Equação de Bernoulli e Aplicações

Equação de Bernoulli e Aplicações

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Nova Andradina-MS 2008

Trabalho apresentado ao curso de Matematica de Licenciatura Plena, da Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul, Unidade de Nova Andradina, como requisito final para a obtencao da referida graduacao sob a orientacao do Professor Luiz Oreste Cauz.

Nova Andradina-MS 2008

Trabalho apresentado ao curso de Matematica de Licenciatura Plena, da Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul, Unidade de Nova Andradina, como requisito final para a obtencao da referida graduacao sob a orientacao do Professor Luiz Oreste Cauz .

Luiz Oreste Cauz Presidente

Marcio Demetrius Martinez Membro

Otavio J. N.T.N. dos Santos Membro

Nova Andradina-MS, 24 de Novembro, 2008

Aos meus pais.

Aos meus amigos. Dedico

Se clamares por entendimento, e por inteligencia alcancares a tua voz; se como a prata a buscares e como a tesouros escondidos a procurares, entao entenderas o temor do Senhor, e acharas o conhecimento de Deus. Porque o Senhor da a sabedoria: da sua boca vem o conhecimento e o entendimento. Proverbios 2:3-6

Agradecimentos

Primeiramente a Deus, que em nome de Jesus Cristo me concedeu sabedoria para conclusao da graduacao.

A meu orientador, Profo.MSc.Luiz Oreste Cauz, pela amizade e paciecia, pelo auxılio que contribuiu para a elaboracao deste trabalho.

A minha famılia, principalmente aos meus pais, Joao Francisco do Anjos e Quiteria da

Silva dos Anjos, que mesmo em momentos de dificuldades sempre me incentivou a estudar.

A todos os meus amigos de graduacao, que ajudaram na realizacao desse trabalho. A todos os professores que estiveram presentes durante minha graduacao, pelos ensinamentos, pelas cobrancas e pelos conselhos dados em aulas.

Aos meus amigos da Falcao Tratores, em especial ao Marcos Cesar de Paula, Ivaldo

Vanin e Andre Roberto Loyer, que estiveram contribuindo de forma indireta, durante minha graduacao.

Aos meus amigos da Igreja do Evangelho Quadrangular, principalmente ao Pr.Valdir

Aparecido dos Santos, que sempre me ajudou com seus conselhos, mostrando que Deus e a principal fonte de sabedoria.

Resumo

Neste trabalho apresentamos um estudo sobre a Equacao de Bernoulli e algumas aplicacoes. Para isto, inicialmente fizemos um estudo geral sobre as equacoes diferenciais, onde aspectos como linearidade, ordem e tipos de equacoes diferenciais foram abordados. Alem disso, estivemos analisando o numero de solucoes para uma equacao diferencial ordinaria. Tambem foi feito um estudo sobre os metodos de solucoes de alguns tipos classicos de equacoes diferenciais de primeira ordem. Em seguida, estudamos a Equacao de Bernoulli, que e uma equacao diferencial nao linear que pode ser transformada em uma equacao linear. Finalmente, apresentamos algumas aplicacoes ligados a fısica e a biomatematica nas quais a modelagem matematica leva a uma equacao diferencial na forma da Equacao de Bernoulli.

Palavras-chave: Equacao de Bernoulli, Aplicacoes, Equacao Diferencial Ordinaria, Equacao Diferencial Linear.

Abstract

This work presents a study on the Bernoulli’s equation and some applications. For this, initially made a general study on the differential equations, where issues such as linearity, order and types of equations differentials have been addressed. Moreover, were analyzing the number of solutions to an ordinary differential equation. Too was done a study on methods for solutions of some types classical differential equations of the first order. Then, studied the Bernoulli’s equation, which is an equation nonlinear differential that can be transformed into an equation linear. Finally, we present some applications related to physical and Biomathematics in which the mathematical modeling leads to a differential equation in the form of Bernoulli’s equation.

Keywords: Bernoulli’s Equation, Applications, Ordinary Differential Equation, Linear Differential Equation.

Lista de Figuras10

Sumario

Introducao 1

1.1 Ordem e Grau de uma Equacao Diferencial14
1.2 Equacao Diferencial Linear14
1.3 Solucao de uma Equacao Diferencial Ordinaria15
1.4 Problema de Valor Inicial17
1.5 Solucao Explıcita e Implıcita19

1 Equacoes Diferenciais Ordinarias 13

2.1 Equacoes Lineares de Primeira Ordem21
2.2 Equacoes com Coeficientes Constantes2
2.3 Metodos de Solucao de uma Edo24
2.4 Fator Integrante27
2.5 Equacoes de Variaveis Separaveis29
2.6 Equacoes Homogeneas30
2.7 Equacoes Exatas32
2.8 Equacao de Bernoulli35
2.9 Aplicacoes da Equacao de Bernoulli37

2 Equacoes Diferenciais de Primeira Ordem 21

Conclusao 45 Referencias Bibliograficas 46

Lista de Figuras

1.1 Solucao particular para a EDO dy

= 4x16
1.2 Solucao do PVI18
1.3 Circunferencia de raio 220

1.4 Famılia de solucoes de x dy

+ y = 120
2.1 Solucao do PVI (2.20)37

dx 10

Introducao

As equacoes que envolvem taxas de variacao sao chamadas de diferenciais. A taxa de variacao de uma quantidade e determinada pela diferenca entre seus valores em dois tempos proximos.

Mais precisamente, uma Equacao Diferencial e uma equacao que contem as derivadas de uma funcao procurada ou sua diferencial. Resolver uma equacao diferencial significa encontrar uma funcao que dependa da variavel independente x e que satisfaca a equacao diferencial dada.

As equacoes diferenciais tem grandes aplicacoes em engenharia, fısica, matematica aplicada, biologia, etc. Varios fenomenos do mundo real sao estudados modelando-os matematicamente por meio de equacoes diferenciais. Podemos estudar por exemplo, a posicao de um objeto, a variacao da temperatura de um material, a concentracao de um agente quımico, a concentracao de poluentes ou nutrientes em um meio, a umidade do ar, o numero de habitantes de um paıs, a densidade de massa de um gas, etc.

Neste trabalho, fizemos um estudo sobre equacoes diferenciais de primeira ordem. Daremos uma atencao especial sobre uma equacao conhecida como Equacao de Bernoulli. Embora essa equacao seja nao linear, podemos transforma-la em uma equacao linear por meio de uma substituicao de variaveis. A equacao diferencial da forma

e chamada de Equacao de Bernoulli.

Esta equacao e devido a Jacques Bernoulli (1654-1705). A famılia Bernoulli e composta por oito cientista suıcos que se destacaram nas areas da metematica, fısica, Astronomia em que a historia datam do seculo XVI ao seculo X. Entre eles Jacques Bernoulli, Jean Bernoulli e Daniel Bernoulli, juntamente com Gottfried Wilhelm Leibniz, deram grandes contribuicoes para o desenvolvimento das equacoes diferenciais.

No capıtulo 1, fizemos um estudo geral sobre equacoes diferenciais de primeira ordem onde conceitos como ordem, grau e a linearidade de uma Equacao Diferencial foram abordados. A seguir, estudamos os tipos de solucoes para uma Equacao Diferencial Ordinaria (EDO); solucao explıcita, implıcita e solucao de uma EDO com problema de valor inicial.

No capıtulo 2, estudamos as equacoes diferenciais de primeira ordem, onde apresentamos alguns metodos de solucao para uma EDO e procedimentos de solucao para as seguintes equacoes diferenciais: com coeficientes constantes, lineares, de variaveis separaveis, homogeneas e exatas. Ao final desse capıtulo apresentamos a equacao de Bernoulli e algumas aplicacoes da mesma. Este trabalho foi baseado nas referencias [1], [2], [3], [4], [5], [6] e [7].

Capıtulo 1

Equacoes Diferenciais Ordinarias

As palavras diferencial e equacoes obviamente sugerem a resolucao de algum tipo de equacao envolvendo derivadas. Tais equacoes podem envolver derivadas ordinarias ou derivadas parciais. Neste trabalho, estudaremos apenas as equacoes que envolvam somente derivadas ordinarias (EDOs).

Definicao 1.1. Uma Equacao Diferencial Ordinaria (EDO) e uma equacao da formaF ( x, y,

,,

dx dny dxn envolvendo uma funcao incognita y = y(x) e suas derivadas ou suas diferenciais em que x e a variavel independente, y e a variavel dependente e o sımbolo dny dxn denota a derivada de ordem

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