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Luiz Francisco Batista Sampaio sanuzukesagara@gmail.com

Séries Infinitas

Definição de Série Infinita: Se {}nu é uma seqüência e n123nsuuu...u=++++ então {}nu é uma seqüência de somas parciais denominada série infinita e se denota por

u u u uu . . .
Os números 1u, 2u, 3u,, nu, ... são os termos da série infinita.

Definição da soma de uma Série Infinita: Considere que n n 1

= ∑ denota uma série infinita dada para a qual {}ns é a seqüência de somas parciais. Se nx lim s →+∞ existe e é igual a S, então a série converge e S é a soma da série. Se nx lim s →+∞ não existe, então a série é divergente, e a série não tem soma.

Teorema: Seja c qualquer constante diferente de 0

• Se a série n n 1

= ∑ é convergente e sua suma é S, então a série n n 1

= ∑, também é convergente e sua soma é c . S.

• Se a série n n 1

= ∑ é divergente, então a série n n 1

= ∑, também é divergente.

Teorema: Se n n 1

= ∑ são séries infinitas convergentes cujas somas são S e T, respectivamente, então a b

= +∑ é uma série convergente e sua suma é S + T.

a b

= −∑ é uma série convergente e sua soma é S + T.

Teorema: Se a série n n 1

= ∑ é convergente e a série n n 1

= ∑ é divergente, então ()n n 1 a b

= ±∑ é uma série divergente.

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- 2 “A matemática foi o alfabeto criado por Deus para descrever o Universo.” – Galileu Galilei

Teorema: Se n n 1

= ∑ é uma série convergente de termos positivos, então seus termos podem ser reagrupados de qualquer maneira, de modo que a série resultante, também será convergente e terá a mesma soma da série original. Definição de Função: Se n n 1

= ∑ é uma série convergente de termos positivos, então a ordem dos termos podem ser modificados, e a série resultante também será convergente e terá a mesma soma da série original.

Teorema: Se n n 1

= ∑ são séries infinitas, que diferem unicamente em seus primeiros m termos

(é dizer, kkab= se km>), então as duas séries são convergentes ou ambas são divergentes.

Teorema: uma série infinita de termos positivos é convergente se, e somente se, sua seqüência de somas parciais tiver um limitante superior.

Definição de Série Alternada: Se na0> para todos os números inteiros positivos n, então a série

1 a a a a a1 a . ..

e a série

1 a a a a a1 a .. .

denominam-se séries alternadas

Definição do Erro depois de k termos: Se uma série infinita é convergente e sua soma é S, então o erro depois de k termos, se obtém ao aproximar a soma da série mediante a k-éssima soma parcial ks, denotado por kR é knRSs=−

Teorema: Considere a série alternada ()n1 n

= −∑, aonde na0> e n1naa+> para todos os números inteiros positivos n. Se nx lim a 0

→+∞ =. Se kR é o erro obtido ao aproximar a soma da série mediante a soma dos primeiros k termos, então kk1Ra+<.

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Definição de Convergência Absoluta: A série infinita n n 1

= ∑ é absolutamente convergente se a série

= ∑ é convergente.

Definição de Convergência Condicional: uma série é convergente, mas não absolutamente convergente, se denomina condicionalmente convergente.

Teorema: Se a série n n 1

= ∑ é convergente, então a série n n 1

= ∑ é convergente.

Critérios de Convergência

Teorema: Se a série infinita n n 1

= ∑ é convergente, então nx

Teorema: Se a série harmônica n 1 1n

= ∑ é divergente.

a r a a r a ra r . . .

Teorema: Se a série geométrica n12n1 n 1 +∞

=+++++∑ é convergente para se r1< e é divergente si r1≥.

Teorema: Critério de Comparação

Seja a série n n 1

= ∑ uma série de termos positivos

• Se n n 1

= ∑ é uma série de termos positivos que é convergente, e nnuv≤ para todos os números inteiros positivos n, então n n 1

= ∑ é convergente.

• Se n n 1

= ∑ é uma série de termos positivos que é divergente, e nnuw≥ para todos os números inteiros positivos n, então n n 1

= ∑ é divergente.

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Teorema: Critério de Comparação por Limite

Seja as série n n 1

= ∑ duas séries de termos positivos

• Se n x n u lim c 0 v→+∞ =>, então as séries são convergentes ou ambas as séries são divergentes.

• Se n x n u lim 0

= ∑é uma série convergente, então n n 1

= ∑é uma série convergente. Se

= ∑é uma série divergente nada podemos concluir.

• Se n x n u lim

= ∑é uma série divergente, então n n 1

= ∑é uma série divergente. Se

= ∑é uma série convergente nada podemos concluir.

Teorema: Critério da Integral Seja f uma função continua, decrescente, e de valores positivos para todo x1≥. Então a série infinita

f (n) f 1 f 2 f 3f n . . .

é convergente se a integral 1 f(x)dx

∫ existe, e é divergente si b lim f(x)dx

Teorema: Critério da Série Alternada

Suponha que se tem a série alternada ()n1 n

= −∑, aonde na0> e n1naa+> para todos os números inteiros positivos n. Se nx lim a 0 →+∞ =, então a série alternada é convergente.

Teorema: Critério da Razão

Seja as série n n 1

= ∑ uma série infinita para a qual cada nu é diferente de zero:

• Se n1 x n

=<, então a série é absolutamente convergente.

• Se n1 x n

=> ou se n1 x n

=+∞ então a série é divergente.

• Se n1 x n

=, não se pode concluir nada acerca da convergência a partir deste critério.

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Teorema: Critério da Raiz

Seja as série n n 1

= ∑ uma série infinita para a qual cada nu é diferente de zero:

• Se n

=<, então a série é absolutamente convergente.

• Se n

=> ou se n

=+∞ então a série é divergente.

• Se n

=, não se pode concluir nada acerca da convergência a partir deste critério.

Teorema: Critério Raabes

Seja as série n n 1

∑ uma série infinita dada para o qual n x u lim 1

=. Então:

• Se n1 x n ou n1 x n então a série é absolutamente convergente.

• Se n1 x n ou n1 x n então a série é divergente.

x n ou n1 x n

, não se pode concluir nada acerca da convergência a partir deste critério.

Resumos dos Critérios de Convergência e Divergência de Séries Infinitas

A fim de adquirir destreza no reconhecimento e aplicação do critério apropriado, se requer considerável pratica, a qual se obtém realizando vários exercícios. Como ajuda, são listados abaixo algum passos e se aconselha que sejam aplicados na ordem indicada. Se algum passo em particular não é aplicável o não pode levá-lo a nenhuma conclusão, continue com o próximo passo. Algumas vezes poderá ser aplicado mais de um critério, contudo, deve-se aplicar o mais eficaz.

Modelo I

1-) Calcule o nx lim u lim u 0

→+∞ ≠, então a série diverge. Se nx lim u 0 →+∞ =, não se pode concluir nada através deste passo;

2-) Examine a série a fim de determinar se corresponde a um dos seguintes tipos especiais:

• Uma serie geométrica; n1 n 1 ar

∑. Convergente para se r1<. Divergente si r1≥;

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• Uma p-série: p

= ∑ (aonde p é uma constante). Convergente se p1>. Divergente se p1≤;

• Uma série alternada: ()n1 n

= −∑. Aplique o critério da série alternada: se na0> e n1naa+> para todos os números inteiros positivos n. Se nx lim a 0 →+∞ =, então a série alternada é convergente.

3-) Aplique o critério da razão: seja as série n n 1

= ∑ uma série infinita para a qual cada nu é diferente de zero:

• Se n1 x n

=<, então a série é absolutamente convergente.

• Se n1 x n

=> ou se n1 x n

=+∞ então a série é divergente.

• Se n1 x n

=, não se pode concluir nada acerca da convergência a partir deste critério.

5-) Aplique o critério da integral: seja f uma função continua, decrescente, e de valores positivos para todo x1≥. Então a série infinita

f (n) f 1 f 2 f 3f n . . .

é convergente se a integral 1 f(x)dx

∫ existe, e é divergente si b lim f(x)dx

6-) Aplique o critério de comparação: seja a série n n 1

= ∑ uma série de termos positivos

• Se n n 1

= ∑ é uma série de termos positivos que é convergente, e nnuv≤ para todos os números inteiros positivos n, então n n 1

= ∑ é convergente.

• Se n n 1

= ∑ é uma série de termos positivos que é divergente, e nnuw≥ para todos os números inteiros positivos n, então n n 1

= ∑ é divergente.

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7-) Aplique o teste de comparação por limite: seja as série n n 1

= ∑ duas séries de termos positivos

• Se n x n u lim c 0 v→+∞ =>, então as séries são convergentes ou ambas as séries são divergentes.

• Se n x n u lim 0

= ∑é uma série convergente, então n n 1

= ∑é uma série convergente. Se

= ∑é uma série divergente nada podemos concluir.

• Se n x n u lim

= ∑é uma série divergente, então n n 1

= ∑é uma série divergente. Se

= ∑é uma série convergente nada podemos concluir.

Modelo I

A seguintes etapas podem ser freqüentemente utilizadas para determinar se uma serie infinita n n 1 convergente ou divergente:

1-) se n1nuar−=, sendo a0≠, é uma série geométrica, onde:

• Se r1<, a série é convergente e sua soma é a

• Se r1≥, a série é divergente.

2-) Se nnn1uaa−=− e nx lima 0 →∞ =, então utilizar o método do encurtamento da série (telescoping serie) e cuja soma é 0a.

3-) Se np a u n =, sendo a0≠, a série é uma constante multiplicada por uma p-série.

• Se p1>, a série é convergente; • Se p1≤, a série é divergente.

4-) Calculando nx lim u L →+∞ =

• Se L0≠, a série é divergente;

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• Se L0= e a série é uma série alternada, aplica-se o critério da série alternada: se n1nuu+≤ para todo n pertencente aos inteiros positivos, a série alternada é convergente. Caso contrário nada pode se concluir.

5-) Se nu contem os fatores n! ou na, aplica-se o critério da razão. Calculando n1 x

• Se L=∃, nada se pode concluir;

• Se L1<, a serie é absolutamente convergente; • Se L1> ou L=+∞, a série é divergente;

• Se L1=, aplica-se o critério de Raabe’s. Calculando n u lim n 1 P o Se P1> ou P=+∞, a serie é absolutamente convergente; o Se P1< ou P=−∞, a serie é divergente; o Se P1= ou P∃ nada se pode concluir.

6-) Se nu contem os fatores n, aplica-se o critério da raiz. Calculando n

• Se L1<, a série é absolutamente convergente; • Se L1> ou L=+∞, a série é divergente;

• Se L1= ou L∃, nada se pode concluir.

7-) Se nu0> para todo n pertencente aos inteiros positivos, aplica-se o critério por comparação ou o critério de comparação por limite comparando-a com uma p-série ou uma série geométrica.

• Critério de Comparação: Seja a série n n 1

= ∑ uma série de termos positivos o Se n n 1

= ∑ é uma série de termos positivos que é convergente, e nnuv≤ para todos os números inteiros positivos n, então n n 1

= ∑ é convergente.

o Se n n 1

= ∑ é uma série de termos positivos que é divergente, e nnuw≥ para todos os números inteiros positivos n, então n n 1

= ∑ é divergente.

• Critério de Comparação por Limite: Seja as série n n 1

= ∑ duas séries de termos positivos o Se n x n u lim c 0 v→+∞ =>, então as séries são convergentes ou ambas as séries são divergentes.

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- 9 “A matemática foi o alfabeto criado por Deus para descrever o Universo.” – Galileu Galilei o Se n x n u lim 0

= ∑é uma série convergente, então n n 1

= ∑é uma série convergente. Se n n 1

= ∑é uma série divergente nada podemos concluir.

o Se n x n u lim

= ∑é uma série divergente, então n n 1

= ∑é uma série divergente. Se n n 1

= ∑é uma série convergente nada podemos concluir.

8-) Se nu0> para todo n pertencente aos inteiros positivos, use o critério da integral. Sendo nf(n)u=, se f uma função continua, decrescente para xa1≥≥, então n n 1

= ∑ é convergente se, e somente se, a f(x)dx

∫ existir.

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