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Calculo I Alexandre N. Carvalho, Wagner V. L. Nunes e Sergio L. Zani

Sumario

1.1 Formula e polinomio de Taylor para funcoes de uma variavel5
1.2 Formula e polinomio de Taylor para funcoes de duas variaveis5

1 A Formula de Taylor 5

2.1 Definicao e resultados gerais1
2.2 Teste do hessiano13
2.3 Exemplos18
2.4 Extremos de funcoes em regioes fechadas e limitadas21
3.1 Introducao25
3.2 Teorema do multiplicador de Lagrange26
3.3 Exemplos26
4.1 Teorema dos multiplicadores de Lagrange31
5.1 Definicao e Propriedades Basicas35
5.2 Exemplos37

5 Transformacoes 35

6.1 Introducao45
6.2 O Teorema da funcao inversa46

6 Teorema da Funcao Inversa 45

7.1 Derivacao de Funcoes Definidas Implicitamente47
7.2 O Teorema da funcao implıcita (caso F(x, y) = 0)49
7.3 O Teorema das funcoes implıcitas: Caso Geral52

7 Funcoes Definidas Implicitamente 47

8.1 Integrais Iteradas5
8.2 Integrais Multiplas57
8.2.1 Regras para estabelecer limites de integracao para integrais iteradas6
8.3 Mudanca de Variaveis71
8.3.1 Coordenadas Polares73
8.3.2 Coordenadas Cilındricas75
8.3.3 Coordenadas Esfericas76
8.4 Densidade e Centro de Massa78
8.4.1 Momento de Inercia80
8.4.2 Momento Angular81
8.4.3 Miscelanea de Exemplos82
8.4.4 Aplicacoes no Espaco R384

4 SUMARIO

9.1 Substituicao e Integracao por Partes (Calculo I)87
10.1 Introducao89
10.2 Exemplos90

10 Campos Vetoriais 89

1.1 Introducao93
1.2 Aplicacao95
1.3 Integral de linha de um campo vetorial96
1.4 Campos conservativos e integrais de linha101

1 Integrais de Linha 93

12.1 Introducao115
12.2 Aplicacao118

12 Teorema de Green 115

13.1 Superfıcies123
13.2 Integral de Superfıcie125
13.3 Exemplos127

13 Integrais de Superfıcie 123

14.1 Definicao e Exemplos133
15.1 O Divergente e o Rotacional137
15.2 O Teorema de Gauss139
15.2.1 Interpretacao Fısica do Divergente142
15.3 O Teorema de Stokes142
15.3.1 Interpretacao Fısica do Rotacional145

Capıtulo 1 A Formula de Taylor

1.1 Formula e polinomio de Taylor para funcoes de uma variavel

Nesta secao recordaremos a formula de Taylor para funcoes de uma variavel como vista em Calculo I.

Teorema 1.1.1 Seja g : [a,b] → R uma funcao de classe Cn−1 e n vezes diferenciavel em (a,b). Entao existe c ∈ (a,b) tal que

Definicao 1.1.1 Dada uma funcao f : I → R definida num intervalo I e n vezes derivavel no ponto a ∈ I, o polinomio de Taylor de f em a e definido por

Observe que nas condicoes do teorema (1.1.1) com b = a + h temos a seguinte igualdade

1.2 Formula e polinomio de Taylor para funcoes de duas variaveis

dada por g(t) = f(xo+th,yo+tk), ou seja, g e a composta da funcao ϕ(t) = (xo+th,yo+tk) (qual a imagem de ϕ?) com f e, portanto, tambem e uma funcao de classe Cn+1. Podemos assim aplicar o teorema (1.1.1) para g e obter a formula de Taylor correspondente, usando a = 0 e b = 1. Entretanto, estamos interessados em ver o comportamento do polinomio de Taylor de g calculado em t = 1. Note que g(0) = f(Po) e fazendo uso da regra da cadeia podemos ver que

Deste modo, podemos escrever onde

hn+1−jkj

Fazendo h = x − xo e k = y − yo obtemos o polinomio de Taylor de grau (no maximo) n de f em Po = (xo,yo) como

Note que o polinomio de Taylor de grau um nada mais e do que a equacao do plano tangente ao grafico de f em (xo,yo). Ja o de grau dois representa a quadrica que melhor aproxima o grafico de f em torno de

(xo, yo). Nos exemplos que seguem procuraremos identificar o comportamento do grafico da funcao proximo ao ponto (xo,yo) analisando o grafico do seu polinomio de Taylor de grau 2. Vejamos

1.2. FORMULA E POLINOMIO DE TAYLOR PARA FUNC OES DE DUAS VARIAVEIS 7

A funcao acima e claramente suave, isto e, de classe Ck para todo k. Precisamos calcular todas as derivadas ate a segunda ordem. Temos f xseny 0

Assim,

cujo grafico representa uma sela. A figura abaixo representa os graficos de f e de p2 sobre um quadrado centrado na origem de lado tres. O grafico de f se encontra abaixo do grafico de p2.

Figura 1.1: graficos de f e p2 proximos a origem

A figura (1.2) procura mostrar que a aproximacao e boa nas proximidades da origem, deixando de possuir utilidade para pontos mais afastados.

Figura 1.2: graficos de f e p2 numa visao global

Como no exemplo acima, a funcao e claramente suave. As suas derivadas ate a segunda ordem sao f xsenx + yseny 0

Assim,

cujo grafico e um paraboloide. A figura abaixo (1.3) representa o os graficos de f e de p2 numa vizinhanca da origem.

Figura 1.3: graficos de f e p2 proximos a origem

A proxima figura (1.4) procura mostrar que a aproximacao e boa nas proximidades da origem, deixando de possuir utilidade para pontos mais afastados.

Vejamos o ultimo exemplo

Exemplo 1.2.3 Encontre o polinomio de Taylor p2(x,y) da funcao f(x,y) = sen(x4 + y4) em torno da origem.

Como no exemplo acima, a funcao e claramente suave. As suas derivadas ate a segunda ordem sao

1.2. FORMULA E POLINOMIO DE TAYLOR PARA FUNC OES DE DUAS VARIAVEIS 9

Figura 1.4: graficos de f e p2 numa visao global

cujo grafico representa um plano horizontal, na verdade, o proprio plano tangente ao grafico de f na origem.

Este exemplo ilustra que p2 pode nao ser suficiente para sabermos mais informacoes sobre o grafico de f proximo a Po. Deixamos como exercıcio ao leitor descobrir qual o menor inteiro n tal que pn(x,y) e diferente do polinomio nulo.

A figura abaixo (1.5) representa os graficos de f e de p2 proximos a origem.

Figura 1.5: graficos de f e p2 proximos a origem

Observacao 1.2.1 Note que existem funcoes suaves que nao sao identicamente nula mas tem todos pn nulos.

2.1 Definicao e resultados gerais

Definicao 2.1.2 Seja f : A ⊂ Rn → R. Dizemos que Po ∈ A e um ponto de maximo local (resp., mınimo local) de f se existir uma bola B centrada em Po tal f(P) ≤ f(Po) (resp., f(P) ≥ f(Po)) para todo P ∈ A∩B.

Observacao 2.1.1 As vezes usaremos a denominacao de maximo (mınimo) global no caso da definicao (2.1.1) para ressaltar a diferenca entre as duas definicoes acima.

E comum tambem empregarmos o termo extremo (local) para designarmos um ponto que e de maximo ou de mınimo (local).

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