Álgebra dos Vetores

por

Mílton Procópio de Borba

I - Vetores no Plano - Retas - Distâncias

1.1. Ponto: P(x,y)  unidimensional

1.2. Vetor: v = [x,y]

módulo = |v| =

direção = reta passando por O(0,0) e P(x,y) ou paralela

sentido = de O para P

2.a) Soma / diferença: [a,b] ± [x,y] = [a ± x , b ± y]

2.b) Múltiplo (paralelo): k.[x,y] = [kx , ky], se k é escalar

2.c) Produto escalar: [a,b].[x,y] = ax + by ( = escalar )

v.w = |v| .|w| .cos ß

1.3 Vetores Básicos: i = [ 1 , 0 ] = unitário na direção OX

j = [ 0 , 1 ] = unitário na direção OY

v = [ a , b ] = a.i + b.j

1.4. Relação Ponto - Vetor:

Mais geralmente, se v é o vetor que vai do ponto A(a,b) para o ponto B(x,y), então

v = [x-a , y-b] = [x,y] - [a,b] = VB- VAVB = VA + v

1.5. Distância entre pontos A(x,y) e B(a,b): DAB = |VB - VA |

1.6. Reta R que passa pelo ponto P , na direção do vetor v:

VR= VP + t.v , para todo t real infinitos pontos

1.7. Interseção entre retas R1 e R2: R = R1 = R2 t1 = ? t2 = ? R = ?

1.8. Paralelismo entre retas: v1= k.v2

1.9. Ângulo entre retas: cos ß = (v1.v2)/(|v1| .|v2| )

perpendicularismo: v1.v2 = 0

1.10. Projeção de um vetor u na direção de outro v: Pv(u) = u.v / |v|

1.11. Distância entre ponto e reta e entre retas:

11.a) Determina-se o vetor perpendicular w = [b,-a]

11.b) Equaciona-se a reta perpendicular Rp

11.c) Determina-se a interseção entre R e Rp

11.d) Calcula-se a distância entre pontos.

II - Vetores no Espaço - Retas - Planos

2.1. Vetor: v = [x,y,z]

módulo = |v| =

direção = reta passando por O(0,0,0) e P(x,y,z) ou paralela

sentido = de O para P

1.a) Soma / diferença:

[a,b,c] +/- [x,y,z] = [a +/- x , b +/- y , c +/- z]

1.b) Múltiplo (paralelo): k.[x,y,z] = [kx,ky,kz], se k é escalar

1.c) Produto escalar: [a,b,c].[x,y,z] = ax + by+ cz ( = escalar )

v.w = | v| .| w| .cos ß

1.d) Produto Vetorial: entre dois vetores u e v = u x v

é o vetor perpendicular a ambos, com módulo igual à área do paralelogramo formado por u e v, e sentido obedecendo à regra da mão direita: Fazendo os dedos maiores indicarem a rotação de u para v, o polegar apontará o sentido de u x v.

Observação: se u e v são paralelos, então u x v = 0.

1.e) Produto misto: entre três vetores u , v e w = u.(v x w) = (u x v). w

é o escalar, com módulo igual ao volume do paralelepípedo que tem as três arestas concorrentes u , v e w.

Observações: se u , v e w são coplanares, então u .(vxw) = 0.

u.(v x w) = (u x v). w = [u , v , w] = - [v , w , u]

2.2 Vetores Básicos: i = [1,0,0] i x j = k = - j x i

j = [0,1,0] j x k = i = - k x j

k = [0,0,1] k x i = j = - i x k

v = [a,b,c] = a.i + b.j + c.k

2.3. Regra Prática para

u x v = [a , b , c] x [x , y , z] = det

i j k

a b c

x y z

= (bz-cy)i - (az-cx)j + (ay-bx)k

= [(bz-cy),(az-cx),(ay-bx)].

2.4. Reta R que passa pelo ponto P , na direção do vetor v:

VR= VP + t.v , para todo t real infinitos pontos

2.5. Plano P que passa por A, na direção dos vetores u e v:

VP= VA + t.u + s.v , para todos os reais t e s infinitas retas coplanares

u x v será o vetor perpendicular ao plano P.

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Alguns livros em PDF podem ser vistos na página do professor Reginaldo de Jesus Santos

http://www.mat.ufmg.br/~regi/

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