Conceitos de Derivada - Proposta de Ensino e Aprendizagem

Conceitos de Derivada - Proposta de Ensino e Aprendizagem

(Parte 1 de 6)

PUC – SP São Paulo 2000

Dissertação apresentada como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em

Educação Matemática à Pontifícia Universidade

Católica de São Paulo, sob orientação do Professor Doutor Benedito Antonio da Silva.

PUC – SP São Paulo 2000

A Deus, que durante esta jornada sempre me deu sinais de que vale continuar. Ao meu orientador, Professor Benedito Antonio da Silva, que sempre me estimulou pela sua própria maneira de ser. Para mim, nossos encontros foram momentos de prazer e aprendizado; nossas conversas sempre estiveram envoltas de gentileza, educação e extrema simpatia. Professor, tu és fantástico!

Às Professoras Sônia Barbosa Camargo Igliori e Rosa Lucia Sverzut

Baroni, que com sabedoria e delicadeza, mostraram-me o caminho a ser seguido para que este trabalho tomasse esta forma.

Ao meu saudoso pai, Professor Claudio João Dall’Anese, que com freqüência parece estar ao meu lado, conduzindo meu pensamento ao doce sabor da Matemática. Pai, jamais esquecerei daquelas suas aulas que assistia desde pequenino, nem das incontáveis pipas que empinávamos juntos, desenhando no céu curvas de funções.

Ao meu irmão, Carlo Dall’Anese, que entendeu que minha ausência em nosso projeto seria necessária para a elaboração desta dissertação, e com sabedoria deu continuidade a ele.

À minha esposa Evelise, que foi capaz de suportar minha ausência e estimular-me, de acordo com sua maneira singular de interpretar a vida.

À minha mãe, Maria Cleide e aos meus avós Izidoro, Anna e Adelina, que em incontáveis momentos se fizeram presentes com seus cuidados para, aos seus modos, proporcionarem condições favoráveis para a realização deste trabalho.

Ao Francisco, que aliando sua solicitude ao seu sorriso descontraído e sereno, muitas vezes motivou meu empenho.

Aos meus colegas de mestrado: Eugênio, Ronaldo, Rose, Marco

Celestino e Setsuko, que me deram muita força na qualificação. Tenham certeza que a presença de vocês foi algo muito especial para mim.

Ao meu pai, Prof. Claudio João Dall’Anese

Dado que existem dificuldades, no que se refere ao ensino e aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral, este trabalho apresenta uma seqüência didática com atividades apresentadas em fichas, em que os alunos trabalham em duplas, para perceber a essência do conceito de derivada. Após a resolução de cada ficha, estabelece-se uma plenária para discussão das respostas apresentadas. A escolha desta prática metodológica representa uma ruptura do contrato didático habitual. Apresento uma análise a posteriori de cada ficha, confrontando os protocolos dos alunos com uma análise feita a priori. Isto permite levantar conclusões sobre os ganhos desta escolha pedagógica para o ensino e aprendizagem do conceito de derivada.

Palavras – chave: derivada, contrato didático, reta tangente, variação, otimização.

Since difficulties exist, in refering to the teaching and lerning of

Differential and Integral Calculus, this work presents a didactic sequence with activities allocated in records, in which the students work in couples to perceive the essence of the concept of derivatives. After the resolution of each record, it is settled down a plenary to discuss the presented answers. The choice of this methodological practice represents a rupture of the habitual didactic contract. I present a posteriori analysis of each record, confronting the student’s protocols with a priori analysis. This allows to raise conclusions about the gains of this pedagogic choice to the teaching and learning of the concept of the derivative.

Key Words: derivative, didactic contract, tangent, variation, optimize.

I. Intr odução09
I. Pr oblemática12
por alguns trabalhos e livros didáticos16
IV. Elementos históricos23
V. Embasamento Teórico e Metodologia36
VI. A seqüência de ensino : fichas e análise a priori45
VII. Análise a posteriori e conclusões83
Bibliografia128

Os conceitos do Cálculo Diferencial e Integral, muitas vezes são introduzidos através de uma aula expositiva, em que o professor apresenta as definições, propriedades e exemplos e por sua vez, os alunos resolvem listas de exercícios. Desta forma, as “obrigações contratuais” tanto do ponto de vista do professor quanto dos alunos parecem ter sido cumpridas. No entanto, observa-se elevado índice de reprovação e de desistência nesta disciplina, sinalizando a existência de problemas no processo de ensino e aprendizagem.

Por outro lado, pesquisas em Didática da Matemática têm sido desenvolvidas na tentativa de diagnosticar tais problemas e novas práticas metodológicas têm sido testadas e analisadas, sob diversas perspectivas e dentro de diversos contextos, como por exemplo, o uso de computadores e de calculadoras gráficas, numa tentativa de contribuir para a melhora do quadro acima observado. Cito alguns destes trabalhos mais adiante, no capítulo I.

Minha pesquisa tem a ambição de contribuir para o desenvolvimento da prática pedagógica ao introduzir-se conceitos do Cálculo Diferencial e Integral, e refere-se a um domínio em particular: o conceito de derivada, cuja abordagem será feita a partir da noção de variação. A definição de derivada como é conhecida hoje, deve-se a Cauchy, que a apresentou por volta de 1823 como razão de variação infinitesimal, embora Newton e Leibniz, já no século XVII tenham utilizado os fundamentos desse conceito como um método para relacionar problemas de quadraturas e de tangentes. A prática pedagógica adotada é a do trabalho dos alunos em duplas, utilizando papel, lápis, calculadora e, em alguns momentos, recursos do computador, visando a construção desse conceito.

A opção por esta prática metodológica deve-se, fundamentalmente, ao trabalho realizado por Silva e Igliori [16] descrito no artigo “Um estudo exploratório sobre o conceito de derivada” que relata uma experimentação “piloto” realizada com 2 duplas de alunos iniciantes da disciplina Cálculo Diferencial e Integral. Neste artigo, os autores relatam que os alunos desenvolvendo atividades que conduzem à exploração da noção de razão de variação, afirmaram com convicção que “aprenderam o que é derivada”. Além disso, os autores sugerem que o trabalho pode ser continuado, tentando-se aplicar uma seqüência de atividades para uma classe inteira de alunos, explorando funções além da trabalhada nesse experimento.

Minha escolha pedagógica foi a elaboração de uma seqüência didática composta de atividades apresentadas em 14 fichas, nas quais inicialmente apresento um problema do mundo concreto a fim de que o aluno perceba que ainda não dispõe de um instrumental eficaz para resolvê-lo. Tal ferramenta é a derivada. A partir daí, as fichas conduzem à exploração da noção de variação objetivando a construção do conceito de derivada como taxa de variação instantânea. Após a resolução de cada ficha, proponho uma plenária para a discussão dos resultados obtidos pelos alunos e a institucionalização dos conceitos envolvidos. Retomo o problema inicialmente apresentado para ser resolvido, na última ficha.

De acordo com os autores citados, substituir a aula expositiva pela apresentação de fichas, em que os alunos trabalham e constróem o conceito por si próprios, foi uma escolha acertada, pois os estudantes “trabalharam com muita disposição e até mesmo entusiasmo” e mostraram-se satisfeitos ao final, de resolver um problema inicialmente proposto. Procedendo desta maneira, acredito que estou promovendo uma ruptura no Contrato Didático usual.

No capítulo I, apresento a problemática desta pesquisa, que se articula com questões colocadas por Silva e Igliori.

No capítulo I, destaco algumas pesquisas relativas ao ensino e aprendizagem do conceito de derivada, e faço um pequeno levantamento da abordagem deste conceito, proposta por alguns autores de livros didáticos.

No capítulo IV, procurei identificar a origem do conceito de derivada como razão de variação infinitesimal e sua gênese, a partir do levantamento de alguns elementos históricos.

No capítulo V, apresento uma síntese do quadro teórico que fundamenta o trabalho, ressaltando elementos da Didática da Matemática que podem contribuir para o ensino e aprendizagem do conceito de derivada. Tal quadro, compõe-se de elementos da Teoria do Conhecimento e do Contrato Didático. O objetivo, assim como a Metodologia da Pesquisa e o procedimento de aplicação das fichas também estão apresentados neste capítulo.

No capítulo VI, são apresentadas as fichas com as atividades desenvolvidas pelos alunos, seguidas das análises a priori.

No capítulo VII, apresento a análise a posteriori de cada ficha e conclusões do trabalho.

Estudos em Educação Matemática que têm como foco o ensino e aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral, sinalizam que esta disciplina apresenta dificuldades para alunos dos cursos de Matemática, Física, Engenharia, Computação, etc. Minha prática docente como professor de Cálculo e também constatações apresentadas naqueles estudos, ofereceramme um referencial, evidenciando que as dificuldades enfrentadas pelos alunos dessa disciplina não são poucas, o que conduz à reprovação e ao abandono do curso.

Tendo como alvo de pesquisa o ensino/aprendizagem do Cálculo

Diferencial e Integral, escolhi o estudo da derivada, por entender ser este um de seus conceitos fundamentais. Diversas áreas do conhecimento utilizam-se da derivada como ferramenta para resolver problemas sobre fenômenos que envolvem variação. Pode-se citar por exemplo, a Biologia, em que a derivada se aplica na pesquisa da taxa de crescimento de bactérias de uma cultura; na Eletricidade, para descrever a variação da corrente num circuito elétrico; na Economia, para estudar a receita, o custo e o lucro marginais. Na Física, o conceito de derivada está presente para definir a velocidade e aceleração de uma partícula que se move ao longo de uma curva: a primeira, refere-se à medida da taxa de variação da distância percorrida em relação ao tempo; e a segunda, à medida da taxa de variação da velocidade. A tangente à uma curva num determinado ponto indica a direção do movimento da partícula. Problemas de máximos e de mínimos podem ser resolvidos com o uso de derivadas, como por exemplo: que dimensões deve ter uma embalagem para que seja gasta a menor quantidade de material para envolver determinado sólido?, como se pode maximizar o lucro na venda de determinado produto?. Enfim, pode-se perceber que as aplicações de derivada são inúmeras, e que em muitos casos está presente explicitamente a essência do conceito, que é a medida de variação.

Decidi, em minha pesquisa, investigar em que medida o ensino tradicionalmente realizado tem influência no aprendizado dos alunos.

Segundo Villarreal [18], os estudos em Educação Matemática que tratam do ensino e aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral, abordam o problema sob diversas perspectivas e em diversos contextos, e cada um oferece elementos que permitem ampliar a análise das dificuldades apresentadas na aprendizagem da disciplina. A autora apresenta algumas dessas dificuldades seguindo dois caminhos que não são independentes, mas que estão intimamente relacionados: a problemática da concepção dos estudantes e a problemática do ensino no Cálculo. Destaco abaixo, dificuldades, algumas levantadas nesses estudos e outras, por mim observadas ao longo de minha prática docente.

algorítmicas (por exemplo: cálculo de derivadas),mas surgiram dificuldades
variaçãoPoderosos algoritmos produzem uma algebrização que acaba

Primeiramente, o que fica para os alunos é a derivada como um processo mecânico, algoritmo de cálculo ou resultado de uma operação. Villarreal aponta que “os estudantes tiveram um bom desempenho nas tarefas quando representações gráficas estavam envolvidas no cálculo de taxas de ocultando as idéias essenciais do Cálculo”.

Por outro lado, os alunos tendem a decorar regras de derivação e a derivada parece ter pouca significação. Ao resolver questões que envolvem a aplicação desse conceito, eles recorrem a procedimentos-padrão. Exemplo disto é a determinação de pontos de máximo e de mínimo, derivando a função dada e encontrando as raízes da função derivada, sem relacionar a posição da reta tangente ao gráfico com o ponto em análise. Outro exemplo, é : “derivando a velocidade, encontra-se a aceleração” e, às vezes, nessa “técnica” não está incorporada a idéia de que houve variação.

Tais dificuldades, levaram-me à indagação: “que proposta pedagógica poderia estar trabalhando?”, cuja resposta foi sugerida pelo artigo “Um estudo exploratório sobre o conceito de derivada” de Silva e Igliori (1996), que faz um ensaio com duas duplas de alunos iniciantes de Cálculo, não tratando o conceito de forma algorítmica-algébrica, e sim através da apresentação de uma seqüência de 6 fichas que conduzem o aluno a trabalhar para construir a essência do conceito (medida da variação). Neste artigo, os autores colocam a questão: “como aplicar esta (ou outra) seqüência em uma classe inteira de alunos que nunca ouviram falar em derivada?”, sugerindo a continuação do estudo. Na conclusão desse artigo lê-se que “a substituição do tratamento clássico dispensado ao conceito de derivada (apresentação de definições, propriedades, técnicas e algumas aplicações), pela tentativa da construção do conceito, pelo estudante, através de sua participação efetiva, demonstra que o aluno, uma vez motivado, busca com muita perseverança e vontade, o saber construído, para poder aplicá-lo na solução de questões previamente colocadas. Sua satisfação em poder, finalmente, responder aos apelos feitos, usando seguramente um instrumento eficaz, indica que a meta foi alcançada”.

O trabalho descrito pelos autores é resultado de seminários e discussões sobre o ensino e aprendizagem de derivada com a Doutora Michèle Artigue do IUFM de Reims e membro da equipe DIDIREM da Universidade Paris 7.

Silva e Igliori apontam que a prática usual do ensino do Cálculo

Diferencial e Integral “quase nunca foge da apresentação de definições, propriedades, técnicas algumas poucas aplicações”, o que permite contornar obstáculos enfrentados pelos alunos, sem que “o preço a ser pago seja muito perceptível aos agentes do sistema (alunos e professores)”. Assim, a aula expositiva, dentro de um quadro algorítmico-algébrico é um “refúgio seguro”, e as mesmas estratégias são usadas ao introduzir-se vários conceitos tratados na disciplina. Os estudantes se adaptam, aprendendo a reconhecer certas palavras chaves que induzem a procedimentos para a resolução de problemas e “como os professores têm a prudência (ou não) de incluir estas pistas de reconhecimento nos enunciados, os estudantes acabam por atingir uma eficácia razoável”.

conjecturas, levantar hipóteses, comprovar resultados,representa uma

Tais afirmações sinalizam que há uma relação entre a aprendizagem e os métodos adotados em geral. Utilizar uma prática pedagógica diferente das tradicionais traz algum ganho? A escolha feita para a apresentação do conceito de derivada, qual seja, aplicação de fichas em que os alunos trabalham em duplas, com questões que permitam fazer estimativas, indagações, ruptura do contrato didático usual, e acredito, ajudará a contornar algumas dificuldades apresentadas pelos mesmos.

O arcabouço do meu trabalho constitui-se de alguns elementos que foram considerados para definir a escolha da abordagem do conceito de derivada e também da prática pedagógica. São eles:

• Os alunos apresentam dificuldades no aprendizado de conceitos abordados pelo Cálculo Diferencial e Integral;

• O ponto de partida para a bordar o conceito: a noção de variação;

• A substituição da aula expositiva pela apresentação de questões investigativas que visam a construção do conceito pelo estudante.

Neste capítulo, faço um levantamento da maneira pela qual o conceito de derivada é abordado por alguns autores de livros didáticos, e também aponto alguns trabalhos publicados relativos à introdução desse conceito, que propõem diferentes abordagens e escolhas pedagógicas, em diversos contextos e perspectivas.

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