Matemática para resolução de circuitos elétricos

Matemática para resolução de circuitos elétricos

(Parte 1 de 3)

Circuitos Elétricos: Métodos de Resolução de Malhas Múltiplas

(Por Roberto Rezende)

(Agradecimentos ao professor Leandro Nogueira, que deu apoio com o método de Thévénin)

1)Introdução

O objetivo deste artigo é tratar das diferentes maneiras de se resolver questões sobre circuitos elétricos, um assunto cobrado no IME e no ITA freqüentemente.

2)Associação de Resistores

constante

a)associação de resistores em série: é aquela cuja corrente que passa pelos resistores é

Resistência equivalente em série: sejam n resistores em serie, de 1 R a n

V++

nnV ,

Como V= Ri e as correntes são iguais:

s R= i R b)associação de resistores em paralelo: é aquela cuja diferença de potencial aplicada a todos os resistores é a mesma.

Resistência equivalente em paralelo: sejam n resistores em paralelo, de 1 R a n R

Da figura, vemos que i= n k i

Mas como i = R

Temos que:

p R logo p R k R

3) Ponte de Wheatstone

O problema da Ponte de Wheatstone consiste em calcular a resistência equivalente entre os pontos A e B. Para calcular essa w R, podemos dividir a situação em dois casos:

a) ponte equilibrada: Se temos a relação 41 R =

V= 0 (vale demonstrar), ou seja, não passa corrente em 5 R. Logo:

w R= transformação Delta-Estrela. Tal transformação consiste em criar um circuito equivalente a malha ACD, de modo que haja apenas associações em série e associações em paralelo.

Exercício: Demonstrar a relação Delta-Estrela.

Resposta: 1 r =

; : 2 r =

; 3 r =

4) Malhas Simples

Em um circuito de malha simples, o artifício a ser usado é que, para qualquer ponto P do circuito, P

V =0. Daí, temos que, no circuito abaixo, por exemplo:

R)

B R + C 5) Malhas Múltiplas

Métodos de Resolução

A) Método de Kirchoff

O método de Kirchoff é nada menos do que a interpretação eletrodinâmica da conservação da energia (diferença de potencial em cada malha simples é nula) e da conservação da matéria (correntes que entram por um nó somam o mesmo valor que as correntes que saem do mesmo nó).

Exemplo Ilustrativo: Calcular as correntes que passam em cada um dos ramos.

1ºpasso: arbitrar uma corrente em cada ramo: Foram arbitradas as correntes Ix, Iy e Iz, conforme mostra a figura.

2ºpasso: arbitrar um sentido de percurso em cada malha. Geralmente, é preferível (por questões algébricas) arbitrar o mesmo sentido em todas as malhas, sendo este correspondente ao que tornaria a maior f.e.m. um gerador. No exemplo arbitraremos o sentido horário. Se o sentido da corrente e o sentido arbitrado forem os mesmos, o sinal do produto RI será positivo. Caso contrário, o sinal será negativo. O sinal da f.e.m. é obtido de acordo com o lado que sai o sentido arbitrado. Se sair da placa positiva, esta será positiva. Se sair da placa negativa, esta será negativa.

3ºpasso: aplicar conservação do potencial em cada malha simples.

Na malha ABCFA, temos que A V = 0, logo:

10-4= 5X I +3Y

Na malha FCFDE, temos que F V = 0, logo:

4 = 2Z I -3Y

De (A)+(B), temos que:

I (C), que é o resultado que seria encontrado se fizéssemos o mesmo com a

malha ABCDEFA (pode ser usado de prova real).

4ºpasso: aplicar a lei dos nós, quantas vezes for necessário para se completar as incógnitas.

Do Nó C, temos que: X I = Y I + Z

Após realizar as contas, vemos que as correntes encontradas são:

O sinal de cada corrente determina se o sentido é igual ao arbitrado ou não

B) Método de Maxwell

O Método de Maxwell consiste numa simplificação do Método de Kirchoff, com o objetivo de tornar o trabalho algébrico mais leve. A idéia de Maxwell foi supor a existência de uma corrente circular em cada malha simples, com o objetivo de reduzir o número de correntes a ser encontradas. Para achar todas as correntes que existem no circuito, uma operação de soma nos ramos adjacentes é o suficiente.

Exemplo Ilustrativo: refazer o exemplo anterior, usando agora o método de Maxwell.

1º passo: arbitrar o sentido das correntes circulares. Neste caso, é bom arbitrar todas as correntes no mesmo sentido, para não haver confusões algébricas. Escolher o sentido que torne a maior f.e.m. positiva ajuda.

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