Calculo 3, Series Numericas

Calculo 3, Series Numericas

5. SÉRIES NUMÉRICAS

Neste capítulo, vamos estender o conceito de adição, válido para um número finito de parcelas, à uma soma infinita de parcelas.

5.1: Definição e exemplos: Série geométrica e série de

Dirichlet 5.1.1: Definições

Definição 1.1: Dada uma sucessão de números reais ()INnnu∈, chama-se série de números reais ou série numérica à soma infinita

nu"".

Os números ",,21uuchamam-se termos da série numérica e o n.mo termo nu é designado por termo geral da série.

Para calcular, se possível, a série ∑∞+

=1n nuvamos considerar a seguinte sucessão:

Definição 1.2: A sucessão ()INnnS∈ chama-se sucessão de somas parciais ou sucessão associada à série.

Definição 1.3: (i) Se a sucessão ()INnnS∈ converge para S, isto é,

nu é

nSu.

O número S é chamado soma da série.

(i) Se a sucessão ()INnnS∈ é divergente, isto é, nnS+∞→lim não existe ou é infinito, diz-se que a série ∑∞+

=1n nu é divergente.

Neste caso, a série não tem soma.

5.1.2: Série geométrica

Definição 1.4: Uma série geométrica de 1º termo a e de razão r é uma série numérica da forma:

Exemplo 1.6: Estude a natureza da série ∑∞+ n e, se possível,

calcule a sua soma.

5.1.3: Série de Dirichlet Definição 1.7: Chama-se série de Dirichlet á série definida por

é designada por série harmónica.

5.2: Algumas propriedades das séries

Teorema 2.1: Para todo o INp∈, a série numérica ∑∞+

= pn nu converge.

Teorema 2.2: Se as séries numéricas ∑∞+

convergentes, com somas S e T respectivamente, então:

nnvu converge e tem soma TS±.

=1n nuλconverge e tem soma Sλ.

Teorema 2.3: Se a série numérica ∑∞+

=1n nu é convergente e a série

nnvu é divergente.

Na maior parte dos casos, é difícil determinar a soma de uma série. Por isso, iremos apresentar alguns critérios que permitem analisar a natureza de uma série, sem recorrer ao cálculo de nS.

5.3: Critério do termo geral para a divergência

A seguir apresenta-se uma condição necessária de convergência de séries numéricas.

Teorema 3.1: Condição necessária de convergência

u.

Nota: O recíproco do teorema anterior é falso. A série harmónica pode servir de contra-exemplo.

Na prática, utiliza-se mais a negação do teorema anterior.

Corolário 3.2: Teste da divergência ou Critério do n.mo termo

Exemplo 3.3: Estude a natureza da série ∑∞+ n.

5.4: Série de termos não negativos: critérios de Cauchy e de D’ Alembert Teorema 4.1: Critério de Cauchy ou da Raiz

=1n nu é convergente;

=1n nu é divergente;

Exemplo 4.2: Determine a natureza da série ∑∞+=+1 132 n n

Teorema 4.3: Critério de D’Alembert ou da Razão

Sejam 0>nu e Luunnn

=1n nu é convergente;

=1n nu é divergente;

Exemplo 4.4: Determine a natureza da série ∑∞+ n.

5.5: Séries alternadas: Critério de Leibniz

Os critérios de convergência estudados nas secções anteriores, só podem ser aplicados a séries de termos não negativos. Nesta secção, estudaremos séries cujos termos são alternadamente positivos e negativos.

Definição 5.1: Chama-se série alternada à série em que dois termos consecutivos têm sinais opostos, ou seja, é da forma nna, com 0>na, INn∈∀.

Teorema 5.2: Critério de Leibniz

condições seguintes:

Nota: Se a primeira condição do teorema anterior não se verifica, podemos concluir, pelo critério do n.mo termo, que a série é divergente.

Exemplo 5.3: Determine a natureza da série ()∑∞+=− 2 ln 11n n n

5.6: Séries absolutamente convergentes e séries simplesmente convergentes

Esta secção é dedicada ao estudo da convergência de séries numéricas com termos arbitrários.

Teorema 6.1: Convergência Absoluta

convergente.

=1n nu diz-se absolutamente convergente

=1n nu é convergente.

=1n nu diz-se simplesmente convergente

Exemplo 6.4: Mostre que a série ∑∞+ n é absolutamente

convergente.

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