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PROFESSOR: FERNANDO ARBEX DISCIPLINA: CONTROLE AVANÇADO DE SISTEMAS TURMA: ENGENHARIA MECÂNICA, 7°PERÍODO

AULAS 03 a 08 TRANSFORMADA DE LAPLACE

A transformada de Laplace é um método operacional que pode ser usado de maneira proveitosa para solucionar equações diferenciais lineares.

Assim, podemos converter equações diferenciais em equações algébricas em termos de uma variável complexa s.

Portanto este método facilita na resoluções de alguns sistemas mais complexos tornando-os mais simples.

Vamos definir:

ƒ(t) = Uma função de tempo em que ƒ(t)=0 para t<0 s= uma variável complexa

L= um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser transformada por meio da integral de Laplace

F(s)= Transformada de Laplace de ƒ(t) dte st∫

Então, a transformada de Laplace de ƒ(t) é dada por:

O processo inverso de determinação da função tempo ƒ(t) a partir da transformada de Laplace F(s)é chamado de transformada inversa de Laplace e a notação utilizada para designá-la é

A transformada inversa de Laplace pode ser obtida a partir de F(s), com o auxilio da seguinte integral de inversão:

, para t>0

Onde c, a abscissa de convergência, é uma constante real e é escolhida com valor superior à parte real de todos os pontos singulares de F(S).

jc stdsesFjtfsFL )(2

FUNÇÃO EXPONENCIALFUNÇÃO EXPONENCIAL Considere a função exponencial:

Onde A e αsão constantes. A transformada de Laplace dessa função exponencial pode ser obtida da seguinte maneira:

AdteAdteAeAeL tssttt 0 )(0 ttf tα

FUNÇÃO DEGRAUFUNÇÃO DEGRAU Considere a função degrau:

Onde A é uma constante. Note que esse é um caso especial da função exponencial, onde α= 0. Sua transformada é:

s AdtAeAL st∫ tAe α−

FUNÇÃO RAMPAFUNÇÃO RAMPA Considere a função rampa:

Onde A é uma constante. A transformada de Laplace dessa função rampa é obtida como:

Adte s

Adt s Aes eAtdtAteAtL st stst st

FUNÇÃO SENOIDALFUNÇÃO SENOIDAL Considere a função senoidal:

Onde A esão constantes, é obtida

como se segue:

dteeejA tsenL sttjtj −∞ −

pela multiplicação de f(t)pore integrando

A transformada de Laplace de qualquer função transformável f(t), pode ser obtida o produto de t = 0 a t = ∞.

Entretanto, uma vez conhecido o método para obtenção da transformada de Laplace, não é necessário que se deduza a transformada de Laplace f(t)todas as vezes.

Assim faz-se o uso conveniente das tabelas de transformadas de Laplace.

ste−

511eat cosωt

6 eat12eat sin ωt

PARES DE TRANSF. DE LAPLACEPARES DE TRANSF. DE LAPLACE f(t) F(s)

21 Impulso unitário 1

1 ttsen ω s)(t dt d δ

tfLsF

asFdtetfdtetfetfeL tasstatat −=== stCosL

s s stCoseL t

Translação em s:

Exemplo

Translação em t:

dueufedueufdteatftgL suasausst −∞ −+−∞−

tttg ttg 4 etgL

Exemplo tafLtgL == sF a du eufdtetaftafL a

Teorema da derivação real. A transformada de Laplace da derivada de uma função f(t)é dada por:

Onde f(0) é o valor inicial de f(t) calculado em t = 0. Para determinada função f(t), os valores de f(0+) e f(0-) podem ser os mesmos ou diferentes, conforme ilustrado.

então a transformada de Laplace

Teorema da integração real. Se f(t) for de ordem exponencial e f(0-)= f(0+) = f(0), existe e é dada por:

Onde,

avaliada em t = 0.

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