Apostila de calculo 2

Apostila de calculo 2

(Parte 1 de 5)

CálculoII

Agnaldo Souza Pereira

Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de Oliveira

Manaus 2007 º4. Período

Governador Eduardo Braga

Vice–Governador Omar Aziz

Reitora Marilene Corrêa da Silva Freitas

Vice–Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves

Pró–Reitor de Planejamento Osail de Souza Medeiros

Pró–Reitor de Administração Fares Franc Abinader Rodrigues

Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Rogélio Casado Marinho

Pró–Reitora de Ensino de Graduação Edinea Mascarenhas Dias

Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa José Luiz de Souza Pio

Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings

Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos

NUPROM Núcleo de Produção de Material

Coordenador Geral João Batista Gomes

Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior

Revisão Técnico–gramatical João Batista Gomes

Pereira, Agnaldo Souza.

P436cCálculo I / Agnaldo Souza Pereira, Cláudio Barros Vitor,

Jefferson Pereira de Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 4. Período)

92 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia.

1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Vitor, Cláudio Barros. I. Oliveira, Jefferson Pereira de. I. Série. IV. Título.

CDU (1997): 517.2/.3

UNIDADE I– Funções de várias variáveis07
TEMA 01 –Introdução10
TEMA 02 –Domínio e Imagem13
TEMA 03 –Gráficos de funções de duas variáveis15
TEMA 04 –Limites e continuidade para funções de várias variáveis19
TEMA 05 –Derivadas parciais21
TEMA 06 –Derivadas de ordem superior25
UNIDADE I– Derivada direcional27
TEMA 01 –Vetor gradiente e derivadas direcionais29
TEMA 02 –Multiplicadores de Lagrange31
UNIDADE I– Integrais de linha35
TEMA 01 –Caminhos e curvas37
TEMA 02 –Comprimento de curvas e caminhos41
TEMA 03 –Definição de integrais de linha45
UNIDADE IV– Integrais múltiplas51
TEMA 01 –Integrais duplas54
TEMA 02 –Integrais repetidas56
TEMA 03 –Integrais triplas59
TEMA 04 –Mudança de variáveis nas integrais duplas62
TEMA 05 –Aplicações da integral dupla e tripla64
UNIDADE V– Teorema de Green73
Respostas de Exercícios85

SUMÁRIO Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

Agnaldo Souza Pereira

Bacharel em Física - UFRJ Mestre em Física - UFRJ

Licenciado em Física - FTESM Doutor em Física - UFRJ

Cláudio Barros Vitor

Licenciado em Matemática – UFAM Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC

Jefferson Pereira de Oliveira

Licenciado em Matemática – UCSal Pós-Graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática - UFF

UNIDADE I Funções de várias variáveis

Jean Le Rond D’Alembertnasceu em 16 de novembro de 1717, em Paris. Era filho ilegítimo da marquesa Claudine Guerin de Tencin, escritora, e do cavaleiro Louis-Camus Destouches, oficial do exército francês.

Logo após o nascimento, foi abandonado por sua mãe nas escadarias da Capela de Saint Jean Le Rond, de onde foi levado para um orfanato, à espera de adoção.

O bebê recebeu o nome do santo protetor da capela, e foi adotado por um humilde artesão e sua esposa. Seu pai biológico, mesmo não reconhecendo a paternidade, custeou-lhe a educação por meio de uma pensão.

Aos 12 anos de idade, D’Alembert ingressou no Colégio Mazarin, onde estudou Filosofia, Artes e Direito, e formou-se advogado em 1738, aos 21 anos de idade. Mais tarde, passa a interessar-se por Medicina e Matemática, sendo que seu primeiro trabalho matemático é publicado em 1739, no qual ele apresenta correções de erros que encontrou em um dos livros usado em sua formação. Aos 24 anos de idade, D’Alembert já era célebre por seu trabalho em Cálculo Integral, e aos 26 anos, ele publica seu Tratado de Dinâmica, com importantes contribuições à ciência da mecânica.

Deixou também contribuições para a teoria das equações diferenciais, em que se destaca o método de solução de D’Alembert para resolver equações diferenciais não-homogêneas por meio de uma equação auxiliar.

Além das contribuições em ciências exatas, D’Alembert também participou, com Denis Diderot, da elaboração de Enciclopédia, uma das maiores obras do Iluminismo.

Ao contrário do que faria supor sua infância humilde, D’Alembert freqüentava lugares e festas elegantes, onde conheceu a escritora Julie de Lespinasse, por quem se apaixonou.

Quando D’Alembert se tornou famoso por suas realizações intelectuais, sua mãe biológica apresentou-se, mas ele, que viveu na casa paterna até os 48 anos, disse-lhe: “Sou filho do artesão e de sua mulher. Você é, no máximo, minha madrasta.”

Jean Le Rond D’Alembert faleceu aos 76 anos de idade, em 1783, como um célebre cientista e renomado homem de cultura.

William Rowan Hamiltonnasceu em Dublin, em 8 de agosto de 1805. Seus pais morreram deixando o pequeno órfão aos cuidados de um tio, que o educou dentro de uma severa linha de comportamento, dando-lhe uma educação abrangente, com forte ênfase em línguas estrangeiras. O pequeno Hamilton, aos 5 anos de idade, lia e recitava Homero em grego; aos 8 anos, já falava fluentemente o italiano e o francês. Aos 10 anos de idade, aprendeu a língua árabe. Seu interesse pela matemática surgiu aos quinze anos de idade, ao conhecer um jovem norte-americano chamado Zertah Colburn, que possuía fantástica habilidade para realizar cálculos mentais. Ingressou no Trinity College, em 1824, tendo sido o primeiro colocado entre 100 candidatos no concurso de admissão. Aos 2 anos, ainda estudante, já era dire-

Cálculo I– Funções de várias variáveis

UEA– Licenciatura em Matemática

tor de um observatório. Hamilton dedicou-se à leitura das obras de Newton e de Laplace, e criou sua própria formulação da mecânica, conhecida hoje como mecânica hamiltoniana, que é tremendamente importante em todos os campos da física moderna, notadamente na física quântica. Sua vida particular não foi das mais tranqüilas; ele teve sérios problemas com o alcoolismo. Após terrível luta contra o vício, convence-se de que a única solução seria nunca mais ingerir nenhum tipo de bebida alcoólica.

Por dois anos, Hamilton manteve-se sóbrio, mas durante uma discussão com o astrônomo George Airy, que debochou de seu hábito de beber apenas água durante festas e solenidades, Hamilton voltou a beber e caiu, afundando-se ainda mais no vício. Apesar da desordem em que estava mergulhada sua vida privada, Hamilton ainda se mantinha firme na competição matemática. Contribuiu para o desenvolvimento do cálculo, sendo de sua autoria o termo gradiente para designar o vetor que aponta na direção de maior variação de uma função escalar. Hamilton também realizou pesquisas em ótica e soluções numéricas de equações diferenciais. O homem que amava os animais e que foi chamado “o novo Newton” morreu em 1865, deixando uma obra inacabada, que foi publicada por seu filho no ano seguinte.

TEMA 01

O conceito de função de várias variáveis está intimamente ligado aos fenômenos mais complexos no campo da matemática aplicada à física e à engenharia. Se um meteorologista, por exemplo, tiver de determinar o comportamento futuro da temperatura de uma região, ele precisará de um conjunto de dados atmosféricos, como pressão do ar, velocidade dos ventos e umidade do ar.

Podemos ver, claramente, que a temperatura do ar depende de várias outras grandezas, de forma que, quando esse conjunto de variáveis se altera, ela também se altera, ou seja, ela é uma função que depende de várias outras variáveis.

Ainda como exemplo, podemos enxergar o preço de um produto com sendo dependente do preço da matéria-prima, do preço de mãode-obra e do custo do transporte, pois se esses elementos variam, o preço final do produto variará também.

Matematicamente, uma função de N variáveis é representada como sendo uma função f = f(x1, x2, x3,..., xN). O domínio dessas funções é o RN, sendo que N pode variar desde N = 1 até N = ∞. Vejamos, a seguir, alguns exemplos de funções de várias variáveis, começando com o caso mais simples, a função de duas variáveis.

Exemplo 1 Volume de um cilindro

Figura 1– O volume de um cilindro é função de duas variáveis, r e h.

O volume de um cilindro, de altura h e raio de base r, é expresso por VCIL= πr2h. Como o valor do volume muda se mudarmos um dos valores de r e h, fica clara a dependência do volume com as variáveis r e h. Podemos, então, classificar VCILcomo uma função de duas variáveis.

Em razão disso, podemos simbolizar o volume de um cilindro como:

VCIL= VCIL(r,h)

Exemplo 2 Área de um retângulo

Figura 2 – A área de um retângulo é função de duas variáveis, a e b.

Outro exemplo de função de duas variáveis que podemos buscar nos domínios da geometria é a área de um retângulo de lados a e b. sabendo que a área da superfície retangular é dada por:

S = ab, em que a e b são as varáveis, pois podem assumir valores arbitrários, determinando um único valor de S para cada par de valores (a,b). Podemos escrever s como uma função de duas variáveis:

S = S(a,b).

Continuando nossa seqüência de exemplos, vamos analisar alguns casos de função de três variáveis. Elas são essenciais em problemas que descrevem fenômenos tridimensionais, como o volume de um paralelepípedo, o escoamento de um gás ou a distribuição de temperaturas em uma sala.

Exemplo 3 Volume de um paralelepípedo

Figura 3– O volume de um paralelepípedo é função de três variáveis, x,y e z.

O volume do paralelepípedo de largura x, profundidade y e altura z é dado por

V = xyz

Assim como nos exemplos anteriores, podemos ver que a mudança do conjunto de valores (x,y,z) tem como conseqüência a mudança do valor do volume do paralelepípedo, uma vez que ele é função das dimensões deste sólido. Ou seja:

V=V(x,y,z)

Exemplo 4:

Potencial elétrico de uma carga elétrica puntiforme

Considere uma carga elétrica puntiforme Q, posicionada na origem de um sistema de três eixos coordenados. A intensidade do potencial elétrico em qualquer ponto do espaço dependerá das coordenadas (x, y, z) deste ponto, ou seja, de sua posição. A figura 4 abaixo ilustar essa situação.

Figura 4 – Potencial elétrico gerado em todos os pontos do espaço por uma carga elétrica Q.

Vemos que cada valor de U(x,y,z) depende de um conjunto de três coordenadas (x,y,z), que localizam o ponto P no espaço.

Para resumir as idéias expostas, vamos conceituar as funções de duas e três variáveis.

Função de duas variáveis

Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado (x,y) de um conjunto D um único valor real designado por z = f (x,y). O conjunto D é o domínioda função, e o conjunto imagemé o conjunto dos valores possíveis de f.

Cálculo I– Funções de várias variáveis

Função de três variáveis

Uma função de três variáveis é uma regra que associa a cada tripla ordenada (x,y,z) de um conjunto D um único valor real designado por z = f (x,y,z). O conjunto D é o domínioda função, e o conjunto imagemé o conjunto dos valores possíveis de f.

Essas definições são facilmente extensíveis ao caso de várias variáveis:

Função de várias variáveis

Uma função de várias variáveis é uma regra que associa a cada N–upla ordenada

(x1,x2,...,xN), de um conjunto D, um único valor real designado por de f = f (x1,x2,...,xN). O conjunto D é o domínioda função, e o conjunto imagemé o conjunto dos valores possíveis de f.

Exemplo 5 O potencial elétrico U no ponto

P(x,y,z) é dado por, ache o valor do potencial elétrico no ponto P(1,5,4). Solução:

Para achar o valor da função U(x,y,z) em P(1,5,4), basta substituir os valores das coordenadas do ponto P, na equação da função, e achar U(1,5,4).

Exemplo 6

Uma chapa de metal plana está em um plano–xy, de modo que a temperatura T em (x,y) seja dada T em (x,y) seja dada por T = 0,01(x2+ y2)2em que T é expresso em oC, e x e y em centímetros. Ache o valor da temperatura no pontos A(0,1; ,3), B(2,7) ,C(4,1) e D( ,) .

Solução:

Como no problema anterior, basta substituir os valores das coordenadas de cada ponto na equação da função T(x,y), e achar os valores correspondentes.

a)No ponto A(1,3): T(1,3) = 0,01 (12 + 32)2= 0,01 (1+ 9)2=1oC ∴ T(1,3) = 1oC.

b)No ponto B(2,7): T(2,7) = 0,01 (2 + 72)2= 0,01 (4+49)2=28,09oC ∴ T(21,3) = 28,09 oC.

c)No ponto C(4,1): T(4,1) = 0,01 (42 + 12)2= 0,01 (16+1)2=2,89oC ∴ T(4,1) = 2,89oC.

d)No ponto D(,): T(,)= 0,01(()2+

1.A superfície de um lago é representada por uma região D em um plano –xy, de modo que a profundidade sob o ponto correspondente a (x,y) é dada por f(x,y) = 300 –2x2– 3y2, em que x, y e f(x,y) são expressos em metros. Se uma bóia está na água no ponto (4,9), determine a distância entre ela e o fundo do lago.

2.Um objeto está em um sistema coordenado retangular tal que a temperatura T no ponto P(x,y,z) seja dada por T(x,y,z) = 0,04x2– 0,01y2+ 0,16 z2, em que T é expressa em oC, e x,y, e z em metros. Determine a diferença de temperatura entre os pontos A(1, 2,5 ,3) e B(5,6,2). R : –7,34oC .

UEA– Licenciatura em Matemática

TEMA 02

Mais sobre domínio e imagem das funções de várias variáveis

Sabemos que o domínio de uma função é o conjunto numérico no qual a função toma valores para a variável independente, e que a imagem de uma função é o conjunto numérico dos valores assumidos pela função. No caso da função de uma variável, temos a variável independente x, cujos valores permitidos pertencem a um dado conjunto numérico (domínio), e a variável dependente y(x), que expressa os valores numéricos assumidos pela função, valores esses, que pertencem a um segundo conjuntonumérico (imagem).

O diagrama abaixo representa o conceito de função por um diagrama como uma correspondência entre dois conjuntos numéricos.

Figura 5– Diagrama representando o conceito de função: é uma correspondência entre conjuntos numéricos.

Ao analisarmos o diagrama, vemos que a relação representada entre o conjunto A e o conjunto B associa a cada elemento de A um elemento de B. A correspondência entre os elementos associados é representada pelas setas que partem do conjunto A (que é o domínio da função) e chegam ao conjunto B (imagem da função). Vamos, agora, ampliar esses conceitos para as funções de duas variáveis.

O domínio de uma função de duas variáveis é um conjunto formado por todos os pares de valores (x,y) em que a função toma valores. Vejamos o diagrama seguinte, semelhante ao que foi feito para a função de uma única variável:

Figura 6– Domínio e imagem de uma função de duas variáveis.

Podemos ver, no diagrama, a função fazendo a correspondência entre elementos do domínio e elementos pertencentes ao conjunto imagem. É importante notar que os elementos do domínio são pares ordenados de valores; isso faz que funções de duas variáveis sejam aplicadas a problemas envolvendo grandezas que variam sobre superfícies. Ainda podemos observar que o conjunto de todos os pontos do domínio, que é um conjunto de vários pares ordenados, é uma figura plana, contida no plano xy (o domínio é uma subdivisão do plano xy). O conjunto imagem, por sua vez, também é uma superfície formada de todos os pontos de coordenadas (x,y,z) relacionados pela função, como pode ser visto na figura 7, abaixo.

Figura 7– Domínio e gráfico de uma função de duas variáveis.

Exemplo 7 1.Determine o domínio da função

Para achar o domínio, devemos achar o conjunto de pares (x,y) para os quais é possível realizar a operação indicada. No presente caso, a operação é . Essa operação é

Cálculo I– Funções de várias variáveis

UEA– Licenciatura em Matemática uma radiciação, e só tem sentido no conjunto dos números reais se 16 – x2 – y2≥0. Assim, todos os pares de valores (x,y), que obedecem à desigualdade acima, pertencem ao domínio daquela função:

16 – x2 – y2≥0 ∴–x2 – y2≥– 16, portanto, x2 + y2≤16 .

Essa é uma equação que representa os pontos de um círculo de raio 4, centrado na origem.

Figura 8– Domínio da função

Exemplo 8 2.Determine o domínio da função z(x,y) = ln(1 – x2– y2).

Seguindo a mesma linha de raciocínio seguida no item anterior, o domínio da função é o conjunto dos pares (x,y) que possibilitam o cálculo de z(x,y) = ln(1 – x2– y2) no conjunto dos reais.

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