HAYT JR, H. M.; BUCK, J. A. Eletromagnetismo. Rio de Janeiro: 7ª Ed. McGraw Hill, 2008.

  • HAYT JR, H. M.; BUCK, J. A. Eletromagnetismo. Rio de Janeiro: 7ª Ed. McGraw Hill, 2008.

  • MARIANO, W. C. Eletromagnetismo: Fundamentos e Aplicações. São Paulo: Érica, 2003.

  • NUSSENZVEIG, H. MOISES. Curso de Física. Eletromagnetismo. V. 3. Edgard Blücher, 1997.

FALCONE, A. G. Eletromecânica. V. 1. Edgard Blücher, 1979.

  • FALCONE, A. G. Eletromecânica. V. 1. Edgard Blücher, 1979.

  • FALCONE, A. G. Eletromecânica. V. 2. Edgard Blücher, 1979.

  • KRANE, KENNETH S.; RESNICK, ROBERT; HALLIDAY, DAVID. Física. V. 4. Rio de Janeiro: LTC, 2004.

  • SIMONE, G. A. Máquinas de Indução Trifásicas: Teoria e Exercícios. São Paulo: Érica, 2000.

O termo escalar refere-se a uma grandeza cujo valor pode ser representado por um único número.

  • O termo escalar refere-se a uma grandeza cujo valor pode ser representado por um único número.

  • Exemplos: distância, tempo, temperatura, massa, densidade, volume, resistividade, pressão.

Uma grandeza vetorial tem um módulo (intensidade), uma direção e um sentido no espaço. Os espaços mais discutidos serão os bi e tridimensionais, porém um vetor pode ser definido em espaços n-dimensionais.

  • Uma grandeza vetorial tem um módulo (intensidade), uma direção e um sentido no espaço. Os espaços mais discutidos serão os bi e tridimensionais, porém um vetor pode ser definido em espaços n-dimensionais.

  • Exemplos: força, velocidade e aceleração.

O módulo, a direção e o sentido de um vetor são apresentados abaixo:

  • O módulo, a direção e o sentido de um vetor são apresentados abaixo:

Se a cada ponto K de uma região for associado um vetor que tem ponto inicial, então a coleção destes vetores constitui um campo vetorial.

  • Se a cada ponto K de uma região for associado um vetor que tem ponto inicial, então a coleção destes vetores constitui um campo vetorial.

Se a cada ponto K de uma região for atribuída uma quantidade escalar, então a coleção destes pontos constitui um campo escalar.

  • Se a cada ponto K de uma região for atribuída uma quantidade escalar, então a coleção destes pontos constitui um campo escalar.

A adição vetorial segue a regra do paralelogramo:

  • A adição vetorial segue a regra do paralelogramo:

Dados os vetores A = 3ax + 5ay + 2az e B = ax + 2ay + 2az, encontre o vetor resultante de A + B.

  • Dados os vetores A = 3ax + 5ay + 2az e B = ax + 2ay + 2az, encontre o vetor resultante de A + B.

Segue facilmente a regra da adição, pois podemos expressar A – B como A + (-B): o sinal e o sentido do vetor B são invertidos, sendo este valor então adicionado ao primeiro pela regra da adição vetorial.

  • Segue facilmente a regra da adição, pois podemos expressar A – B como A + (-B): o sinal e o sentido do vetor B são invertidos, sendo este valor então adicionado ao primeiro pela regra da adição vetorial.

Neste tipo de multiplicação, o módulo do vetor varia, embora o sentido varie apenas se o escalar for negativo.

  • Neste tipo de multiplicação, o módulo do vetor varia, embora o sentido varie apenas se o escalar for negativo.

  • A multiplicação d um vetor por um escalar também obedece às leis associativa e distributiva:

A divisão de um vetor por um escalar é simplesmente feita a partir da multiplicação pelo inverso do escalar:

  • A divisão de um vetor por um escalar é simplesmente feita a partir da multiplicação pelo inverso do escalar:

A definição do produto escalar, que é expresso por AB é:

  • A definição do produto escalar, que é expresso por AB é:

Dados dois vetores A e B, definiremos o produto vetorial de A por B, como A X B e lido “A vetorial B”.

  • Dados dois vetores A e B, definiremos o produto vetorial de A por B, como A X B e lido “A vetorial B”.

  • O resultado do produto vetorial é um vetor.

  • O módulo de A X B é igual ao produto dos módulos de A e B e o seno do menor ângulo entre A e B.

  • A direção de A X B é perpendicular ao plano que contém A e B.

  • Em forma de equação, podemos escrever:

O produto vetorial não é comutativo, pois

  • O produto vetorial não é comutativo, pois

O cálculo do produto vetorial por meio de sua definição exige mais trabalho que o cálculo do produto escalar, pois precisamos não somente encontrar o ângulo entre os vetores, mas também encontrar a expressão para o vetor unitário aN.

  • O cálculo do produto vetorial por meio de sua definição exige mais trabalho que o cálculo do produto escalar, pois precisamos não somente encontrar o ângulo entre os vetores, mas também encontrar a expressão para o vetor unitário aN.

  • Este trabalho pode ser evitado se A X B for escrito em forma de determinante:

Assim, se A = 2ax -3ay +az e B = -4ax -2ay +5az, temos

  • Assim, se A = 2ax -3ay +az e B = -4ax -2ay +5az, temos

Os vetores que vão desde a origem até os pontos A, B, C e D, são:

  • Os vetores que vão desde a origem até os pontos A, B, C e D, são:

Dados os vetores A = -6i + 2j – 4k e B = 4i + 3j – 2k, encontre:

  • Dados os vetores A = -6i + 2j – 4k e B = 4i + 3j – 2k, encontre:

    • Um vetor unitário na direção de A + 2B.
    • O módulo de A + 2B.
    • Um vetor C tal que A + B + C = 0.

Determine as componentes de um vetor B tal que |B| = 2 e aB = 0,5i – 0,4j + nk, sendo n um escalar positivo.

  • Determine as componentes de um vetor B tal que |B| = 2 e aB = 0,5i – 0,4j + nk, sendo n um escalar positivo.

Determine o ângulo entre Axax – 7ay + 4az e 5ax + 4ay – 3az sendo Ax = 10. Qual deve ser o valor de Ax de tal modo que o ângulo seja: b) 90º; c) 62,1º?

  • Determine o ângulo entre Axax – 7ay + 4az e 5ax + 4ay – 3az sendo Ax = 10. Qual deve ser o valor de Ax de tal modo que o ângulo seja: b) 90º; c) 62,1º?

  • Dados A = 3ax – 4ay + 5az e B = -ax + 2ay – 3az, determine:

    • A x B.
    • A • (A x B).
    • O ângulo entre A e B.

Mais exercícios podem ser encontrados no livro de Eletromagnetismo de William H. Hayt Jr.

  • Mais exercícios podem ser encontrados no livro de Eletromagnetismo de William H. Hayt Jr.

  • A maioria das respostas dos exercícios anteriores também estão nesse livro.

O gradiente de uma função é um vetor que dá como resultado a máxima variação da função e a direção em que esta máxima variação ocorre.

  • O gradiente de uma função é um vetor que dá como resultado a máxima variação da função e a direção em que esta máxima variação ocorre.

O gradiente da função f, grad f, é o vetor definido por:

  • O gradiente da função f, grad f, é o vetor definido por:

Exemplo:

  • Exemplo:

    • Seja f(x,y) = x2 – 4xy.
      • Encontre o gradiente de f no ponto P(1,2).

Seja f(x,y) = 2 + x2 + (1/4)y2, encontre a direção segundo a qual f(x,y) cresce mais rapidamente no ponto P(1,2), e determine a taxa máxima de crescimento de f em P.

  • Seja f(x,y) = 2 + x2 + (1/4)y2, encontre a direção segundo a qual f(x,y) cresce mais rapidamente no ponto P(1,2), e determine a taxa máxima de crescimento de f em P.

  • Ache o gradiente de f e P.

    • f(x, y) = (x2 + y2)1/2; P(-4, 3)
    • f(x, y) = 7y – 5x; P(2, 6)
    • f(x, y) = e3x + tg(y); P(0, π/4)
    • f(x, y) = x ln(x – y); P(5, 4)
    • f(x, y, z) = yz3 – 2x2; P(2, -3, 1)
    • f(x, y, z) = xy2ez; P(2, -1, 0)

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