (x)

uma EDO linear homogenea. Entao o conjunto de suas solucoes definidas em um intervalo especificado forma um subespaco de dimensao n no espaco de funcoes.

No caso nao-homogeneo, se uma solucao particular pode ser obtida, todas as solucoes sao somas desta solucao particular com as solucoes do problema homogeneo (um espaco afim de dimensao n no espaco de funcoes). A teoria e semelhante a resolucao de sistemas lineares em algebra linear. Isso se deve ao fato que uma equacao diferencial linear e um operador linear no espaco de funcoes diferenciaveis.

Outra diferenca fundamental e que as EDOs lineares sao muito mais faceis de resolver do que as EDOs nao-lineares e sua teoria, tanto analıtica (qualitativa) quanto quantitativa (metodos de resolucao) esta bem desenvolvida. Ja a teoria qualitativa das EDOs nao-lineares ainda esta em desenvolvimento e muitas vezes nao existem metodos exatos para obter as suas solucoes. Por outro lado, EDOs nao-lineares aparecem na modelagem matematica de muitos fenomenos naturais. Solucoes discretas aproximadas podem ser obtidas atraves de metodos numericos com o auxılio de computadores. Um metodo tambem muito popular e aproximar EDOs nao-lineares por EDOs lineares, atraves de um processo chamado linearizacao. O principal objetivo deste curso e o estudo de EDOs lineares.

4 Equacoes Diferenciais Ordinarias

Exemplo 0.3. (Equacao Logıstica I) Vamos considerar um modelo matematico mais realista de crescimento populacional do que o do Exemplo 0.2. Por exemplo, considere uma populacao de peixes em um lago, sem a presenca de predadores naturais. Se comecarmos com um lago grande e uma populacao inicial pequena de peixes, esperamos que inicialmente o crescimento seja do tipo exponencial. A populacao de peixes nao pode crescer para sempre sem limites; a quantidade limitada de recursos do lago (comida e espaco para depositar os ovos) impoe um limite natural a populacao maxima de peixes que o lago comporta. Esperamos que a populacao de peixes atinja um certo limite e sofra pequenas flutuacoes ao redor deste limite, salvo disastres naturais ou outras influencias externas.

Se p(t) denota a populacao de peixes em um certo instante de tempo t, e razoavel postular que p(t) satisfaca uma equacao diferencial ordinaria do tipo isto e, a taxa de crescimento da populacao em um determinado instante depende da populacao de peixes naquele momento, multiplicada por um fator h(p) que desempenha o papel de uma taxa de crescimento relativo (taxa de natalidade menos taxa de mortalidade, isto e, numero de nascimentos menos numero de falecimento de peixes por unidade de tempo) para os peixes quando a populacao e p. A taxa de crescimento relativo nao deve ser constante, pois quando ha mais peixes ha correspondentemente menos comida e portanto a taxa de mortalidade deve ser maior. Mais especificamente, quando p e pequeno, esperamos h ser aproximadamente constante, e quando p e muito grande, h deve ser negativa. Um modelo simples para h e o seguinte h(p) = a − bp, (1) onde a e b sao constantes a serem determinadas, dependentes do problema especıfico. Observe que quando p e pequeno, h e aproximadamente constante igual a a (isto e, p ¿ a/b) e correspondentemente dpdt ∼ ap, o que significa um crescimento exponencial. Quando p e grande (p > a/b), entao h(p) e negativa. A equacao resultante, dp

e chamada a equacao logıstica (introduzida pelo biologo belga Verhulst em 1838 para prever as populacoes da Belgica e da Franca).

Apesar desta EDO ser uma equacao nao-linear, ela pode ser resolvida de maneira simples atraves de integracao direta por fracoes parciais (isso sera visto em detalhes posteriormente no curso). Ao inves de resolve-la diretamente, gostarıamos de obter informacoes qualitativas. Neste caso em particular, em geral nao interessa como a populacao de peixes evolui exatamente com o passar do tempo, mas sim o valor limite que ela atinge. Para fixar ideias, consideraremos a = 0.5 e b = 0.001, de modo que a equacao se torna dp

A funcao f e uma parabola com concavidade para baixo que tem zeros nos pontos p = 0 e p = 500. No primeiro caso, nao ha nenhum peixe no lago e a taxa de crescimento e obviamente nula. O segundo caso corresponde a um valor de equilıbrio: se comecarmos com uma populacao inicial de 500 peixes, a taxa de crescimento e dp dt = 0 e a populacao nao devera nem aumentar nem diminuir. Na pratica isto e impossıvel, mas vemos que qualquer valor menor que 500 implicara numa taxa de crescimento positivo, tendento a aumentar a populacao ate 500, enquanto que qualquer valor maior que 500 implicara numa taxa de crescimento negativo, tendendo a diminuir a populacao de volta para 500. O que acontece na pratica e que a populacao tende a flutuar em torno do valor 500, daı o nome “valor de equilıbrio”. Portanto, devemos esperar que a populacao limite de peixes que o lago comporta para estes valores especıficos das constantes a e b (que em geral dependem nao so do lago, mas do tipo de peixe cultivado) e 500. ¤

Rodney Josue Biezuner 5

Exemplo 0.4. (Equacao Logıstica I) No exemplo anterior, mais do que a populacao limite que o lago comporta, em geral estamos mais interessados em definir o limite de pesca sustentavel do lago. Ou seja, uma certa quantidade de peixes e removida periodicamente do lago atraves de pesca e queremos determinar qual e o valor maximo de peixes que podemos pescar sem levar a populacao de peixes ao colapso, isto e, sem que ela caia eventualmente para zero atraves da pesca predatoria. Se c e o numero de peixes retirados do lago por unidade de tempo, entao a EDO que passa a descrever a evolucao da populacao de peixes com o passar do tempo e a equacao logıstica modificada

Para fixar ideias, suponha que o tempo t seja medido em anos e que sejam pescados exatamente 52 peixes por ano (limite de pesca permitido):

O grafico de g e a mesma parabola que representa o grafico de f, exceto que a parabola e deslocada

52 unidades para baixo. Desta vez os zeros da parabola (isto e, os valores de p que correspondem a dp

que dp dt > 0 se 148 < p < 352. Isso significa que se comecarmos a pescar no lago quando este atingiu o seu limite maximo p = 500 a uma taxa de 52 peixes por ano, a populacao deve cair ate atingir o novo valor de equilıbrio p = 352. Portanto, esta taxa de pesca e sustentavel. Para valores de p um pouco acima de 148, esta taxa tambem e sustentavel e a populacao de peixes aumenta, apesar da pesca, ate atingir o valor de equilıbrio p = 352. Observe porem, que o valor p = 148 nao e um valor de equilıbrio: flutuacoes de p para baixo deste valor implicam numa taxa de crescimento negativo e a pesca eventualmente acabara com a populacao de peixes do lago, enquanto que valores de p acima deste valor aumentam a populacao de peixes no lago apesar da pesca. Logo, p = 148 nao e um valor de equilıbrio, pois pequenas flutuacoes em torno deste valor fazem com que p afaste-se bastante deste valor, seja para baixo, seja para cima.

Qual seria o maior valor permitido para a pesca sustentavel no lago? Este seria um valor proximo ao maximo da parabola da funcao f do exemplo anterior, c = 62.5. Um valor bem menor seria recomendavel, para evitar acidentes e levar em conta flutuacoes naturais e a inexatidao do modelo. Alem disso, em geral nao dispomos de informacoes exatas sobre as constantes a,b,c na natureza (por exemplo, nao e facil fiscalizar a pesca para fixar o valor de c), e e preciso errar no lado da cautela para evitar o colapso das populacoes de peixes, o que vem ocorrendo com cada vez maior frequencia. ¤

Comentários