Distribuição normal

Distribuição normal

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Aula ministrada por Prof. Caio Dantas

Texto da aula

Prof Carlos Alberto (Caio) Dantas

ProfªEliseteda C. QuintaneiroAubin ProfªMônica Carneiro Sandoval

Cléber da Costa Figueiredo figuecl @ime. usp. br

Thiago Rodrigo Alves Carneiro thiagorodrigo @ime. usp. br

Introdução

Atéaqui estudamos variáveis aleatórias discretas que são caracterizadas por ter uma distribuiçãode probabilidadedada por uma tabela que associaa cadaum de seus valores uma probabilidade.

Essas probabilidades são números entre zero e um cujasoma éiguala 1 .

Exe mplos

1) X : número observado quando se lança um dado

Valor :1 2 3 4 5 6

2) Uma bola éretirada quatro vezes com reposição de uma urna que contém quatro bolas brancas e seis pretas. Seja X éo número de brancas nas quatro retiradas. Logo, X tem distribuição binomial com n=10 e p = 0,4.

kn k

Uso do MINITAB

MTB > pdf;

xP(X = x)
00,0060
10,0403
20,1209
30,2150
40,2508
50,2007
60,1115
70,0425
80,0106
90,0016

Probabilidade: Variáveis Contínuas

Uma variável aleatória contínua assume seus valores em um intervalo.

Como são atribuídas probabilidades nesse caso?

Para as variáveis contínuas as probabilidades são atribuídas por meio de uma curva cuja área entre a mesma e o eixo das abscissas é igual a um .

Área sob a curva

hachurada áreabxaP
1curva a sob Área

integral

Esta curva édenominada densidade de probabilidade da variável aleatória.

A área sob uma curva delimitada por dois valores a e b, como mostra a figura, édeterminada calculando-se a integral definida entre a e b da densidade de probabilidade representada pela curva.

voltar a b)xP(af(x)dx

Considere a seguinte densidade de probabilidade:

≤1 e f(x) = 0 fora desse intervalo.

1 figura na hachurada área

Exemplo da exponencial

Exemplo: Considere a variável Y: tempo de duração, em horas, de uma lâmpada.

A função densidade édecrescente com uma grande proporção de valores entre 0 e 500 horas e uma pequena proporção de valores acima de 1500 horas.

x-,

Distribuição normal 2 piσ e

A distribuição normal éuma distribuição contínua cuja densidade de probabilidade édada pela seguinte expressão:

O gráfico da densidade normal

Propriedades:

•A curva normal ésimétrica em torno da média µ µ µ;

•Como consequênciaa mediana éigual àmédia

• µ µ µ- σ σσ σe µ µ µ+ σ σσ σsão os pontos onde a concavidade da curva muda de sentido

•A área sob a curva e acima do eixo horizontal é igual a 1.

Parâmetros da distibuição normal

A distribuiç ão normal depende dos parâmetros de posição µ µ µe de dispersão σ σσ

Quando falamos distribuição normal estamos empregando o termo num sentido um tanto ambíguo, que pode se referir a uma distribuição normal com um µ µ µe um σ σσ σ2 dados ou ao conjunto de todas as distribuições normais em que

O significado de µ µ µe σ σσ σ

Da simetria da curva tem-se que E(X) = µ µ µ.

Pode-se calcular a variância de X, obtém-se:

Ou seja σ σσ σ2 éa variância de X.

Usaremos a seguinte notação para indicar a distribuição normal com média µ µ µe variância σ σσ

Importância da distribuição normal

A distribuição normal é uma das mais importantes na Estatística porque um grande número de fenômenos aleatórios podem ser aproximados por essa distribuição. Ela foi introduzida pelo matemático alemão Karl FrederichGauss em 1809 para descrever a distribuição dos erros de medidas.

Na próxima aula vamos utilizar um resultado da teoria das probabilidades que mostra um caráter universal da distribuição normal e justifica porque ela éencontrada com freqüência.Este resultado é denominado teorema do limite central.

Propriedades dos modelos contínuos

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