Integrais Gaussianas, Notas de estudo de Física

Baixe Integrais Gaussianas e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Mecânica Quântica I - FMA 403 1o Semestre de 2007 Integrais Gaussianas 1. • Calcular a integral +∞∫ −∞ e−αx 2 dx = √ π α (1) ? Façamos I = +∞∫ −∞ e−αx2dx. Integrando no plano cartesiano, obtemos: I2 = +∞∫ −∞ +∞∫ −∞ e−α(x 2+y2)dxdy = 2π∫ 0 +∞∫ 0 e−αr 2 rdrdθ onde foi usado que, em coordenadas polares, r2 = x2 +y2 e o elemento de área dxdy = rdrdθ. Então, I2 = 2π∫ 0 dθ +∞∫ 0 e−αr 2 rdr = 2π.  − 1 2α +∞∫ 0 e−udu   = −π α e−u ∣∣∣∣∣ ∞ 0 = π α Portanto, +∞∫ −∞ e−αx 2 dx = √ π α 1