Teoria da Relatividade

Teoria da Relatividade

(Parte 1 de 2)

Relatividade Restrita (E = mc2)

1. introdução:

Nesta seção, tentaremos deduzir matematicamente a expressão E = mc², que talvez seja a equação mais popular da Física. Para tanto, primeiramente, vamos supor que já é bem conhecido do leitor as transformações de Lorentz, e a diferença entre massa inercial e massa gravitacional.

2. As Transformações de Lorentz:

Não deduziremos aqui as Transformações de Lorentz, mas, vamos relembrar a sua forma e a sua utilidade. As Transformações de Lorentz são utilizadas para mostrar como dois observadores diferentes, em referenciais diferentes S e S', que se movem à velocidade v, um com relação ao outro.

(1)

Resolvendo o sistema (1) em função de x, y, z e t, teremos as Transformações de Lorentz inversa, que é:

(2)

As expressões (1) e (2) também são conhecidas como Transformações de Lorentz especial, pois são deduzidas a partir da consideração de que para um dos referenciais haja movimento apenas na direção do eixo x, por isso que y e z não se transformam, sendo iguais, respectivamente a y' e z'.

3. Mecânica Relativística:

A mecânica desenvolvida por Isaac Newton, conhecida como Mecânica Newtoniana é um grande marco do pensamento racional e de toda a ciência ocidental. Pois, com ela, se pôde associar os mais diversos movimentos em um número bastante reduzido de leis. É possível se estudar de maneira bastante parecida tanto o movimento da Lua em volta da Terra quanto uma maçã que cai na superfície do planeta. Mas, esta teoria é incompatível com a teoria eletromagnética de Maxwell. E, para conciliar as duas teorias mais bem elaboradas que a humanidade já criou, foi preciso se desenvolver uma outra teoria: a teoria da relatividade.

A teoria da relatividade, na verdade, é dividida em duas: a relatividade restrita e a relatividade geral. Nos será de maior interesse no momento a relatividade restrita, pois é a partir dela que começa a acontecer a grande reformulação da mecânica de Newton. Como já foi dito anteriormente, não pretendemos entrar em detalhes nos conceitos abordados pela teoria da relatividade; no entanto, mostraremos que ela reduz a mecânica de Newton a um caso particular de um principio físico mais geral.

Albert Einstein, criador da teoria da relatividade, mostrou que há duas formas distintas de massa e que é preciso que se diferencie uma da outra. Uma ele chamou de massa inercial e a outra de massa gravitacional. Quando a velocidades pequenas comparadas com velocidade da luz, ambas tendem a serem iguais. Não é uma tarefa difícil se deduzir a expressão matemática para a massa inercial, já que a mesma depende da velocidade. E ela é:

A expressão (3) dar mais consistência aos postulados que Einstein criou para conseguir chegar a teoria da relatividade. Observe o que acontece quando v tende para c.

(4)

A relação v2/c2tenderá para 1, então, o termo no interior da raiz quadrada tenderá para 0. como:

(5)

Então, teremos que m(v) será uma indeterminação. Fisicamente, poderíamos dizer que m(v), a massa relativística, seria infinita se a velocidade da partícula fosse igual a velocidade da luz. E, se a velocidade da partícula fosse superior a velocidade da luz, teríamos um números complexo puro. Isso justifica um dos postulados da teoria da relatividade, que diz que nada que tenha massa pode alcançar a velocidade da luz.

Mas, a relatividade ainda conserva alguns conceitos que são comuns à mecânica newtoniana, como por exemplo a quantidade de movimento, p, e a força F, que são definidos, respectivamente como:

p≡mv(6) e F≡dp
dt(7)

Onde v é a velocidade da partícula e a é a aceleração da mesma. Ainda na mecânica newtoniana temos que: (8)

Onde T é o trabalho realizado pela força para mover um corpo na distância dx. Agora nós já temos as ferramentas necessárias para deduzir a equação de Einstein.

4. A equação de Einstein:

(9)

Primeiramente utilizamos a expressão (8), e substituímos F pela expressão (7):

dt(10)

Sabemos que a velocidade é definida como: v≡dx

Substituindo (10) em (9), temos: (1)

Nosso próximo passo é resolver a integral da expressão (1). Essa integral é resolvida facilmente se usarmos o método de integração por partes. Relembraremos como é utilizado este método:

∫udk=uk−∫kdu, o que resulta em:(12)

Utilizando agora a expressão (6), para substituir na expressão (12) lim v c lim x F dx

0 x dpdt p vdp v pdv

mvdv(13)

Substituiremos agora a expressão (3) na expressão (13), pois necessitaremos da massa relativística. Pela primeira vez, sairemos da mecânica newtoniana, para dizermos que a massa é uma função da velocidade. Como já deu para perceber a integral será de uma forma um pouco mais complicada de se resolver.

(14)

Nos concentraremos no momento em resolver a segunda parte da expressão (14), que é resolver a integral definida. Esta integral não deve ser muito difícil de ser resolvida, pois, ela se integra com v e este mesmo termo é encontrado elevado ao quadrado e elevado à primeira potência. Tentaremos resolvê-la por substituição, fazendo:

c2 dv Logo: vdv=

2 du

Fazendo todas as substituições necessárias, podemos escrever agora a integral da seguinte forma:

Substituímos agora a expressão acima em (14), no lugar da integral, temos:

(15)
(16)

Colocando m0c2 em evidência, temos:

Podemos simplificar mais ainda as expressões no interior dos parênteses, reduzindo-a a uma única expressão:

(17)

Aplicando agora os limites de integração, temos:

−1(18)

Simplificando para eliminar os parênteses, temos:

(19)

v m0v

O teorema da conservação da energia diz que o trabalho total executado sobre uma partícula é igual a sua energia cinética. Por isso, deixaremos de usar T, para usar E, pois, desde o início que estamos tratando de energia. Nossa expressão então será:

(20)

−m0c2 Esta expressão (20) também pode ser escrita da seguinte forma:

−1](21)

Devido a forma do termo entre parênteses, a expressão (21) pode ser expandida na forma de uma expansão binomial. Lembrando que de maneira genérica, uma expansão binomial pode ser assim escrita:

(2)

2! Expandido (21), fica:

−1](23)

Estamos interessados apenas nos termos de potência inferior, pois, se considerarmos que v << c, cada vez que v2/c2 for elevado a uma potência maior, o termos será menor, se tornando irrelevante no que desejamos observar. Mas, é claro que não teremos mais uma exatidão, somente uma aproximação. Mas, esta aproximação é muito boa para os nossos parâmetros físicos, pois, não temos nenhum aparelho de medida que meça uma grandeza qualquer com infinita precisão, somente aproximadamente. Então, a expressão (23) toma a seguinte forma:

c2](24)

Simplificando, fica:

mv2(25)

Que é a nossa conhecida expressão para a energia cinética, que é proveniente da Mecânica

comparadas à velocidade da luz

Clássica. Este resultado é uma das provas que a Teoria da Relatividade está de acordo com a mecânica Newtoniana, sendo mais uma generalização do que uma contradição quanto à teoria clássica. Pois, na mecânica de Newton, todos os movimentos ocorrem em pequenas velocidades

Para calcularmos a energia relativística total Et de uma partícula, devemos somar a energia dessa partícula, quando em movimento com a energia dessa partícula quando em repouso. Ou seja:

Et = E(v) + E(0), onde E(v) é a energia cinética da partícula e E(0) é a energia de repouso da partícula. Logo:

(26)
Então, a energia cinética relativística de uma partícula é dada pore a energia de

repouso é simplesmente E(0) = mc2. E v = m0c2

Et = mc2 + m0c2(27)

Da expressão (3), podemos simplificar ainda mais a (26), que fica:

Podemos ainda escrever: mc2 = Et - m0c2. E quando temos uma partícula presa por um poço de potencial U, podemos generalizar mais ainda a expressão da energia dessa partícula. Da expressão

(19), temos que:

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