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Um índice cardinal de utilidade é, por hipótese, uma função real U = U(X, Y) que satisfaz as seguintes condições:

Uma função real com estas características é simplesmente um auxiliar matemático de raciocínio, gozando da propriedade de conservar as escalas de ordenação das preferências do consumidor. Cabe destacar que este índice cardinal não é único, pode-se construir uma infinidade de índices cardinais compatíveis com uma mesma escala ordinal de preferência. Logicamente estes índices guardam entre si uma determinada relação de dependência.

2 – Prova da Existência do Índice Cardinal

Seja (λ0, λ0) uma cesta de mercadorias em que os bens entram em quantidades numéricas iguais. Esta cesta irá se situar sobre a bissetriz do primeiro quadrante.

Graficamente: Y/t

Dado uma cesta qualquer de bens (X0, Y0) existe um e apenas um valor de λ tal que:

(X0, Y0) ~ (λ0, λ0). Teorema da não saciedade. Tem-se então a seguinte associação:

X/t Prof. Gilberto Hissa 27

Qualquer cesta indiferente a (X0, Y0) será associada ao real λ0.

OBS.: dada uma escala ordinal de preferência do consumidor, é possível encontrar uma infinidade de índices cardinais de utilidade compatíveis com essa escala ordinal, esses índices se relacionam entre si por uma transformação monotônica positiva. Reciprocamente, qualquer transformação crescente de um índice cardinal produz outro da mesma espécie.

3 – Transformações Monotônicas Positivas

É transformar um conjunto de números em outro conjunto de tal forma que a ordem dos números seja preservada.

Seja V(U) uma transformação positiva de U, então tem-se: se U0 > U1 então V(U0) >

V(U1). Exemplos de TMP:

i – multiplicar U por um número positivo V(U) = 3.U i – somar U a qualquer número

V(U) = U + c, onde c = qualquer real i – elevar U a um expoente ímpar

V(U) = Uc, onde c = real ímpar iv – elevar U a um expoente par quando U > 0 V(U) = Uc, onde c = real par e U > 0

4 – Exemplos de Funções de Utilidade 4.1 – Substitutos Perfeitos

Para se obter a curva de indiferença tem-se que fixar o valor de U e de T (constantes). Exemplos:

T = 1 ( X é tão valioso quanto Y) e U = 10 ⇒ Y = 10 - X T = 2 (X é mais valioso do que Y – duplamente) e U = 10 ⇒ Y = 10 – 2X T = 0,5 (Y é mais valioso do que X – duplamente) e U = 10 ⇒ Y = 10 – 0,5X

4.2 – Complementares perfeitos U = U(X, Y) = mínimo (X/a, Y/b), onde:

a = quantidade necessária de X para formar uma unidade do bem combinado b = quantidade necessária de Y para formar uma unidade do bem combinado

Para se obter a curva de indiferença tem-se que fixar o valor de U e de a e b.

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Exemplos:

a = 1 e b = 1 e U = 10 ⇒ 10 = mín (X, Y) ⇒ no bico da curva de indiferença U = 10 teremos X = 10 e Y = 10 a = 2 e b = 15 e U = 10 ⇒ 10 = mín (X/2, Y/15) ⇒ no bico da curva de indiferença U = 10 teremos X = 20 e Y = 150

4.3 – Preferências Cobb-Douglas (Função Utilidade Cobb-Douglas)

U = U(X, Y) = Xc.Yd, onde: c e d são constantes positivas;

Para se obter a curva de indiferença tem-se que fixar o valor de U e de c e d. Exemplos:

c = 1 e d = 1 e U = 10 ⇒ 10 = X.Y ⇒ Y = 10/X c = 1/2 e d = 1/2 e U = 10 ⇒ 10 = X1/2.Y1/2 ⇒ Y = (100/X) OBS.: retrata, sempre, curvas de indiferença bem comportadas Transformação monotônica positiva da Cobb-Douglas: elevando U ao expoente 1/(c +d)

V = V(X, Y) = U1/(c + d) = (Xc.Yd)1/(c + d) V(X, Y) = Xc/(c +d).Yd/(c + d) Sendo a = c/(c + d), então 1 – a = d/(c + d) V(X, Y) = Xa.Y1-a – função de utilidade homogênea de grau 1 (se X e Y forem multiplicados por uma constante qualquer k, V também ficará multiplicada por esta constante)

5 – Taxa Marginal de Substituição (TmgS) e Utilidade Marginal (Umg)

5.1 – Utilidade Marginal (Umg) – este parâmetro só pode ser calculado a partir da existência do índice cardinal de utilidade. Tendo a seguinte formulação:

Umgx = variação em U decorrente de uma variação de uma unidade de X, com Y constante Umgy = variação em U decorrente de uma variação de uma unidade de Y, com X constante

Algebricamente:

Umgx = ∆Ux/∆X , com Y constante ⇒ ∆Ux = ∆X.Umgx

Umgy = ∆Uy/∆Y , com X constante ⇒ ∆Uy = ∆Y.Umgy

OBS.: o cálculo da utilidade marginal isolado não tem conteúdo comportamental. Depende, o mesmo, da magnitude da utilidade.

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Exercício: mostrar no gráfico o cálculo da Umgx Graficamente:

X/t 5.2 – Taxa Marginal de Substituição (TmgS) e Utilidade Marginal (Umg) A TmgS pode ser calculada através das utilidades marginais.

Somando ∆Ux e ∆Uy: ∆Ux + ∆Uy = ∆U = 0 (mesma curva de indiferença)

∆X.Umgx + ∆Y.Umgy = 0

TmgS = Umgx/Umgy

6 – Escolhas Ótimas

1º Passo: encontrar a equação da escolha ótima 2º Passo: levar a equação da escolha à LO pré-determinada.

6.1 – Substitutos Perfeitos

1º Passo: equação da escolha ótima se TmgS > PR ⇒ Y = 0 se TmgS < PR ⇒ X = 0 se TmgS = PR ⇒ Y = R/Px – Px/Py.X

2º Passo: levar a equação da escolha à LO pré-determinada.

se TmgS > PR ⇒ R0 = Px0.X + Py0.0 ⇒ Escolha ótima: X = R0/Px0 e Y = 0 se TmgS < PR ⇒ R0 = Px0.0 + Py0.Y ⇒ Escolha ótima: Y = R0/Py0 e X = 0 se TmgS = PR ⇒ escolha ótima indeterminada.

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