Derivada Implicita

Derivada Implicita

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7Diferenciação Implícita

Sempre que temos uma função escrita na forma y = f(x), dizemos que y é uma função explícita de x, pois podemos isolar a variável dependente de um lado e a expressão da função do outro. Porém nem sempre isso é possível ou conveniente e, caso isso ocorra, dizemos que y é uma função implícita de x. Vejamos, por exemplo, a equação y = 2x2 – 3. Observamos que y é uma função explícita de x, pois podemos escrever y = f (x), onde f (x) = 2x2 – 3. Entretanto, a equação 4x2

– 2y = 6 define a mesma função, pois isolando y obtemos y = 2x2 – 3. Quando escrita na forma 4x2

2y = 6, dizemos que y é uma função implícita de x.

Observação: É necessário tomar cuidado, pois muitas vezes uma equação em x e y pode definir mais de uma função implícita.

Exemplo: A equação x 2 + y2 = 1 pode definir várias funções implícitas, tais como 21xy−=, xxy, dentre outras. Vejamos os seus gráficos:

Derivação: Para derivar uma função dada na forma implícita, basta lembrar que y é função de x e usar a regra da cadeia.

Exemplos:

a) Dada a equação 4x2 – 2y = 6, determine y’(x).

Para não esquecermos que y é função de x, podemos escrever a equação como 4x 2 – 2y(x) = 6.

Assim, derivando ambos os lados em relação à x, obtemos 8x – 2 y’(x) = 0 ou y’(x) = 4x, que coincide com a derivada de y = 2x2 – 3.

= 3x + 2you x2 y(x) + 2[y(x)] 3

b) Faça o mesmo para x2 y + 2y 3 = 3x + 2y(x)

Derivando ambos os lados em relação à x, temos:

c) Mostre que a reta tangente à circunferência dada por x2 + y2 = r2 , em um ponto qualquer sobre ela, é perpendicular à reta que passa por este ponto e a origem (reta que contém o raio neste ponto). Solução:

Seja (x1, y1) um ponto qualquer sobre a circunferência. Como o coeficiente angular da reta tangente é dado pela derivada da função no ponto, então, derivando a equação da circunferência em relação à x, temos:

2x + 2y y’(x) = 0, o que é equivalente à y’(x) = yxy x −= −2

Assim, o coeficiente angular da reta tangente à circunferência x2 + y2 = r2 no ponto (x1, y1) é dado por mt = – x1 / y1.

Por outro lado, geometricamente é fácil ver que o coeficiente angular da reta que contém o raio passando por (x1, y1), é dado por mr = y1 / x1. Assim, fazendo o produto, temos:

xyy x mmrt, o que implica que a reta que contém o raio passando por (x1, y1) é

perpendicular à reta tangente à curva neste ponto. Como tomamos um ponto qualquer sobre a circunferência, o resultado vale para todos os pontos sobre ela. Vejamos o gráfico:

d) Utilize derivação implícita para mostrar que se y = arc sen x , então y ’(x) =

Solução: Sabemos que y = arc sen x ñ sen y = x . Assim, derivando a última equação em relação à x, obtemos:

µ y ’(x) = 1, ouy ’(x) =

cos y

=Portanto, y ’(x) =

e) Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, o fabricante tem interesse em produzir x mil unidades, onde a oferta e o preço estão relacionados pela equação:

Qual é a taxa de variação da oferta quando o preço unitário é R$ 9,0 e está aumentando à taxa de 20 centavos por semana? Solução: Sabemos que para p = 9, dp/dt = 0,20. Queremos saber qual o valor de dx/dt. Inicialmente observamos que para p = 9, temos:

já que x = – 8 não tem significado físico para o problema. Agora, derivando implicitamente os dois membros da equação de oferta em relação ao tempo, obtemos:

+− dt dpp dt

xp dt dx dt dx x.

Fazendo x = 14, p = 9 e dp/dt = 0,20 nesta equação, obtemos dx dt dx .

Isolando dx/dt e fazendo os cálculos necessários, encontramos 206,0= dt dx .

Como a oferta é dada em milhares de unidades, concluímos que a oferta está aumentando à taxa de 206 unidades por semana.

EXERCÍCIOS 1) Calcule dy/dx por derivação implícita:

=−f) 2lnxyxtgy=+

2) Determine a equação das retas tangente e normal à curva dada, no ponto especificado. Usando um programa gráfico, construa os gráficos da curva, das duas retas e marque o ponto P, no mesmo sistema de eixos.

=−

3) Mostre, utilizando derivação implícita, que se y = arc cos x, então y’(x) =

4) Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, a demanda é de x centenas de unidades, onde x2 + 3px + p2 = 79. Qual é a taxa de variação da demanda com o tempo se o preço unitário é R$

5,0 e está diminuindo à razão de 30 centavos por mês?

5) Um pequeno balão esférico é introduzido em uma artéria obstruída e inflado à razão de 0,002 π m3 / min. Qual é a taxa de aumento do raio do balão quando o raio é R = 0,005 m ?

6) Um estudo ambiental realizado em certa cidade revela que haverá Q(p) = p2 + 4p + 900 unidades de um perigoso poluente no ar quando a população for de p mil habitantes. Se a população atual é de 50.0 habitantes e está aumentando à taxa de 1.500 habitantes por ano, qual é a taxa de aumento da poluição causada pelo produto?

7) Nos processos adiabáticos não existe troca de calor com o ambiente. Suponha que um balão de oxigênio seja submetido a um processo adiabático. Nesse caso, se a pressão do gás é P e o volume é

V, pode-se demonstrar que PV 1,4

= C, onde C é uma constante. Em certo instante, V = 5 m3 ,

P = 0,6 Kg/m2 e P está aumentando à razão de 0,23 Kg/m2/s. Qual é a taxa de variação do volume neste instante? O volume está aumentando ou diminuindo?

8Diferenciais

Seja y = f(x) uma função diferenciável. Já vimos que se x1 e x2 pertencem ao domínio da f, então a diferença x2 – x1 é chamada incremento de x e denotada por Dx. Assim, Dx = x2

modo análogo, o incremento correspondente a y é dado por Dy = f(x2) – f(x1) = f(x1 + Dx) – f(x1)

Definição: Seja y = f(x) uma função diferenciável em x1 e seja Dx um incremento de x.

(i) A diferencial de x é dada por dx = Dx.

(i) A diferencial de y em x0 é dada por dy = f ’(x0) dx.

Observe que f ’(x1) = xyx xfxxf x ∆

Assim, quando Dx º 0 , f ’(x0) º

∆ e, conseqüentemente, Dy º f ’(x0) Dx, ou seja, dy º Dy, sempre que Dx º 0. Isso significa que, para pequenas variações em x, podemos usar a diferencial para avaliar a correspondente variação ocorrida em y.

Por outro lado, Dy = f(x1 + Dx) – f(x1). Logo, dy º f(x1 + Dx) – f(x1), ou seja, f(x1 + dx) º f(x1) + f ’(x1) dx , sempre que dx = Dx º 0.

Esta expressão é denominada aproximação linear de f em torno de x1, pois, como podemos observar, se x = x1 + dx, então f(x1) + f ’(x1) dx = f(x1) + f ’(x1) (x – x1) é a expressão da reta tangente ao gráfico de f em x1. Isso significa que em uma vizinhança muito pequena de x1, podemos representar a função f por sua reta tangente neste ponto, ou seja, f satisfaz f(x) º f(x1) + f ’(x1) (x – x1). Interpretação geométrica da diferencial:

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