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Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável

Centro Universitário do Leste de Minas de Gerais

UNILESTEMG

Coronel Fabriciano - MG

CÁLCULO I

CÁLCULO DAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL

PROFº REGINALDO PINTO BARBOSA

PROFª DAYSE MARA PEREIRA DA COSTA

Janeiro de 2009

Sumário

Centro Universitário do Leste de Minas de Gerais 1

UNILESTEMG 1

CÁLCULO I 1

CÁLCULO DAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 1

Sumário 2

1. NÚMEROS REAIS 4

1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 4

1.2. DESIGUALDADES 5

1.3. SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES E INTERVALOS 5

1.4. VALOR ABSOLUTO 10

2. FUNCÕES E SEUS GRÁFICOS 11

2.1. DEFINIÇÕES 11

2.2. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 13

3. TIPOS DE FUNÇÕES 19

3.1. FUNÇÕES PARES E ÍMPARES 19

3.2. FUNÇÃO DO 1º GRAU 20

3.3. FUNÇÃO QUADRÁTICA 21

3.4. FUNÇÃO POLINOMIAL 22

3.5. FUNÇÕES RACIONAIS 23

3.6. FUNÇÃO EXPONENCIAL 24

3.7. FUNÇÃO LOGARÍTMICA 25

3.8. FUNÇÃO MODULAR 28

3.9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 29

Certas fórmulas fundamentais do cálculo tornam-se muito mais simples se os ângulos são medidos em radianos e não em graus. Por definição, a medida de um ângulo  em radianos é o número de vezes que o raio como unidade de comprimento está contido no arco s subentendido pelo ângulo  num círculo de raio r. Isto é 29

Visto que o comprimento da circunferência e o arco subentendido é 360º, tem-se radianos, isto é, radianos, ou . 29

3.9.1. Função Seno 29

3.9.2. Função Cosseno 30

3.9.3. Função Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante 31

3.10. EXERCÍCIOS DE REVISÃO I 32

3.11. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES 34

3.12. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES 34

3.14. FUNÇÕES INVERSAS 35

3.15. EXERCÍCIOS DE REVISÃO II 37

4. LIMITE E CONTINUIDADE 40

4.1. DEFINIÇÃO 40

4.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES DE FUNÇÕES 44

4.2.1. Exercícios propostos 45

4.3 CONTINUIDADE E LIMITES LATERAIS 46

4.3.1. Funções contínuas 46

4.3.2. Limites laterais 49

4.3.3. Exercícios propostos 50

4.4 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS 50

4.4.1. Exercícios propostos 51

4.5 LIMITES ENVOLVENDO O INFINITO 52

4.6 LIMITES NO INFINITO 55

4.6.1. Exercícios propostos 58

5. A DERIVADA 62

5.1. TAXA DE VARIAÇÃO 62

5.2. COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE 64

5.3. A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 67

5.4. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO 68

5.4.1. Exercícios propostos 70

5.5. A REGRA DA CADEIA 71

5.5.1. Exercícios propostos 73

5.6. DERIVADA DE FUNÇÕES ELEMENTARES 73

5.6.1. Derivada da função exponencial 73

5.6.2. Derivada da função inversa 74

5.6.3. Derivada da função logarítmica 75

5.6.4. Derivada das funções trigonométricas 76

5.7. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 78

5.7.1. Exercícios propostos 80

5.8. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 81

5.8.1. Exercícios propostos 83

1. NÚMEROS REAIS

1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Os primeiros números conhecidos são os chamados inteiros positivos ou naturais, representados por:

Os números -1, -2, -3, -4, ... são chamados inteiros negativos. A união dos números naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números inteiros representados por:

Os números da forma são chamados de frações e formam o conjunto dos números racionais.

Os números que não podem ser representados por , tais como , , formam o conjunto dos números irracionais, representados por Q’.

Da união dos conjuntos dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, resulta o conjunto dos números reais representados por:

= Q  Q’

Se x e y são quaisquer números reais, então somente uma das alternativas abaixo é verdadeira:

  1. x < y

  2. x > y

  3. x = y

Se fixarmos y = 0 observamos que somente uma das condições abaixo é verdadeira:

  1. x < 0, neste caso x é um número real negativo.

  2. x > 0, neste caso x é um número real positivo.

  3. x = 0, neste caso x não é nem positivo nem negativo.

Numa escala numérica horizontal, os números positivos são coordenadas de pontos situados à direita da origem, e os números negativos são coordenadas de pontos situados à esquerda da origem.

1.2. DESIGUALDADES

Suponha que a, b, c e d sejam números reais.

  1. Se a < b, então a + c < b + c

  2. Se a < b e c < d, então a + c < b + d

  3. Se a < b e c > 0, então e

  4. Se a < b e c < 0, então e

  5. Se a < b e b < c, então a < c

Exemplo:

  1. Mostre que

Dividindo ambos os termos por 59.(9), temos

(regra 3)

Multiplicando ambos os membros pelo negativo -1, inverte-se a desigualdade

(regra 4)

  1. Prove que se 0 < x < y, então x2 < y2.

x < y

Multiplicando ambos os termos por x e depois por y, temos:

x (x) < y (x) x2 < xy x2 (y)< xy (y) x2 y < xy2

Como x > 0 e x < y, logo x2 < y2

1.3. SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES E INTERVALOS

Resolva a inequação

somando-se –x a ambos os lados

somando-se 1 a ambos os lados

dividindo ambos os lados por 4

0 1

1 não pertence ao conjunto solução

Portanto a solução é o conjunto de todos os números reais que são maiores que 1. O conjunto solução consiste de um trecho da reta. Tais conjuntos, denominados intervalos, sempre surgem como conjunto solução de inequações.

Os intervalos são classificados da seguinte forma:

Sejam a e b números reais com a < b

  1. Intervalo aberto denota-se por .

  1. Intervalo fechado denota-se por [a, b] .

  1. Intervalo aberto à direita denota-se por [a, b) ou [a, b[.

  1. Intervalo aberto à esquerda denota-se por (a, b] ou ]a, b].

  1. Intervalo aberto de a até +  denota-se por (a, +) ou ]a, +[.

  1. Intervalo aberto de -  até a denota-se por (- , a) ou ]- , a[.

  1. Intervalo fechado de a até +  denota-se por [a, +) ou [a, +[.

  1. Intervalo fechado de -  até a denota-se por (- , a] ou ]- , a].

Exemplos:

Determine todos os intervalos que satisfazem as desigualdades abaixo:

ou (-6, +)

ou

  1. , x ≠ -7

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