Apostila de Introdução a Lógica Matemática

Apostila de Introdução a Lógica Matemática

(Parte 1 de 10)

SUMÁRIO

PREFÁCIO

02

UNIDADE I

03

CAPÍTULO I – A Lógica e o cotidiano

03

O TRUQUE DAS CARTAS

03

O PROBLEMA DO LEITE

03

O PARADOXO DO QUEIJO

03

A LÓGICA DO DIA-A-DIA

04

CAPÍTULO II – A Lógica e sua história

05

A RAZÃO E A LÓGICA

05

A LÓGICA

12

A LÓGICA MATEMÁTICA

13

A HISTÓRIA DA LÓGICA

13

SITEOGRAFIA

16

UNIDADE II

17

CAPÍTULO I – Noções de Lógica Matemática

17

CÁLCULO PROPOSICIONAL

17

A ÁLGEBRA DOS CONJUNTOS

20

TAUTOLOGIA E CONTRA -TAUTOLOGIA

24

CAPÍTULO II – A Falácia

54

DEFINIÇÃO

54

CAPÍTULO III – A Lógica Fuzzy

57

HISTÓRICO

57

INTRODUÇÃO

58

TEORIA DOS CONJUNTOS TRADICIONAIS

59

TEORIA DOS CONJUNTOS FUZZY

62

LÓGICA FUZZY

64

PROPOSIÇÕES FUZZY

64

SITEOGRAFIA

69

Prefácio

“Se... então...”, “Se e somente se”, “portanto”, “logo“, “caso contrário”, “segue-se que”...

São alguns dos termos que começa a fazer parte do dia a dia do estudante de nível superior quando inicia sua graduação em matemática.

Na sua grande maioria, na qual eu mesmo me incluo, estes termos não são claramente explicados pelos professores e quase somos forçados a engoli-los, aceitá-los e quiçá compreende-los. O próprio professor é mais vítima que algoz, pois também foi obrigado a digeri-los sob a pressão tácita de que se não conseguisse teria claramente “errado de área”.

Este curso tem como objetivo principal proporcionar, a todos aqueles que estão em contato com a matemática, a percepção e aprofundamento na sua base lógico-racional. Podendo então estruturar-se em compreensão mais apurada do “passo a passo” que constitui a linguagem desta bela ciência.

Veremos também que a lógica está no nosso dia-a-dia, em nossa linguagem, na forma de compreendermos o mundo que nos cerca e que o seu estudo nos trará benefícios como, por exemplo a organização de nossas vidas.

Bem-vindos ao mundo do “verdadeiro ou falso” ou será que existe uma outra possibilidade?

Prof. Henrique Reffert

UNIDADE I

Capítulo 1 – A Lógica e o cotidiano

Introdução

O truque das cartas

Escolher dentre seis cartas que aparecem no vídeo apenas uma. Observe que ela vai ser retirada sem que de antemão se saiba qual foi a que você escolheu. Qual a lógica por detrás do truque?

Problema do leite

O Sr. Arquiticlínio leiteiro tinha oito litros de leite e precisava repartir metade para o Sr. Agronopolos e metade para a D. Bereniatriz. Mas ele só dispunha de 3 vasilhas, uma de oito litros, onde estava o leite, e outras duas vazias, uma de cinco e outra de três litros. Usando somente essas vasilhas, como ele poderá fazer a separação desse leite para os seus fregueses?

O Paradoxo do queijo

Vamos mostrar o fato de que para queijos com furos quanto mais queijo tivermos, menos queijo teremos.

A Lógica do dia-a-dia – Algoritimizando a vida.

É muito comum escutarmos no nosso dia-a-dia que determinado fato é lógico ou que algo não faz sentido, por exemplo:

Esperar para atravessar uma avenida muito movimentada quando o sinal fica vermelho para os carros é algo muito lógico, mas ver uma galinha esperar para atravessar a mesma via após o sinal ficar vermelho é algo inesperado.

A lógica está associada ao senso comum, à necessidade de poder controlar situações, compreender um fato, saber como atuar para esperar determinado resultado, enfim, a lógica está o tempo todo em nosso cotidiano.

Voltemos mais uma vez à situação de atravessar uma via. Podemos querer convencer uma criança de que se deve aguardar o sinal ficar vermelho para os carros, para que se possa atravessar a mesma. Siga o diálogo abaixo:

― Pai, por que nós não podemos atravessar a rua mesmo no sinal verde.

― Teobaldozinho, se atravessarmos quando ele estiver verde, então a probabilidade de sermos atropelados é maior.

Nesta conversa, observamos um caso típico de raciocínio lógico com uma sentença do tipo se..., então...

Aprofundando um pouco mais a situação de atravessarmos uma rua poderemos até algoritimizar o processo.

(Construir com os estudantes o algorítimo de atravessar uma rua)

DINÂMICA

Formar várias equipes e escolher uma situação para cada equipe para ser algoritimizada.

Capítulo 2 – A Lógica e sua história

A Razão e a Lógica

Os vários sentidos da palavra razão

Em nossa vida cotidiana usamos a palavra razão em muitos sentidos. Dizemos, por exemplo, “eu estou com a razão”, ou “ele não tem razão”, para significar que nos sentimos seguros de alguma coisa ou que sabemos com certeza alguma coisa. Também dizemos que, num momento de fúria ou de desespero, “alguém perde a razão”, como se a razão fosse alguma coisa que se pode ter ou não ter, possuir e perder, ou recuperar, como na frase: “Agora ela está lúcida, recuperou a razão”.

Falamos também frases como: “Se você me disser suas razões, sou capaz de fazer o que você me pede”, querendo dizer com isso que queremos ouvir os motivos que alguém tem para querer ou fazer alguma coisa. Fazemos perguntas como: “Qual a razão disso?”, querendo saber qual a causa de alguma coisa e, nesse caso, a razão parece ser alguma propriedade que as próprias coisas teriam, já que teriam uma causa.

Assim, usamos “razão” para nos referirmos a “motivos” de alguém, e também para nos referirmos a “causas” de alguma coisa, de modo que tanto nós quanto as coisas parecemos dotados de “razão”, mas em sentido diferente.

Esses poucos exemplos já nos mostram quantos sentidos diferentes a palavra razão possui: certeza, lucidez, motivo, causa. E todos esses sentidos encontram-se presentes na Filosofia.

Por identificar razão e certeza, a Filosofia afirma que a verdade é racional; por identificar razão e lucidez (não ficar ou não estar louco), a Filosofia chama nossa razão de luz e luz natural; por identificar razão e motivo, por considerar que sempre agimos e falamos movidos por motivos, a Filosofia afirma que somos seres racionais e que nossa vontade é racional; por identificar razão e causa e por julgar que a realidade opera de acordo com relações causais, a Filosofia afirma que a realidade é racional.

É muito conhecida a célebre frase de Pascal, filósofo francês do século XVII: “O coração tem razões que a razão desconhece”. Nessa frase, as palavras razões e razão não têm o mesmo significado, indicando coisas diversas. Razões são os motivos do coração, enquanto razão é algo diferente de coração; este é o nome que damos para as emoções e paixões, enquanto “razão” é o nome que damos à consciência intelectual e moral.

Ao dizer que o coração tem suas próprias razões, Pascal está afirmando que as emoções, os sentimentos ou as paixões são causas de muito do que fazemos, dizemos, queremos e pensamos. Ao dizer que a razão desconhece “as razões do coração”, Pascal está afirmando que a consciência intelectual e moral é diferente das paixões e dos sentimentos e que ela é capaz de uma atividade própria não motivada e causada pelas emoções, mas possuindo seus motivos ou suas próprias razões.

Assim, a frase de Pascal pode ser traduzida da seguinte maneira: Nossa vida emocional possui causas e motivos (as “razões do coração”), que são as paixões ou os sentimentos, e é diferente de nossa atividade consciente, seja como atividade intelectual, seja como atividade moral.

A consciência é a razão. Coração e razão, paixão e consciência intelectual ou moral são diferentes. Se alguém “perde a razão” é porque está sendo arrastado pelas “razões do coração”. Se alguém “recupera a razão” é porque o conhecimento intelectual e a consciência moral se tornaram mais fortes do que as paixões. A razão, enquanto consciência moral, é a vontade racional livre que não se deixa dominar pelos impulsos passionais, mas realiza as ações morais como atos de virtude e de dever, ditados pela inteligência ou pelo intelecto.

Além da frase de Pascal, também ouvimos outras que elogiam as ciências, dizendo que elas manifestam o “progresso da razão”. Aqui, a razão é colocada como capacidade puramente intelectual para conseguir o conhecimento verdadeiro da Natureza, da sociedade, da História e isto é considerado algo bom, positivo, um “progresso”.

Por ser considerado um “progresso”, o conhecimento científico é visto como se realizando no tempo e como dotado de continuidade, de tal modo que a razão é concebida como temporal também, isto é, como capaz de aumentar seus conteúdos e suas capacidades através dos tempos.

Algumas vezes ouvimos um professor dizer a outro: “Fulano trouxe um trabalho irracional; era um caos, uma confusão. Incompreensível. Já o trabalho de beltrano era uma beleza: claro, compreensível, racional”. Aqui, a razão, ou racional, significa clareza das idéias, ordem, resultado de esforço intelectual ou da inteligência, seguindo normas e regras de pensamento e de linguagem.

Todos esses sentidos constituem a nossa idéia de razão. Nós a consideramos a consciência moral que observa as paixões, orienta a vontade e oferece finalidades éticas para a ação. Nós a vemos como atividade intelectual de conhecimento da realidade natural, social, psicológica, histórica. Nós a concebemos segundo o ideal da clareza, da ordenação e do rigor e precisão dos pensamentos e das palavras.

Para muitos filósofos, porém, a razão não é apenas a capacidade moral e intelectual dos seres humanos, mas também uma propriedade ou qualidade primordial das próprias coisas, existindo na própria realidade. Para esses filósofos, nossa razão pode conhecer a realidade (Natureza, sociedade, História) porque ela é racional em si mesma.

Fala-se, portanto, em razão objetiva (a realidade é racional em si mesma) e em razão subjetiva (a razão é uma capacidade intelectual e moral dos seres humanos). A razão objetiva é a afirmação de que o objeto do conhecimento ou a realidade é racional; a razão subjetiva é a afirmação de que o sujeito do conhecimento e da ação é racional. Para muitos filósofos, a Filosofia é o momento do encontro, do acordo e da harmonia entre as duas razões ou racionalidades.

Origem da palavra razão

Na cultura da chamada sociedade ocidental, a palavra razão origina-se de duas fontes: a palavra latina ratio e a palavra grega logos. Essas duas palavras são substantivos derivados de dois verbos que têm um sentido muito parecido em latim e em grego.

Logos vem do verbo legein, que quer dizer: contar, reunir, juntar, calcular. Ratio vem do verbo reor, que quer dizer: contar, reunir, medir, juntar, separar, calcular.

Que fazemos quando medimos, juntamos, separamos, contamos e calculamos? Pensamos de modo ordenado. E de que meios usamos para essas ações? Usamos palavras (mesmo quando usamos números estamos usando palavras, sobretudo os gregos e os romanos, que usavam letras para indicar números).

Por isso, logos, ratio ou razão significam pensar e falar ordenadamente, com medida e proporção, com clareza e de modo compreensível para outros. Assim, na origem, razão é a capacidade intelectual para pensar e exprimir-se correta e claramente, para pensar e dizer as coisas tais como são. A razão é uma maneira de organizar a realidade pela qual esta se torna compreensível. É, também, a confiança de que podemos ordenar e organizar as coisas porque são organizáveis, ordenáveis, compreensíveis nelas mesmas e por elas mesmas, isto é, as próprias coisas são racionais.

Desde o começo da Filosofia, a origem da palavra razão fez com que ela fosse considerada oposta a quatro outras atitudes mentais:

1. ao conhecimento ilusório, isto é, ao conhecimento da mera aparência das coisas que não alcança a realidade ou a verdade delas; para a razão, a ilusão provém de nossos costumes, de nossos preconceitos, da aceitação imediata das coisas tais como aparecem e tais como parecem ser. As ilusões criam as opiniões que variam de pessoa para pessoa e de sociedade para sociedade. A razão se opõe à mera opinião;

2. às emoções, aos sentimentos, às paixões, que são cegas, caóticas, desordenadas, contrárias umas às outras, ora dizendo “sim” a alguma coisa, ora dizendo “não” a essa mesma coisa, como se não soubéssemos o que queremos e o que as coisas são. A razão é vista como atividade ou ação (intelectual e da vontade) oposta à paixão ou à passividade emocional;

3. à crença religiosa, pois, nesta, a verdade nos é dada pela fé numa revelação divina, não dependendo do trabalho de conhecimento realizado pela nossa inteligência ou pelo nosso intelecto. A razão é oposta à revelação e por isso os filósofos cristãos distinguem a luz natural - a razão - da luz sobrenatural - a revelação;

4. ao êxtase místico, no qual o espírito mergulha nas profundezas do divino e participa dele, sem qualquer intervenção do intelecto ou da inteligência, nem da vontade. Pelo contrário, o êxtase místico exige um estado de abandono, de rompimento com a atividade intelectual e com a vontade, um rompimento com o estado consciente, para entregar-se à fruição do abismo infinito. A razão ou consciência se opõe à inconsciência do êxtase.

Os princípios racionais

Desde seus começos, a Filosofia considerou que a razão opera seguindo certos princípios que ela própria estabelece e que estão em concordância com a própria realidade, mesmo quando os empregamos sem conhecê-los explicitamente. Ou seja, o conhecimento racional obedece a certas regras ou leis fundamentais, que respeitamos até mesmo quando não conhecemos diretamente quais são e o que são. Nós as respeitamos porque somos seres racionais e porque são princípios que garantem que a realidade é racional.

Que princípios são esses? São eles:

Princípio da identidade, cujo enunciado pode parecer surpreendente: “A é A” ou “O que é, é”. O princípio da identidade é a condição do pensamento e sem ele não podemos pensar. Ele afirma que uma coisa, seja ela qual for (um ser da Natureza, uma figura geométrica, um ser humano, uma obra de arte, uma ação), só pode ser conhecida e pensada se for percebida e conservada com sua identidade.

Por exemplo, depois que um matemático definir o triângulo como figura de três lados e de três ângulos, não só nenhuma outra figura que não tenha esse número de lados e de ângulos poderá ser chamada de triângulo como também todos os teoremas e problemas que o matemático demonstrar sobre o triângulo, só poderão ser demonstrados se, a cada vez que ele disser “triângulo”, soubermos a qual ser ou a qual coisa ele está se referindo. O princípio da identidade é a condição para que definamos as coisas e possamos conhecê-las a partir de suas definições.

Princípio da não-contradição (também conhecido como princípio da contradição), cujo enunciado é: “A é A e é impossível que seja, ao mesmo tempo e na mesma relação, não-A”. Assim, é impossível que a árvore que está diante de mim seja e não seja uma mangueira; que o cachorrinho de dona Filomena seja e não seja branco; que o triângulo tenha e não tenha três lados e três ângulos; que o homem seja e não seja mortal; que o vermelho seja e não seja vermelho, etc.

Sem o princípio da não-contradição, o princípio da identidade não poderia funcionar. O princípio da não-contradição afirma que uma coisa ou uma idéia que se negam a si mesmas se autodestroem, desaparecem, deixam de existir. Afirma, também, que as coisas e as idéias contraditórias são impensáveis e impossíveis.

Princípio do terceiro-excluído, cujo enunciado é: “Ou A é x ou é y e não há terceira possibilidade”. Por exemplo: “Ou este homem é Sócrates ou não é Sócrates”; “Ou faremos a guerra ou faremos a paz”. Este princípio define a decisão de um dilema - “ou isto ou aquilo” - e exige que apenas uma das alternativas seja verdadeira. Mesmo quando temos, por exemplo, um teste de múltipla escolha, escolhemos na verdade apenas entre duas opções - “ou está certo ou está errado” - e não há terceira possibilidade ou terceira alternativa, pois, entre várias escolhas possíveis, só há realmente duas, a certa ou a errada.

Princípio da razão suficiente, que afirma que tudo o que existe e tudo o que acontece tem uma razão (causa ou motivo) para existir ou para acontecer, e que tal razão (causa ou motivo) pode ser conhecida pela nossa razão. O princípio da razão suficiente costuma ser chamado de princípio da causalidade para indicar que a razão afirma a existência de relações ou conexões internas entre as coisas, entre fatos, ou entre ações e acontecimentos.Pode ser enunciado da seguinte maneira: “Dado A, necessariamente se dará B”. E também: “Dado B, necessariamente houve A”.

Isso não significa que a razão não admita o acaso ou ações e fatos acidentais, mas sim que ela procura, mesmo para o acaso e para o acidente, uma causa. A diferença entre a causa, ou razão suficiente, e a causa casual ou acidental está em que a primeira se realiza sempre, é universal e necessária, enquanto a causa acidental ou casual só vale para aquele caso particular, para aquela situação específica, não podendo ser generalizada e ser considerada válida para todos os casos ou situações iguais ou semelhantes, pois, justamente, o caso ou a situação são únicos.

A morte, por exemplo, é um efeito necessário e universal (válido para todos os tempos e lugares) da guerra e a guerra é a causa necessária e universal da morte de pessoas. Mas é imprevisível ou acidental que esta ou aquela guerra aconteçam. Podem ou não podem acontecer. Nenhuma causa universal exige que aconteçam. Mas, se uma guerra acontecer, terá necessariamente como efeito mortes. Mas as causas dessa guerra são somente as dessa guerra e de nenhuma outra.

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