Apost Matematica Financeira

Apost Matematica Financeira

(Parte 1 de 5)

Instituto de Ensino Superior de Rio Verde

IESRIVER

Faculdades Objetivo

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Prof.: Warley Augusto Pereira

SUMÁRIO

1. Introdução

1.1. Importância da Matemática Financeira 01

1.2. Aplicações 02

1.3. A Matemática Financeira e a Inflação 03

2. Fundamentos

2.1. Taxas: Percentual e Unitária 04

2.2. Juro, Capital e Montante 06

2.3. Regimes de Capitalização 06

2.4. Fluxo de Caixa 07

3. Juros Simples

3.1. Fórmulas do Juro e do Montante 09

3.2. Taxas Equivalentes 11

3.3. Juro Exato e Juro Comercial 12

3.4. Valor Nominal e Valor Atual 13

4. Descontos Simples

4.1. Conceitos Básicos 14

4.2 Desconto Simples Racional ou “Por Dentro” 14

4.3. Desconto Simples Comercial ou “Por Fora” 16

4.4. Taxa de Desconto e Taxa Efetiva 17

5. Juros Compostos

5.1. Fórmula do Montante Composto 19

5.2. Taxas equivalentes 20

5.3. Cálculo do montante em um número fracionário de períodos 22

5.4. Período de capitalização diferente do período da taxa 26

5.5. Valor Atual e valor Nominal a juros compostos 27

6. Séries de Capitais

6.1. Conceito 30

6.2. Série Básica 30

6.3. Valor Atual da Série Básica 31

6.4. Montante da Série Básica 32

Bibliografia 35

1. INTRODUÇÃO

1.1. IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

A matemática Financeira trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu Objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro (aplicações e pagamentos de empréstimos) de caixa verificados em diferentes momentos.

As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por meio da intermediação de uma instituição financeira, que capta recursos de um lado e os empresta de outro. A captação é feita a uma taxa menor que a de empréstimo e a diferença é a remuneração da instituição.

Investidores têm várias opções de aplicação à sua disposição e cada opção tem sua taxa em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos. Analogamente, os tomadores de empréstimo têm várias opções de financiamento cujas taxas variam em função dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas.

De um modo geral, quando as taxas sobem, os aplicadores tendem a aumentar a oferta de capitais, mais os tomadores tendem a diminuir a demanda por crédito.

1.2. APLICAÇÕES

A matemática financeira é usada em operações de aplicação e empréstimos em dois regimes básicos de capitalização dos juros: juros simples e juros compostos.

O regime de juros simples tem aplicações práticas bastante limitadas, restringindo-se principalmente às operações praticadas no âmbito do curto prazo e em operações de desconto. Além disso, muitas taxas praticadas no mercado financeiro estão referenciadas em juros simples, porém a formação dos montantes das operações processa-se a juros compostos. Por exemplo, a caderneta de poupança paga uma taxa de juros de 6% ao ano para seus depositantes, creditando todo mês o rendimento proporcional de 0,5%. A taxa referenciada para esta operação obedece o regime de juros simples, porém os rendimentos são capitalizados segundo o critério de juros compostos, ocorrendo ao longo dos meses juros sobre juros.

Normalmente o regime de capitalização composta é adotado por todo o mercado financeiro e de capitais. Dentro das aplicações do regime de capitalização composta estão as operações de fluxo de caixa, aplicações, empréstimos, cálculos inflacionários, financiamentos, estratégias comerciais de compra e venda, análise de investimentos, títulos, sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos, avaliação de ações etc.

1.3. A MATEMÁTICA FINANCEIRA E A INFLAÇÃO

De maneira simplista, o processo inflacionário de uma economia pode ser entendido pela elevação generalizada dos preços dos vários bens e serviços.

Em sentido contrário, diante de uma baixa predominante dos preços de mercado dos bens e serviços, tem-se o fenômeno definido por deflação.

- Índices de Preços e Taxas de Inflação: Um índice de preços é resultante de um procedimento estatístico que, entre outras aplicações, permite medir as variações ocorridas nos níveis gerais de preços de um período para outro. Assim, o índice de preços representa uma média global das variações de preços que se verificaram num conjunto de determinados bens, ponderada pelas quantidades respectivas.

Ilustrativamente, abaixo estão relacionados os valores do IGP (Índice Geral de Preços) referentes aos meses de maio a dezembro de determinado ano.

Mês

maio

junho

julho

agosto

setembro

outubro

novembro

dezembro

IGP

649,79

703,38

800,31

903,79

1.009,67

1.152,63

1.353,79

1.576,56

Pela evolução desses índices de preços, pode ser constatado como os preços gerais da economia variaram no período. Para tanto, relaciona-se o índice do fim do período que se deseja estudar com o do início.

Por exemplo, a taxa de inflação do 2o semestre medida pelo IGP está refletida na evolução apresentada entre o índice de junho (início do semestre) e o de dezembro (fim do semestre). Assim:

Inflação do 2o semestre = = 2,2414 – 1 = 124,14%

Os preços nesse período cresceram 2,2414 vezes, indicando uma evolução de 96,99%.

A inflação verificada no mês de outubro atinge:

Inflação de outubro = = 14,16%

Dessa maneira, a taxa de inflação, a partir de índices de preços, pode ser medida pela seguinte expressão:

onde: I = taxa de inflação obtida a partir de determinado índice de preços;

P = índice de preços utilizado para o cálculo da taxa de inflação;

n, nt = respectivamente, data de determinação da taxa de inflação e o período anterior considerado.

EXERCÍCIOS

1. Abaixo estão alguns valores divulgados do ITP (Índice Teórico de Preços) e do INTP (Índice Nacional Teórico de Preços).

Dez/02

Jun/03

Nov/03

Dez/03

ITP

100,00

708,38

1.353,79

1.576,56

INTP

5,9341

43,4599

83,9349

100,00

Com base nesses resultados, pede-se:

a) A taxa de inflação, medida pelo ITP e INTP, para os seguintes períodos de 2003:

  • ano

  • 1o semestre

  • mês de dezembro;

b) um bem que custava $ 5.000,00 no início do ano, quanto deve valer ao final deste ano se for corrigido pela variação do ITP e INTP;

c) admitindo que o proprietário tenha vendido este imóvel ao final do ano por $ 90.000,00, determinar o lucro obtido.

2. Os índices gerais de preços referentes ao primeiro semestre de 1996 são os seguintes:

Data

31-12-95

31-01-96

28-02-96

31-03-96

30-04-96

31-05-96

30-06-96

Índice de Preços

148,70

150,07

152,15

153,98

157,21

158,13

162,01

Com base nesses valores, calcular:

a) a evolução dos preços no semestre;

b) a evolução mensal dos preços;

c) se as inflações de julho e agosto de 1996 atingirem, respectivamente, 1,13% e 0,97%, determinar o índice de preços que deve vigorar em cada um desses meses.

2. FUNDAMENTOS

2.1. TAXAS: PERCENTUAL E UNITÁRIA

A razão cujo denominador é 100 recebe o nome de razão centesimal. São exemplos de razões centesimais:

, , e

O símbolo % significa que o valor está dividido por 100. Assim, existem duas formas básicas de notação de valores:

Taxa percentual: exibe o número que deve ser dividido por 100. Não permite operação algébrica imediata. Por exemplo:

= 30%; = 4%; = 135% e = 27,9%

As expressões 30%, 4%, 135% e 27,9% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Taxa unitária: exibe o número puro, permitindo operações algébricas. Por exemplo:

= 0,3; = 0,04; = 1,35 e = 0,279

Porcentagem: é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos

1. Converta para a forma percentual:

a) 0,57 = 57% b) 2,08 = 208% c) 0,02 = 2%

2. Converta para a forma unitária:

a) 163% = 1,63 b) 2.107% = 21,07% c) 12% = 0,12

3. Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentam defeito; a razão entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas é dada por:

4. Um CD é vendido por R$ 25,00. Se seu preço fosse aumentado em 15%. Quanto passaria a custar? Se fosse anunciado um desconto de 15% sobre o preço original, quanto o CD passaria a custar?

- Aumento: Preço = 25 + 0,15 x 25 = 25 . (1 + 0,15) = 25 . 1,15 = R$ 28,75

- Desconto: Preço = 25 – 0,15 x 25 = 25 . (1 – 0,15) = 25 . 0,85 = R$ 21,25

FATOR DE MULTIPLICAÇÃO:

a) No caso de haver um acréscimo, o fator de multiplicação será:

Fator de Multiplicação = 1 + taxa de acréscimo (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro

Fator de Multiplicação

10%

1,10

15%

1,15

47%

1,47

67%

1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:

Fator de Multiplicação = 1 – taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

Desconto

Fator de Multiplicação

10%

0,90

25%

0,75

34%

0,66

90%

0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

EXERCÍCIOS

1. Calcular os valores de:

a) 10% de 29 + 4,2% de 17 b) 5,3% de 18,45 – 3,4% de 2,7

c) 0,4% de 125 + 1,6% de 234,25 d) 4% de 1.439,25 + 3,6% de 17.432

2. De uma classe com 40 alunos, 35% são rapazes. Quantos rapazes e quantas moças há na classe?

3. O preço de venda de um CD é de R$ 22,00. Quanto passará a custar o CD se a loja anunciar:

a) Um desconto de 12%? b) Um acréscimo de 5%?

4. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa de reprovação foi de 15%. Quantos candidatos foram aprovados?

5. Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 24,00 foi vendida com 25% de desconto. De quanto foi o desconto?

6. Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a porcentagem de lucro?

7. Um corretor recebe R$ 2.800,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de comissão. Qual o valor da venda das propriedades?

8. Meio representa quantos por cento de cinco oitavos?

9. Uma nota promissória, cujo valor era de R$ 5.000,00 foi paga com um desconto de R$ 250,00. Qual a taxa de desconto

10. Expresse, sob a forma de taxa percentual, cada uma das seguintes razões:

a) b) c)

d) e) 0,125

11. Escreva as taxas percentuais abaixo como razões, sob a forma mais simples possível:

a) 80% b) 25,2% c) 0,48%

d) e) 2

2.2. JURO, CAPITAL E MONTANTE

Chamamos de capital a qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) empresta para outra durante certo tempo.

Tendo em vista que o emprestador se abstém de usar o valor emprestado, e ainda, em função da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não pagamento, surge o conceito de juro, que pode ser definido como o custo do empréstimo (para o tomador) ou a remuneração pelo uso do capital (para o emprestador).

Chama-se montante ou capital acumulado a soma de um certo capital (aplicado a uma taxa periódica de juros por determinado tempo) com os próprios juros

A taxa de juro é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do fator capital utilizado durante certo período de tempo.

2.3. REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

Pode-se compreender regime de capitalização como o processo em que os juros são formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. Assim, identificam-se dois regimes de capitalização dos juros: simples (ou linear) e composto (ou exponencial).

O regime de capitalização simples (RCS) comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. Neste critério, os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação (aplicação ou empréstimo), não se registrando juros sobre o saldo dos juros acumulados.

Exemplo: $ 100,00 aplicados a 5% ao período renderá sempre $ 5,00 (0,05 x $ 100,00) por período. Em três períodos, o total dos juros será igual a:

3 x $ 5,00 = $ 15,00

No regime de capitalização composta (RCC), ou regime de juros compostos ocorre sempre de forma cumulativa. A taxa de juros incidirá sobre o montante acumulado no final do período anterior. Assim:

– Ao final do 1o período, os juros incidentes sobre o capital inicial são a eles incorporados, produzindo o 1o montante (M1).

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