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Claudio Martins Mendes Segundo Semestre de 2005

Sumario

1.1 Integrais de Linha2
1.2 Campos Conservativos e Integrais de Linha13
1.3 Teorema de Green26
1.4 Integrais de Superfıcie32
1.5 Divergente - Rotacional47
1.6 Teoremas: Gauss - Stokes50

1.1 Integrais de Linha

R f

B Pi jqqqq q p p p p p pq q q 6 - p

onde Pi = γ(ti), i = 1,,n.

Em cada arco Pi−1Pi tomamos (ui,vi) e formamos a soma∑ i f(ui,vi)∆Si

Definicao 1. A integral curvilınea de f sobre γ de A ate B e definida (e denotada) por: ∫

desde que o limite exista independentemente da escolha de (ui,vi) ∈ Pi−1Pi .

Obs: A integral anterior e tambem conhecida como integral de linha relativa ao comprimento de arco.

Uma condicao suficiente para garantir a existencia da integral em questao e dada a seguir.

entao existe ∫ γ f(x,y)ds e

Nao faremos a demonstracao deste resultado.

Observacao 2: O resultado do Teorema anterior pode ser esperado, uma vez que∑

Observacao 3: Notemos que no caso particular de f(x,y) ≡ 1 temos que ∫ γ f(x,y)ds e o comprimento da curva γ .

Uma curva γ : [a,b] → R2 contınua e dita suave por partes se existe uma particao finita de [a,b] em subintervalos tal que a restricao de γ a cada subintervalo seja suave. Neste caso,definimos ∫ γ f(x,y)ds como soma das integrais das restricoes.

Interpretacao Geometrica Suponhamos f contınua, com f(x,y) ≥ 0 em Ω.

Pi Pi−1A r r ¼

Area da regiao hachurada: f(ui,vi) · ∆Si

E natural entao:∫ γ f(x,y)ds = area da superfıcie cilindrica de base AB com altura determinada pelo grafico de f (uma especie de cortina).

Interpretacao Fısica: Encarando a curva γ como um fio delgado e f(x,y) = densidade em (x,y), temos:

i ∆mi e, assim, uma aproximacao da massa total M do fio.

Assim,

Exercıcios resolvidos

1 + t4 dt =

2. Calcular a area da regiao representada abaixo.

A da superfıcie sera dada por:

(1 − cos2t)dt ==

Se, ao inves de ∆Si usarmos ∆xi = xi − xi−1 , onde Pi = (xi,yi), na definicao de integral curvilınea, obtemos a integral curvilınea de f sobre γ em relacao a x, dada (e denotada)

i f(ui,vi)∆xi

Analogamente, ∫

i f(ui, vi)∆yi

Estas novas integrais podem ser calculadas atraves das formas:∫

Observacao: Tudo o que foi feito ate aqui e generalizavel de maneira analoga para tres ou mais variaveis.

Exercıcio propostoCalcular ∫ γ x2y dx e γ x2y dy quando:

sera indicada por ∫

Intrepretacao Fısica

Suponhamos γ uma curva suave, trajetoria de uma partıcula sujeita a um campo de forcas contınuo

Se ~F e constante e γ uma reta, temos que Trabalho = ~F q (vetordeslocamento) , onde q denota o produto escalar.

Se ~F nao e constante ou γ nao e uma reta, particionamos γ num numero finito de arcos.

Se ‖∆‖ e pequena, o trabalho realizado por ~F ao longo do arco Pi−1Pi pode ser aproximado por

Wq q

O trabalho W realizado por ~F ao longo de γ e, por definicao:

Entao:∫

Notacao === γ ~F q d~r , a qual sera chamada de integral de linha do campo ~F sobre γ .

y A q q q PPPPPPPq

Vejamos agora uma relacao entre a integral de linha de um campo vetorial e a integral de linha com relacao ao comprimento de arco.

Denotemos por ~T(P) o vetor unitario tangente a γ em P .∫

Notacao === γ ~F q ~T ds

y x z j

Resumindo:

γ ~F q ~T ds

Obs: Notemos que ~F q ~T e a componente tangencial de ~F com relacao a curva. Assim, poderıamos ter deduzido a expressao do trabalho usando este fato.

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