Apostila Sistemas de Numeração Uberlandia Capitulo I

Apostila Sistemas de Numeração Uberlandia Capitulo I

Apostila de Eletrônica Digital

CAPÍTULO I Sistemas de Numeração

1.1 Introdução

O decimal é o mais importante dos sistemas numéricos. Ele está fundamentado em certas regras que são a base de formação para qualquer outro sistema.

Além do sistema decimal, que apresenta 10 algarismos distintos de 0 a 9, existe o binário, o octal e o hexadecimal. O sistema binário e o hexadecimal são muito importantes nas áreas de técnicas digitais e informática.

O sistema binário, por sua vez, apresenta somente 2 algarismos (0 e 1), com os quais é possível representar qualquer quantidade, até mesmo números fracionários. No sistema octal existem 8 algarismos que vão de 0 a 7. Para representar o sistema hexadecimal são utilizados 10 algarismos e as 6 primeiras letras do alfabeto e, desta forma, tem-se: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Observando a formação dos infinitos números do sistema decimal é possível aprender as regras de formação dos demais sistemas numéricos. Para conceber a formação do sistema decimal basta observar o hodômetro (marcador de quilômetro) de um automóvel. Quando a “rodinha” das unidades comuta de 9 para 0, um pino nessa rodinha força a rodinha das dezenas a avançar de 1. Assim ocorre sucessivamente formando todos os algarismos.

O mesmo se observa nos demais sistemas. No binário, por exemplo, quando a rodinha da unidade alcança 1 e posteriormente comuta para zero, a rodinha da dezena avança para 1. Pode-se notar que a quantidade de dígitos necessário para representar um número qualquer, no sistema binário, é muito maior quando comparado ao sistema decimal. A tabela 1.1 mostra a formação dos algarismos dentro de cada sistema numérico.

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Tabela 1.1 – Diferentes sistemas de numeração.

Por outro lado, o número decimal 975 pode ser representado da seguinte forma:

Neste exemplo, nota-se que o algarismo menos significativo (5) multiplica a unidade (1 ou 100), o segundo algarismo (7) multiplica a dezena (10 ou 101) e o mais significativo (9) multiplica a centena (100 ou 102). A soma dos resultados irá representar o número.

Pode-se afirmar que, de maneira geral, a regra básica de formação de um número consiste no somatório de cada algarismo correspondente multiplicado pela base (no exemplo o número 10) elevada por um índice conforme o posicionamento do algarismo no número. Assim, um sistema de numeração genérico pode ser expresso da seguinte forma:

N = dn x Bn ++ d3 x B3 + d2 x B2 + d1 x B1 + d0 x B0

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Onde: N é a representação do número na base B; dn é o dígito na posição n; B é a base do sistema utilizado e n é o peso posicional do dígito.

1.2 O Sistema de Numeração Binário

Como visto anteriormente, o sistema binário utiliza dois dígitos, ou seja, possui base 2. De acordo com a definição de um sistema de numeração genérico, o número binário 1101 pode ser representado da seguinte forma:

11012 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310(conversão binária => decimal)

Nota-se que o número 1101 na base 2 é equivalente ao número 13 na base 10, ou seja, 11012 = 1310. Esta regra possibilita a conversão do sistema binário em decimal. A vantagem do sistema binário reside no fato de que, possuindo apenas dois dígitos, estes são facilmente representados por uma chave aberta e uma chave fechada ou, um relé ativado e um relé desativado, ou, um transistor saturado e um transistor cortado; o que torna simples a implementação de sistemas digitais mecânicos, eletromecânicos ou eletrônicos.

Em sistemas eletrônicos, o dígito binário (0 ou 1) é chamado de BIT, enquanto que um conjunto de 4 bits é denominado NIBBLE. O BYTE, termo bastante utilizado principalmente na área de informática, é constituído de 8 bits.

1.2.1 Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Binário Para se converter um número decimal em binário, aplica-se o método das divisões sucessivas. Este método consiste em efetuar sucessivas divisões pela base a ser convertida até o último quociente possível. O número transformado será composto por este último quociente (algarismo mais significativo) e, todos os restos na ordem inversa às divisões.

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Neste caso, será efetuado sucessivas divisões pelo algarismo 2, base do sistema binário, como mostra o exemplo a seguir para o número decimal 47.

4º resto 3º resto

2º resto 1º resto

O último quociente será o algarismo mais significativo e ficará colocado à esquerda. Os outros algarismos seguem-se na ordem até o 1º resto:

10 1 1 1 1

Último

Quociente 5º resto 4º resto 3º resto 2º resto 1º resto

Como mostra o exemplo, 4710 = 1011112. Na prática, o bit menos significativo de um número binário recebe a notação de

LSB (“Least Significant Bit) e o mais significativo de MSB (“Most Significant Bit”).

1.3 O Sistema de Numeração Octal

O sistema octal de numeração é um sistema de base 8. Este sistema é pouco utilizado no campo da Eletrônica Digital, tratando-se apenas de um sistema numérico intermediário dos sistemas binário e hexadecimal.

Da mesma forma, seguindo a definição de um sistema de numeração genérico, o número octal 2 pode ser representado da seguinte forma:

228 = 16 + 2 = 1810(conversão octal => decimal)

Observa-se que o número 2 na base 8 equivale ao número 18 no sistema decimal, ou seja, 228 = 1810. Esta regra possibilita a conversão octal em decimal.

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1.3.1 Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Octal Utiliza-se, neste caso, o método das divisões sucessivas, lembrando que agora é realizada a divisão por 8, pois 8 é a base do sistema octal.

Para exemplificar, será realizada a conversão do número 9210 para o sistema octal:

92 8 411 8 3Último quociente2º resto

1º resto

Assim, seguindo a mesma regra de formação, 9210 = 1348.

1.3.2 Conversão do Sistema Octal para o Sistema Binário Existe uma regra prática extremamente simples, que consiste em transformar cada algarismo diretamente no seu correspondente em binário, respeitando-se o número de bits do sistema, sendo para o octal igual a três (23 = 8 = base do sistema octal). Para ilustrar, será realizada a conversão do número octal 531 em binário.

53
101011 01

Assim, pode-se afirmar que o número 5348 é equivalente a 1010110012.

1.3.3 Conversão do Sistema Binário para o Sistema Octal Para realizar esta conversão, basta aplicar o processo inverso ao utilizado na conversão de octal para binário. Para exemplificar, tem-se: 1001001101111012. Primeiramente, deve-se separar o número em agrupamentos de 3 bits (23 = 8 = base do sistema octal) e assim, pode-se realizar a conversão de cada grupo de bits diretamente para o sistema octal.

44
100100 110 1 101

Desta forma, o número 1001001101111012 = 446758. 5

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1.4 O Sistema de Numeração Hexadecimal

O sistema hexadecimal, ou sistema de base 16, é largamente utilizado na área dos microprocessadores e também no mapeamento de memórias em sistemas digitais. Trata-se de um sistema numérico muito importante, aplicado em projetos de software e hardware.

Os algarismos deste sistema são enumerados da seguinte forma: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Nota-se que a letra A representa o algarismo A, que por sua vez representa a quantidade dez. O mesmo ocorre para a letra B, que representa o algarismo B e a quantidade onze, sucedendo assim até o algarismo F, que representa a quantidade quinze.

A conversão do sistema hexadecimal para o sistema decimal pode ser realizada aplicando a definição do sistema de numeração genérico na base 16. Assim, tem-se:

N = dn x 16n ++ d2 x 162 + d1 x 161 + d0 x 160

Para ilustrar, observa-se o exemplo para o número hexadecimal 13.

1316 = 16 + 3 = 1910(conversão hexadecimal => decimal)

1.4.1 Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Hexadecimal Novamente a conversão se faz através de divisões sucessivas pela base do sistema a ser convertido, que no caso é igual a 16. Para exemplificar, o número 1101 na base 10 será convertido para o sistema hexadecimal.

1368 16 Último quociente2º resto

1º resto

Sendo 1310 = D16, tem-se que 110110 = 44D16. 6

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1.4.2 Conversão do Sistema Hexadecimal para o Sistema Binário É análoga à conversão do sistema octal para binário, somente que, neste caso, necessita-se de 4 bits para representar cada algarismo hexadecimal (24 = 16). Como exemplo, pode-se converter o número C1316 para o sistema binário.

Desta forma, tem-se: C1316 = 1100000100112.

100001 01

1.4.3 Conversão do Sistema Binário para o Sistema Hexadecimal É análoga a conversão do sistema binário para o octal, somente que neste caso são agrupados de 4 em 4 bits da direita para a esquerda. A título de exemplo, será feita a conversão do número binário 1001101111100112 para hexadecimal.

01001101 1 01

Desta forma, pode-se afirmar que 1001101111100112 = 4DF316.

1.5 Números Fracionários

Discutiram-se, até o momento, as diversas formas de conversão de números inteiros, pertencentes a um dado sistema, em outro. Neste tópico, serão mostrados os procedimentos para converter números fracionários.

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1.5.1 Conversão de Números Binários Fracionários em Decimais O método de conversão é obtido observando-se a regra básica de formação de um número fracionário no sistema decimal. Para exemplificar, tem-se o número 10,510.

Desta forma, para converter o número binário fracionário 101,101 para o sistema decimal, adota-se o mesmo procedimento.

101,1012 = 4 + 1 + 0,5 + 0,125 = 5,62510

1.5.2 Conversão de Números Decimais Fracionários em Binários O processo consiste em separar o número decimal na parte inteira e na fracionária. O método das divisões sucessivas é aplicado a parte inteira, conforme estudado anteriormente. Para a parte fracionária aplica-se o método das multiplicações sucessivas até que se atinja zero. Para exemplificar, será convertido o número decimal 8,375 em binário.

8,375 = 8 + 0,375

• Parte inteira:

LSB 810 = 10002

• Parte Fracionária:

Parte fracionária Base do sistema

1 algarismoo2 algarismoo3 algarismoo

O processo para, pois a parte fracionária é nula

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Pode-se observar que é utilizado somente a parte fracionária dos números em todas as multiplicações. Os algarismos inteiros, resultantes das multiplicações, irão compor o número binário. Estes números são tomados na ordem da multiplicação. Assim:

0,37510 = 0,0112

Para completar a conversão basta efetuar a composição da parte interia com a fracionária:

Observação Importante: existem casos em que o método das multiplicações sucessivas encontra novamente os números já multiplicados e o processo entra em um “loop” infinito. Isto equivale a uma dízima periódica. Como exemplo, tem-se:

0,810 = (0,10 10 10)2

1.6 Operações Aritméticas no Sistema Binário

Nas áreas de Eletrônica Digital e dos Microprocessadores, o estudo das operações aritméticas no sistema binário é muito importante, pois estas serão utilizadas em circuitos aritméticos, que serão estudados posteriormente.

1.6.1 Adição no Sistema Binário A adição no sistema binário é efetuada de maneira idêntica ao sistema decimal. Desta forma, tem-se:

Observa-se, entretanto, a existência de uma pequena regra: 1+1=0 e transporta 1 para a próxima coluna.

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Para exemplificar serão realizadas as seguintes adições:

1011 Transporte

Nota-se, então que a adição é realizada coluna a coluna, considerando sempre o transporte proveniente da coluna anterior. Para verificar a soma basta converter os números para o sistema decimal.

1.6.2 Subtração no Sistema Binário O método de subtração é análogo a uma subtração no sistema decimal. Assim, tem-se:

Para o caso 0-1, o resultado será igual a 1, porém haverá um transporte para a coluna seguinte que deve ser acumulado no subtraendo e, obviamente, subtraído do minuendo. Para exemplificar, tem-se:

0110 Transporte

1.6.3 Multiplicação no Sistema Binário Ocorre exatamente como uma multiplicação no sistema decimal. Assim sendo, tem-se:

0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1

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Para exemplificar, efetua-se a multiplicação entre os números 110102 e 1012.

1.7 Exercícios do capítulo I

Os exercícios propostos visam treinar o estudante de Eletrônica Digital de forma bastante completa. É interessante que estes exercícios sejam feitos após uma leitura do capítulo I.

Será observado que todos os exercícios possuem respostas, uma vez que o objetivo não é uma lista de exercícios valendo nota e sim, valorizar o aprendizado. A maioria das calculadoras científicas realizam todas as operações estudadas neste capítulo. Seria interessante o aluno aprender a manipular sua calculadora.

1.7.1 Converta para o sistema decimal a) 1001102 = b) 0111102 = c) 1110112 = d) 10100002 = e) 110001012 = f) 0110011001101012 = g) 148 = h) 678 = i) 1538 = j) 15448 = k) 20638 = l) 47916 = m) 4AB16 =

Apostila de Eletrônica Digital n) BDE16 = o) F0CA16 = p) 2D3F16 =

1.7.2 Converta para o sistema binário a) 7810 = b) 10210 = c) 21510 = d) 40410 = e) 80810 = f) 1638310 = g) 4778 = h) 15238 = i) 47648 = j) 67408 = k) 100218 = l) 8416 = m) 7F16 = n) 3B8C16 = o) 47FD16 = p) F1CD16 =

1.7.3 Converta para o sistema octal a) 10710 = b) 18510 = c) 204810 = d) 409710 = e) 566610 = f) 10112 = g) 100111002 = h) 1101011102 =

Apostila de Eletrônica Digital i) 10000000012 = j) 11010001012 = k) 1D216 = l) 8CF16 =

1.7.4 Converta para o sistema hexadecimal a) 100112 = b) 11100111002 = c) 100110010011 = d) 111110111100102 = e) 10000000001000102 = f) 48610 = g) 200010 = h) 409610 = i) 555510 = j) 3547910 = k) 71008 = l) 54638 =

1.7.5 Quantos bits são necessários para representar cada um dos números decimais abaixo:

a) 51210 = b) 1210 = c) 210 = d) 3310 = e) 1710 = f) 710 =

1.7.6 Porque o número 14875 não pode ser octal? Quais as bases ele poderia pertencer?

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1.7.7 Qual o número binário seguinte a 01101111?

1.7.8 Quantos bits existem em 2 bytes?

1.7.9 Transforme para decimal os seguintes números binários a) 1,12 = b) 1000,00012 = c) 1010,10102 = d)10,11012 = e)10011,100112 = f)10,0011012 = g)100001,0110012 =

1.7.10 Transforme os seguintes números decimais em binários a) 0,12510 = b) 0,062510 = c) 0,710 = d) 0,9210 = e) 7,910 = f) 47,4710 = g) 53,38710 =

1.7.1 Efetue as operações a) 10002 + 10012 = b) 100012 + 111102 = c) 1012 + 1001012 = d) 11102 + 10010112 + 111012 = e) 1101012 + 10110012 + 11111102 = f) 11002 – 10102 = g) 101012 – 11102 = h) 111102 – 11112 =

Apostila de Eletrônica Digital i) 10110012 – 110112 = j) 1000002 – 111002 = k) 101012 x 112 = l) 110012 x 1012 = m) 1101102 x 1112 = n) 111102 x 110112 = o) 1001102 x 10102 =

Resposta dos exercícios

1.7.1 Converta para o sistema decimal a)3810 b)3010 c)5910 d)8010 e)19710 f)1310910 g)1210 h)5510 i)10710 j)86810 K)1075 l)114510 m)119510 n)303810 o)6164210 p)1158310

1.7.2 Converta para o sistema binário

1.7.3 Converta para o sistema octal a)1538 b)2718 c)40008 d)100018 e)130428 f)138 g)2348 h)6568 i)10018 j)15058 k)7228 l)43178

1.7.4 Converta para o sistema hexadecimal a)1316 b)39C16 c)99316 d)3EF216 e)8022 16 f)1E616 g)7D016 h)100016 i)15B316 j)8A9716 k)E4016 l)B3316

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1.7.9 Transforme para decimal os seguintes números binários a) 3,7510 c)10,62510 e)19,5937510 g)3,3906510 b) 8,062510 d)12,812510 f)24,20312510

1.7.10 Transforme os seguintes números decimais em binários a) 0,0012 d) 0,1111010111000012 g)110101,0110001100111001112 b) 0,00012 e)1,10011002 c) 0,101100112 f)101111,01111000012

1.7.1 Efetue as operações a)100012 b)1011112 c)1010102 d)11101102 e)1000011002 f)102 g)1112 h)11112 i)1111102 j)1002 k)1111112 l)11111012 m)1011110102 n)11001010102 o)1011111002

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