Resistência dos Materiais - Beer

Resistência dos Materiais - Beer

(Parte 1 de 5)

MATERIAIS

Prof.: J. E. Guimarães

Revisão 7 20/01/08

Revisão de Matemática

Faremos aqui uma pequena revisão de matemática necessária à nossa matéria, e sem a qual poderemos ter dificuldades em apreender os conceitos básicos e trabalhar com eles.

São chamadas frações decimais aos números onde utilizamos uma vírgula para separar a parte
Quando operamos com números, dividindo ou multiplicando por dez ou seus exponenciais basta
A vírgula do 6 está assim colocada 6, ou então 6,0
Para dividirmos o 6 por 10 deslocamos esta vírgula de uma casa para a esquerda,

Operações com Frações Decimais inteira da parte menor que a inteira, tais como nos exemplos: 0,1 - 0,005 - 8,5 - etc. deslocar a vírgula do número de casas quantas forem os zeros do número divisor ou multiplicador. Quando dividimos deslocamos a vírgula para a esquerda e quando multiplicamos deslocamos a vírgula para a direita. Exemplo: se quisermos dividir o número 6 por 10 basta verificar onde está a vírgula do número 6 e então deslocamos essa vírgula uma casa para a esquerda. temos então:

6 ÷ 10 = 0,6
ou 6 ÷ 100 = 0,06
ou ainda 6,5 ÷ 100 = 0,065
Para multiplicarmos o número 8 por 10 temos:
8 × 10 = 80
ou 8 × 100 = 800
ou ainda 8,75 × 1000 = 8750
Os números decimais são muito utilizados em nosso dia a dia em nossas contas e especialmente

nas nossas medidas.

Unidades de medidas.
A unidade de medida de extensão é o metro e seus múltiplos e submúltiplos.
m - 0,001 m - milímetro
cm - 0,01 m - centímetro
dm - 0,1 m - decímetro
m - 1 m - metro
dam - 10 m- decâmetro
hm - 100 m - hectômetro

km - 1000 m - quilômetro

m2 - metro quadrado
m3 - metro cúbico
A unidade de massa é o quilograma e seus múltiplos e submúltiplos
mg - 0,001 g - miligrama - 0,000001 kg
cg - 0,01 g - centigrama - 0,00001 kg
dg - 0,1 g - decigrama - 0,0001 kg
g - 1 g - grama - 0,001 kg
kg - 1kg - quilograma - 1 kg
t - 1000 kg - tonelada - 1000kg
A unidade de força do Sistema Internacional de Medidas (ISO) é o Newton ainda pouco

A unidade de medida de área é o metro quadrado e seus múltiplos e submúltiplos A unidade de medida de volume é o metro cúbico e seus múltiplos e submúltiplos utilizada mas, que prevalecerá cada vez mais.

N - Newton
kgf - quilograma-força
1 kgf = 9,81 N

Porém ainda encontramos muito utilizada ainda hoje a unidade de força.

forçalibra-força devido à grande influência do sistema inglês no mundo
A unidade de pressão (ou de tensão) da norma ISO é o Pascal ainda pouco utilizada
Pa = N / m2 - Newton por metro quadrado
kgf / mm2 - quilograma-força por milímetro quadrado

No passado foi muito utilizada, e ainda podemos encontrar em livros um pouco antigos, a unidade de . Ainda é muito utilizada a unidade de pressão ( e de tensão)

Operações com Frações Ordinárias

Multiplicação

- Para multiplicarmos duas frações ordinárias multiplicamos os numeradores resultando um número que será o numerador da fração resultado e então multiplicamos os dois denominadores que gerará um outro número que será o denominador da fração resultado. Exemplo:

a / b . c / d = a . c / b . dou

1 / 2 . 3 / 4 = 1 . 3 / 2 . 4 = 3 / 8

Para efetuarmos uma divisão de frações, mantemos a primeira fração sem modificações e

Divisão multiplicamos pela segunda fração invertida. Exemplo:

a / b ÷ c/d
a/b x d/c = a.d/b.c ou

1/2 ÷ 3/4 = 1/2 x 4/3 = 1.4/2.3 = 4/6 = 2/3

Chamamos regra de três a uma operação matemática onde temos três dados que estão

Regra de Três Simples relacionados entre si e um deles é desconhecido. Exemplo:

X = A / B sendo A e B valores conhecidos basta efetuarmos a divisão e teremos o

valor se X

X = 20 / 5 teremos X = 4
sendo A e X os valores conhecidos poderemos aplicar a propriedade das

frações:

se A / B = C / D então A . D = B . C cujo exemplo apresentamos:
1 / 2 = 4 / 8 então 1 . 8 = 2 . 4 que resulta em 8 = 8
Podemos então afirmar
X / 1 = A / B e X . B = 1 . A que se torna X . B = A e resulta,
B = A / X como A e X são valores conhecidos basta efetuar a divisão para obtermos o

resultado. Exemplo:

10 = A / 5 fazemos 10 / 1 = A / 5 e teremos 10 . 5 = 1 . A
então 10 . 5 = A onde A = 50
Estudaremos aqui as relações trigonométricas no triângulo retângulo.

Noções de Trigonometria Assim, caso tenhamos a dimensão da hipotenusa de um triângulo retângulo e um dos ângulos agudos, podemos calcular a dimensão de qualquer lado. Os senos e cosenos de quaisquer ângulos são conhecidos. Basta que tenhamos uma tabela de senos e cosenos. Apresentamos os valores de senos e cosenos de alguns ângulos mais usuais:

a – hipotenusa
a b – cateto oposto ao ângulo α
c – cateto adjacente ao ângulo α
b
Chamamos seno de um ângulo a relação
ângulo α entre o cateto que lhe é oposto e a hipotenusa
Assim, no triângulo ao lado, o seno de αé
c dado por sen α = b/a

5 E chamamos de co-seno, a relação entre o cateto que lhe é adjacente e a hipotenusa. Assim, no triângulo anterior, o co-seno do ângulo α é dado por cós α = c/a

ângulo seno coseno
0º 0 1
30º 0,5 0,87
45º 0,74 0,74
60º 0,87 0,5
90º 1 0
Seno de 30º = 0,5 ( da tabela )
Seno de 30º do nosso triângulo = dimensão do cateto oposto / 12
Como os dois senos são iguais, por serem senos de 30º podemos escrever:
0,5 = dim. do cateto oposto / 12
0,5 x 12 = dim. do cateto oposto
dimensão do cateto oposto = 6 cm

Exemplo. Temos um triângulo retângulo com hipotenusa de 12 cm e um dos ângulos agudos vale 30º. Qual o comprimento do cateto oposto a esse ângulo? Resposta. Como sabemos que o seno de um ângulo é dada pela dimensão do cateto que lhe é oposto dividida pela dimensão da hipotenusa temos:

Faremos agora uma pequena revisão de alguns conceitos de Estática

Revisão de Física Força – O conceito de força é primitivo. Nós o adquirimos através da sensação de esforço muscular. Fisicamente,

F = m.a sendo:
F – força
m – massa

Força é toda causa capaz de produzir em um corpo uma modificação de movimento ou uma deformação. a – aceleração

P = m.g sendo “g” a aceleração da gravidade terrestre.

Um tipo de força muito comum é o peso. Peso de um corpo é a força com que a Terra (planeta) o atrai.

Para definirmos força necessitamos de três parâmetros. 1 ) O módulo ( que o número que nos dá o valor da força ) 2 ) A direção na qual está atuando a força. Ex.: horizontal, vertical, etc. 3 ) O sentido no qual está atuando a força. Ex.: para baixo, para cima, para a direita, etc. Assim, dizemos que força é uma grandeza vetorial porque para ser definida precisamos mencionar o seu módulo, sua direção e seu sentido.

Composição de Forças Para fazer a composição de forças temos que levar em conta, sempre, os três parâmetros que as formam. Duas forças com mesma direção e sentido se somam

F1 F2 Resultante

Duas forças com mesma direção mas com sentidos contrários se diminuem e terá resultante na direção da maior.

F1 F2 Resultante
F1 F1
Resultante
F2

Duas forças em direções e sentidos diversos podem ser compostas pela regra do paralelogramo F2

Da mesma forma que podemos fazer a composição de forças, podemos, a partir de uma força,

Decomposição de Forças obter duas ou mais componentes dessa força. Ex.

F1
F1y F1
F1x

Obtemos então duas componentes F1y e F1x que se forem compostas segundo a regra anteriormente apresentada torna-se a própria força F1

Decomposição de Forças segundo os eixos ortogonais x e y

Neste trabalho utilizaremos dois eixos ortogonais ( dois eixos que formam 90º entre si. Estes eixos são assim escolhidos para facilitar os cálculos )

y
0 x

Esses dois eixos são ferramentas de trabalho que nos facilitará na decomposição de forças. No ponto zero dos nossos eixo colocaremos a força que queremos decompor.

y
F1
F1y
ângulo
α

0 F1x x

Suponhamos agora que a força F1 do esquema acima tenha um módulo de 100 N, que o ângulo α

8 tenha 30º e que queiramos decompor F1 em duas componentes ortogonais segundo os eixos x e y. Quais devem ser os valores de F1x e de F1y?

Solução: Para que F1y e F1x representem a decomposição de F1, a linha F1y Z e o eixo x devem ser paralelas o mesmo acontecendo com as linhas F1x Z e o eixo y. Portanto as linhas 0 F1y é igual à linha F1x Z e podemos afirmar que a dimensão da linha 0 F1y representa módulo da componente F1y. Então:

sen 30º = F1y / F1
0,5 = F1y / 100 N
0,5 X 100 = F1y

F1y = 50 N

cos 30º = F1x / 100 N
0,86 = F1x / 100 N
0,86 x 100 = F1x
F1x = 86 N

Momento de uma Força em Relação a um Ponto

Momento de uma força em relação a um ponto é a tendência que tem essa força em fazer um corpo
Define-se :

girar, tendo esse ponto como centro de giro.

Momento de uma Força em Relação a um Ponto é uma grandeza vetorial cuja intensidade é igual ao produto da intensidade da força pela distância do ponto ao suporte da força.

Força F
O momento da força F em relação ao ponto b é
Ma = F.ab
Assim, o momento da força F em relação ao pontoa é dado pelo produto do módulo da força F

pela distância a b.

b a

O momento resultante é a composição dos diversos momentos atuantes em um corpo. O momento

Momento Resultante resultante será, sempre, em relação a um mesmo ponto.

F1
F2
F3
Para fazermos composição de momentos devemos primeiro estabelecer uma convenção para os

momentos. Momento que tende a girar no sentido horário será positivo e ante-horário, negativo.

No exemplo acima faremos o momento resultante em relação ao ponto a.

Momento Resultante = F3 . distância ax - F2 . dist. az - F1 . dist. ay

Sendo F1 = 200 NF2 = 400 N F3 = 800 N e
ay = 80 cm az = 40 cm ax = 60 cm
M resultante = - 200 x 80 - 400 x 40 + 800 x 60(momento resultante em relação ao ponto a)
Mra = - 1600 - 1600 + 4800
Mra = - 3200 + 4800
Mra = 1600 N.cm

Exemplo numérico:

x z

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