Mecanica dos fluidos - abordagem histórica e propriedades essenciais

Mecanica dos fluidos - abordagem histórica e propriedades essenciais

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1 INTRODUÇÃO

1.1 Tema

Abordagem histórica e concepção de fluidos no estudo da engenharia

1.2 Objetivos

Com este trabalho pretende-se abordar e ressaltar as idéias fundamentais de mecânica dos fluidos, ao mesmo tempo, sua aplicação na engenharia e nos estudos da ciência em geral, e também neste contexto destacar a concepção histórica e abordagem atual de fluidos.

1.3 Justificativa

O estudo da mecânica dos fluidos é quesito básico para quase todos as áreas da ciência, principalmente para engenharia em que as aplicações são visíveis e essenciais. O entendimento das idéias básicas de fluidos concernente a evolução de seus estudos durante os tempos faz-se necessário para maior clareza e entendimento dos fenômenos que envolvem fluidos seja na natureza, ou em máquinas.

1.4 Definição de termos

Fluidos – É uma substância que não pode resistir a uma força de cisalhamento ou a uma tensão sem se mover.

Tensão de Cisalhamento – Pode ser definido como o valor da força tangencial sob um fluido dividido por sua área

Escoamento – Capacidade que um fluido tem de escoar, ou seja vazar , decorrer.

Viscosidade - Resistência que um fluido oferece ao escoamento e que se deve ao movimento relativo entre suas partes.

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 A concepção de fluidos ao longo dos tempos

Seja por alguns fenômenos naturais ou seja pela importância das aplicações dos fluidos, o seu estudo despertou a curiosidade e o interesse do homem ao longo da história da humanidade.O homem pré-histórico sempre se encantou com o movimento daságuas e dos ventos, como atestam inúmeras pinturas rupestres encontradas em antigas cavernas que lhe serviram de abrigo.

Na antiguidade conceitos de aerodinâmica eram empregados, ainda que de forma intuitiva, para transformar hastes de madeira em flechas longilíneas, com pontas em forma de cunha e caudas estabilizadoras e ainda antigas civilizações desenvolveram notáveis embarcações movidas à vela e a remo, que evoluíram no sentido de minimizar as forças de arrasto, facilitando sobremaneira a navegação.

Entretanto, a primeira abordagem científica para a solução de problemas de fluidos em repouso só ocorreu muitos séculos depois, quando Arquimedes e Héron de Alexandria postularam a lei do paralelogramo para adição de vetores no século III a.C. Arquimedes (285-212 a.C) formulou as leis do empuxo e aplicou-as a corpos flutuantes e submersos deduzindo uma forma de calculo diferencial como parte da análise. Os romanos construíram extensos sistemas de aquedutos no século IV a.C., mas não deixaram registros mostrando qualquer conhecimento quantitativo acerca dos princípios de projeto.

Do nascimento de Cristo até a Idade Média avanço constante no projeto de sistemas de escoamento, sendo que a Idade Média foi profundamente marcada pela ocorrência de pestes e conflitos e,sobretudo, pelo forte misticismo que, de certa forma, inibiu as principais tentativas de enxergar o mundo por uma ótica mais científica.

Assim mesmo, verificou-se um aprimoramento contínuo no projeto de embarcações e no desenvolvimento de aquedutos e canais de irrigação, utilizados por diversos povos. Contudo, não existem registros que comprovem o conhecimento de métodos formais de análise ou critérios explícitos de dimensionamento destes artefatos.

Foi então que Leonardo Da Vinci (1452-1519)deduziu a equação de conservação de massa para escoamento permanente e unidimensional. Da Vinci foi um excelente experimentalista e suas anotações contêm descrições precisas de ondas, jatos, ressaltos hidráulicos, formação de turbilhões e projetos para baixo arrasto (alinhados com o escoamento) e alto arrasto (pára-quedas). Um francês, Edme Mariotte (1620-1684_, construí o primeiro túnel de vento e testou modelos nele.

Os problemas que envolviam a quantidade de fluidos puderam finalmente ser analisados após Isaac Newton (1642-1727) ter postulados suas leis do movimento e a lei da viscosidade dos fluidos lineares, hoje chamados fluidos newtonianos. A teoria baseou-se primeiro na hipótese de um fluido “perfeito”, ou sem atrito. Em 1687, Isaac Newton (1643 - 1727) publicou sua famosa obra Principia Mathematica, dedicando todo o segundo volume à Mecânica dos Fluidos.

Newton considerava o escoamento de um fluido como uma corrente retilínea e uniforme de partículas, que, ao se chocar contra um obstáculo com uma inclinação è , transferiria a ele sua componente normal da quantidade de movimento, permanecendo a componente tangencial inalterada. Assim, após a colisão, as partículas se moveriam ao longo da superfície do corpo.

Essa teoria levou ao surgimento da famosa lei de Newton do seno ao quadrado, em que a expressão para a força hidrodinâmica variava de acordo com sen2 è. Embora deixasse muito a desejar em termos de acuracidade, esta teoria foi largamente empregada pela indústria naval da época, principalmente devido à sua simplicidade.

Segundo Withe (2002) “os matemáticos do século XVIII (Daniel Bernoulli, Leonhard Euler, Jean d’Alembert, Joseph-Louis Lagrange e Pierre-Simon Laplace) produziram muitas soluções de problemas sem atrito”. Euler desenvolveu as equações diferenciais do movimento e também sua forma integral, hoje chamada de equação de Bernoulli D’Alembert usou-as para presentear seu famoso paradoxo: de que um corpo imerso em um fluido sem atrito tem arrasto igual a zero.

Esses belos resultados se somaram até exceder a sua validade, a hipótese de fluido perfeito tem aplicação muito limitada na prática e a maioria dos escoamentos de interesse da engenharia é dominada pelos efeitos da viscosidade. Os engenheiros começaram a rejeitar o que eles viam como uma teoria totalmente irreal e desenvolveram a ciência chamada de hidráulica. Dependendo quase completamente de experimentos. Experimentalistas como Chezy, Pilot, Borda, Weber, Francis, Hagen, Poiseuille, Darcy, Manning, Bazin e Wersbach produziram dados sobre uma variedade de escoamentos tais como canais abertos, resistência de embarcações, escoamentos em tubos ondas e turbinas. Com maior freqüência do que o desejado, os dados foram usados em sua forma bruta, sem se observar os fundamentos físicos dos escoamentos.

Jean Charles Borda (1733 – 1799), mais conhecido como Chevalier de Borda, um matemático e astrônomo náutico francês, comentou que as correntes dos fluidos são “mais sofisticadas que o mais sofisticado caráter de uma dama” (TOKATY, 1994, p. 83). Ele queria dar um aviso de que nem todas as correntes de fluidos (escoamentos) estão em harmonia com as leis de Daniel Bernoulli e de Leonardo da Vinci. Em particular, a fórmula de Torricelli não é totalmente correta. Antes dos experimentos de Borda, pensava-se que a força de arraste resultante da combinação de corpos poderia ser computada como uma simples soma dos arrastes individuais de cada corpo da combinação. Borda foi o primeiro a mostrar que isso não era correto. O arraste total de duas esferas colocadas próximas uma da outra e movendo-se na água ou no ar, geralmente, difere da soma das resistências de arraste dos dois corpos quando separadamente. Hoje conhecemos este fenômeno como interferência hidrodinâmica.

Chevalier de Borda foi presidente da Comissão dos Pesos e Medidas, criada durante a Revolução Francesa, em 1790. Foi por insistência de Borda que a proposta de escolher como unidade de comprimento a medida do comprimento de um pêndulo de período igual a um segundo (pêndulo de segundo) foi rejeitada. Borda defendeu a escolha um décimo de milionésimo da distância do Equador ao Pólo Norte como a unidade de medida a ser escolhida, criando-se assim o sistema métrico decimal. Outra contribuição original de Borda foi seu teorema que a resistência aerodinâmica seria proporcional à velocidade ao quadrado (como na fórmula de Newton) e ao seno do ângulo de ataque, diferentemente da fórmula de Newton.

No final do século XIX, finalmente começou a unificação entre a hidráulica experimental e hidrodinamica teórica William Fraude (1810-1879) e seu filho Robert (1846-1924) desenvolveram leis de teste de modelos, Luz Rayleigh (1842-1919) propôs a técnica de análise dimensional e Osborne Reynolds (1842-1912) publicou em 1883, o clássico experimento em tubos que mostrou a importância do adimensional numero de Reynolds, assim chamado em sua homenagem. Enquanto isso, a teoria do escoamento viscoso foi disponibilizada, mas não explorada, depois que Navier (1785-1836) e Strokes (1819-1903) acrescentaram com sucesso os termos viscosos newtonianos às equações do movimento. As equações de Navier – Strokes resultantes eram muito difíceis de analisar para escoamentos arbitrários.

Foi então que, em 1904, um engenheiro alemão, Ludwig Prandtl (1875-1953), publicou talvez o mais importante artigo já escrito sobre mecânica dos fluidos. Prandtl observou que os escoamentos de fluidos de baixa viscosidade, como, por exemplo, escoamentos de água e de ar, podem ser divididos em uma fina camada viscosa, ou camada-limite, próxima das superfícies sólidas e das interfaces, junto a uma camada externa aproximadamente não-viscosa, na qual as equações de Euler e Bernoulli se aplicam. A teoria da camada-limite se mostrou a ferramenta individual mais importante em análise de escoamento modernas. Os fundamentos do século XX para o presente estado da arte em mecânica dos fluidos foram estabelecidos em uma série de teorias e experimentos abrangentes, por Prandtl e seus dois principais competidores e colegas. Theodore Von Kárman (1881-1963) e Sir Geoffrev I. Taylor (1886-1975).

Theodore Von Kármán (1881 – 1963), nascido na Hungria e falecido nos EUA, foi um grande especialista em mecânica dos fluidos e, em aerodinâmica, em particular. Aprofundando os estudos de Borda, Kármán afirmou que dois corpos movendo-se separadamente estão livres da chamada “esteira de vórtice” (vortex street) de Von Kármán. Entretanto, quando esses corpos são colocados juntos, lado a lado, há a formação de vórtice na parte posterior à incidência do fluxo.

Em vista disso, vários são os métodos desenvolvidos ou aprimorados ao longo das últimas décadas, para resolver numericamente as equações do movimento. Assim, graças à evolução destas técnicas e, sobretudo, aos notáveis avanços na velocidade e na capacidade de armazenamento dos computadores modernos, os programas elaborados para simular escoamentos geofísicos e industriais multiplicam-se, constituindo importante ferramenta de análise de escoamentos.

2.1 A definição intuitiva de fluidos

Antes de se definir um fluido torna-se necessário o entendimento do que é a tensão de cisalhamento. Considerando a FIGURA 1, onde a força ΔF que age em uma área ΔA pode ser decomposta em uma componente normal ΔFn e uma componente tangencial. ΔFt:

FIGURA 1- Componentes normal e tangencial de uma força

FONTE – POTTER;WIGGERT,2004,p.7.

Tensão é a força dividida pela área na qual ela age. A tensão normal é a componente normal da força dividida pela área e a tensão de cisalhamento é a força tangencial dividida pela área.

Esta tensão de cisalhamento τ, matematicamente é definida como:

ΔA→0

(1)

Neste contexto, segundo Potter e Wiggert (2004), fluidos podem ser considerados como aqueles líquidos e gases que se movem sob ação de uma tensão de cisalhamento, não importando o tamanho dessa tensão,ou seja, fluido é uma substância que não pode resistir a uma força de cisalhamento ou a tensão sem se mover.

Ou ainda como define Giles (1978), fluidos são substâncias que são capazes de escoar e cujo volume toma a forma de seus recipientes, quando em equilíbrio, os fluidos não suportam forças tangenciais ou cisalhantes.

Todos os fluidos possuem um certo grau de compressibilidade e oferecem pequena resistência à mudança de forma e são normalmente classificados como líquido ou gases, para Hughes e Brigton (1979), os líquidos podem ser compreendidos da seguinte forma:

Um líquido tem forças intermoleculares que mantêm as moléculas juntas de modo a formar volume, mas não uma forma definida, colocado em um reservatório ocupará o volume correspondente ao espaço compreendido pelas paredes do reservatório. Os líquidos têm baixa compressibilidade e sua massa especifica varia pouco com a temperatura ou com a pressão. Por outro lado, o gás consiste de moléculas em movimento que colidem entre si, tendendo a dispersar-se de forma não ter volume ou forma definidos. (HUGHES,BRIGHTON,1979)

Logo um fluido que se constitui como um gás encherá qualquer reservatório em que for colocado. Para uma dada massa ou sistema de gás, a pressão, a temperatura e o volume envolvente relacionam-se pela lei do gás, isto é, a equação apropriada do estado do gás.

2.3 Sistema de Unidades aplicadas aos Fluidos

Os sistemas de unidades sempre variam de um país para o outro causando transtornos, mesmo depois que foram feitos acordos internacionais, assim como em 1872, que onde foi realizada uma reunião internacional na França onde se propôs um tratado chamado Convenção Métrica que foi assinada em em 1875 por 17 países, inclusive os EUA.

Posteriormente, persistiram algumas divergências, por causa de alguns países que diferiram no uso de quilogramas-força em vez de dinas ou newtons, quilogramas em vez de gramas, ou calorias em vez de joule.

Com o intuito de unificar o sistema métrico, uma Conferência Geral de Pesos e Medidas realizada em 1960 por 40 países propôs o Sistema Internacional de Unidades (SI). Para White (2002) no momento “estamos passando por um doloroso período de transição para o SI, um ajuste que pode levar ainda muitos anos para se completar”. Atualmente a maioria dos países exige o uso das unidades do SI, os Estados Unidos são o único pais importante que não exige o uso das unidades do SI.

Porém as unidades do SI são as preferidas e usadas internacionalmente, atualmente existe um programa de conversão, na maioria das indústrias, para utilização do SI, seguindo esta tendência usa-se predominante as unidades do SI nos Brasil e na maioria das bibliografias.

Ao trabalhar com fluidos utilizam-se quatro dimensões primarias das quais todas as outras dimensões podem ser derivadas, White (2002) define quatro dimensões primárias massa, comprimento, tempo e temperatura, e fala que deve ser incluída uma quinta dimensão apenas se os efeitos eletromagnéticos são importantes, no caso a corrente elétrica {I} que a unidade no SI é o ámpere (A). Essas dimensões e as suas unidades em ambos os sistemas são dados na Tabela 1.

TABELA 1

Dimensões Primárias nos sistemas SI e no BG

Dimensão Primária

Unidade no SI

Unidades no BG

Massa {M}

Kilograma (kg)

Slug

Comprimento {L}

Metro (m)

Pé (ft)

Tempo {T}

Segundo (s)

Segundo (s)

Temperatura {}

Kelvin (K)

Rankine (ºR)

FONTE - WHITE,2002,p.4.

As variáveis em mecânica dos fluidos podem ser expressas em termos, os colchetes ao redor do símbolo como em {M} na TABELA 1, representa a dimensão da massa, assim como acontece com as outras variáveis da mecânica dos fluidos.

A partir das quatro dimensões primárias ocorrem derivações que resultam em algumas variáveis secundárias, TABELA 2 aplicadas constantemente aos fluidos. Outras unidades aceitáveis são o hectare (ha), que vale 10 000 m², usado para grandes áreas; a tonelada métrica (t), que corresponde a 1 000 kg, usada para grandes massas; e o litro (l) que vale 0,001 m³.

TABELA 2

Unidades Derivadas

Quantidade

Dimensão

Unidades SI

Unidades Inglesas

Área A

ft²

Volume V

ft³

Velocidade V

L/T

m/s

Ft/s

Aceleração a

L/T²

m/s²

Ft/s²

Velocidade Angular ω

Força F

ML/T²

Kg.m/s²

N (Newton)

Slug-ft²

lb (libra)

Massa Especifica ρ

M/L³

Kg/m³

Slug/ft³

Peso Especifico γ

M/L²T²

n/m³

Lb/ft³

Freqüência f

Pressão p

M/LT²

N/m²

Pa (Pascal)

Lb/ft²

Tensão τ

M/LT²

N/m²

Pa (Pascal)

Lb/ft²

Tensão Superficial σ

M/T²

N/m

Ft/lb

Trabalho W

ML²/T²

N . m

J (joule)

Ft-lb

Energia E

ML²/T²

N . m

J (joule)

Ft-lb

Taxa transferência de calor Q

ML²/T³

J/s

Btu/s

Torque T

ML²/T²

N . m

Ft-lb

Potencia P

ML²/T³

J/s

W (watt)

Ft-lb/s

Viscosidade µ

M/LT

N . s/m²

Lb-s/ft²

Escoamento de massa m

M/T

Kg/s

Slug/s

Taxa de escoamento (vazão) Q

L³/T

m³/s

ft³/s

Calor Especifico c

L²/T²Θ

J/kg . K

Btu/slug-ºR

Condutividade K

ML/T³Θ

W/m . K

Lb/s-ºR

FONTE – POTTER,WIGGERT,2004,p.4.

A massa especifica é ocasionalmente expressa como grama por litro (g/l). Nos cálculos químicos o mol é, muitas vezes, mais conveniente que o quilograma. Em alguns casos ele é útil na mecânica dos fluidos. Para gases o quilograma-mol (kg-mol) é a quantidade que preenche o mesmo volume que 32 quilogramas de oxigênio à mesma temperatura e pressão.

2. 4 Descrição euleriana e lagrangiana

Para analisar os problemas em mecânica utiliza-se de dois pontos de vistas: a método euleriana e lagrangiana. Contudo o mais utilizado em mecânica dos fluidos é o que se preocupa com o campo de escoamento, chamado de método euleriano de descrição, onde calcula-se o campo de pressão p(x,y,z,t) do padrão de escoamento, não sobre as variações de pressão p(t) que a partícula experimenta quando ele se move no campo. A descrição langrangiana segue uma partícula individual movendo-se no fluido e é mais apropriada, sendo mais apropriada aos sólidos.

As medidas fluidodinâmicas são bem adaptas ao sistema euleriano, como exemplifica White (2002):

Quando uma sonda de pressão é introduzida em um escoamento em laboratório, ela é fixada em uma posição especifica (x,y,z). Sua resposta contribui assim para a descrição no campo euleriano de pressão p(x,y,z,t). Para simular uma medida langranriana, a sonda deveria mover-se a jusante com as velocidades das partículas de fluido.”(WHITE,2002).

Assim comprova-se que para estudo de problemas envolvendo fluidos é aplicável a descrição euleriana em função da pressão.

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