Limite e Derivada

Limite e Derivada

(Parte 2 de 2)

Se uma função f é diferenciável em um numero x1, então f é continua em x1.

f é contínua em x1 f não é uma reta vertical em x1 f tem uma mudança brusca de módulo em x1 x xfxf − x xfxf −

= lim

f(x) = c f (x) = 0

• DERIVADA DA POTÊNCIA (potências inteiras positivas)

• A derivada da soma de um número finito de funções é igual à soma de suas derivadas se estas derivadas existirem.

h(x) = f(x)g(x)  h (x) = f(x) g (x) + g(x) f (x)

• DERIVADA DA POTENCIA I (potências inteiras negativas) f (x) = -nx1−−n

• DX(sen x) = cos x • DX(cos x) = -sen x

• DX(tg x) = sec² x

• DX(cotg x) = - cossec² x

• DX(sec x) = sec x . tg x

• DX(cossec x) = -cossec x . cotg x

• DX(arcsenx)=

• DX(arccos)=

• DX(arccotg)=

• DX(arccosec)=

Se f é a função potencia definida por f(x) = xr, onde r é qualquer numero racional, então f é diferenciável e:

para obter f(0) a partir desta formula, r deve ser um numero tal que x1−r está definido em algum intervalo aberto que contenha 0

Se f e g são duas funções tais que f(x) = [g(x)]r, onde r é qualquer numero racional e se g(x) existe, então f é diferenciável, e:

A função f tem um valor máximo/mínimo em um intervalo se existe numero c no intervalo tal que f(c)≥ f(x) para todo x do intervalo. O numero f(c) é o valor absoluto de f no intervalo. Procedimentos para resolução de exercício:

(I) Determine os valores da função nos números críticos de f em (a,b). (I) Determine os valores de f(a) e f(b). (I) O maior dos valores determinados nos passos 1 e 2 é o valor máximo absoluto, e o menor dos valores é o valor mínimo absoluto.

TEOREMA DE ROLLE Se f é uma função tal que:

(I) é contínua no intervalo fechado [a,b] (I) é diferenciável no intervalo aberto (a,b) (I) f(a) = 0 e f(b) = 0 então existe um numero c no intervalo aberto (a,b) tal que: f(c) = 0

TEOREMA DO VALOR MÉDIO Se f é uma função tal que:

(I) é contínua no intervalo fechado [a,b] (I) é diferenciável no intervalo aberto (a,b) então existe um numero c no intervalo aberto (a,b) tal que:

afbf cf

Para determinar os extremos relativos de f:

(I) calcule f(x) (I) determine os números críticos de f, os valores para os quais f(x) = 0 e para quais f(x) não existe.

(I) a) se f(x) > 0 para todos os valores de x em algum intervalo aberto que contenha c como seu extremo direito, e se f(x) < 0 para todos os valores de x de algum intervalo aberto que contenha c como seu extremo esquerdo, então f tem um valor máximo relativo em c; b) se f(x) < 0 para todos os valores de x em algum intervalo aberto que contenha c como seu extremo direito, e se f(x) > 0 para todos os valores de x de algum intervalo aberto que contenha c como seu extremo esquerdo, então f tem um valor mínimo relativo em c;

DEFINIÇÃO DE CONCAVIDADE PARA CIMA Se diz que o gráfico de uma função tem a concavidade para cima no ponto (c,f(c)) se todos os pontos estão acima da reta tangente do ponto de inflexão

DEFINIÇÃO DE CONCAVIDADE PARA BAIXO Se diz que o gráfico de uma função tem a concavidade para baixo no ponto (c,f(c)) se todos os pontos estão abaixo da reta tangente do ponto de inflexão

Se f é uma função que é diferenciável em algum intervalo aberto que contem c, então:

(I) se f(c) > 0, o gráfico de f tem uma concavidade para cima no ponto (c,f(c)) (I) se f(c) < 0, o gráfico de f tem uma concavidade para baixo (c,f(c))

REGRA DE L’HÔSPITAL Suponha que f e g sejam diferenciáveis e g(x) ≠ 0 próximo a a (exceto possivelmente em a). Suponha que

limx->a f(x)=0e limx->a g(x)=0
ou quelimx->a f(x)=± ∞ e limx->a g(x)=± ∞

(Ou seja, temos uma forma indeterminada do tipo 0/0 ou ∞/∞). Então

Se o limite do lado direito existir (ou é ∞ ou -∞)

PHYSICS ACT (http://physicsact.wordpress.com)

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