Distribuições estatísticas

Distribuições estatísticas

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ESTUDO DE

DISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICAS

RESUMO

Este trabalho visa avaliar a capacidade dos alunos em desenvolver uma análise e entendimento, referente aos cálculos das probabilidades pertencente ao campo da Matemática. A maioria dos fenômenos de que trata a Estatística são de natureza aleatória ou probabilística. O conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo das probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística Indutiva ou Inferência.

PALAVRAS-CHAVE: Probabilidade, estatística, inferência.

SUMÁRIO

1.

INTRODUÇÃO ...........................................................................................

05

2.

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ......................................................................

06

2.1

ESPAÇO AMOSTRAL................................................................................

06

2.2

EVENTOS ...................................................................................................

08

2.2.1

EVENTOS ALEATÓRIOS .........................................................................

09

2.2.2

OPERAÇÕES COM EVENTOS ALEATÓRIOS ......................................

10

2.2.3

PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES ......................................................

11

2.3

TIPOS DE EVENTOS .................................................................................

12

2.4

INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA ...........................................................

13

3.

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON .................................................................

15

3.1

ESPERANÇA E VARIÂNCIA ...................................................................

18

4.

DISTRIBUIÇÃO NORMAL .......................................................................

20

4.1

FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA ............................................

21

4.2

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO .....................................................

22

5.

CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................

25

6

REFERÊNCIAS ..........................................................................................

26

  1. INTRODUÇÃO

Todas as vezes que citamos teoria da probabilidade, podemos nos referir aos estudos dos fenômenos de observação, que cumpre-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático (determinístico ou probabilístico) que melhor o explique.

Porem os fenômenos estudados pela estatística são fenômenos cujo resultado, mesmo em condições normais de experimentação variam de uma observação para outra, dificultando dessa maneira a previsão de um resultado futuro.

A observação de um fenômeno casual é recurso poderoso para se entender a variabilidade do mesmo. Entretanto, com suposições adequadas e sem observar diretamente o fenômeno, podemos criar um modelo teórico que reproduza muito bem a distribuição das freqüências quando o fenômeno é observado diretamente. Tais modelos são os chamados modelos de probabilidades.

Os fenômenos determinísticos conduzem sempre a um mesmo resultado, quando as condições iniciais são as mesmas. Ex: tempo de queda livre de um corpo. Mantidas as mesmas condições, as variações obtidas para o valor do tempo de queda livre de um corpo são extremamente pequenas (em alguns casos desprezíveis).

Os fenômenos aleatórios podem conduzir a diferentes resultados; mesmo quando as condições iniciais são as mesmas, existe a imprevisibilidade do resultado. Ex: lançamento de um dado.

Podemos considerar os experimentos aleatórios como fenômenos produzidos pelo homem.

  • Lançamento de uma moeda honesta;

  • Lançamento de um dado;

  • Lançamento de duas moedas;

  • Retirada de uma carta de um baralho completo de 52 cartas;

  • Determinação da vida útil de um componente eletrônico.

Para melhor entendimento desta unidade e dos fenômenos que iremos descrever em forma completa dos resultados, entretanto especificando ambas as denominações no estudo das probabilidades, “variáveis aleatórias”.

2. variáveis Aleatórias

São fenômenos que, mesmo repetidas várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. O resultado final depende do acaso.

2.1 Espaço Amostral (S)

É um conjunto que contém todos os resultados possíveis de um experimento. Assim, no contexto desse experimento, ele é considerado o conjunto universal e simbolizado por S.

Porém, para entendermos melhor o espaço amostral definimos conjunto como conceitos matemáticos fundamentais utilizados no estudo das probabilidades. Um conjunto é uma coleção de objetos ou itens que possuem característica(s) comum(ns). É importante definir cuidadosamente o que constitui o conjunto em que estamos interessados, a fim de podermos decidir se determinado elemento é ou não membro do conjunto.

Conjunto é uma coleção bem definida de objetos ou itens.

Vejamos um exemplo:

No jogo de uma moeda, ao ser lançada a moeda, é convencionamos “C” resultado cara e “R” resultado coroa, o espaço amostral é:

S= {cara, coroa}.

No experimento aleatório “lançamento de um dado” e estudar o resultado da face de um numeram voltados para cima, temos o espaço amostral

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 

No experimento aleatório "dois lançamentos sucessivos de uma moeda" temos o espaço amostral.

{(ca,ca) , (co,co) , (ca,co) , (co,ca)}

Obs: cada elemento do espaço amostral que corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral. No primeiro exemplo: cara pertence ao espaço amostral{cara, coroa}.

O espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto dos resultados do experimento. Os elementos do espaço amostral também serão chamados de pontos amostrais.

Representamos o espaço amostral por Ω.

Nos exemplos dados acima, os espaços amostrais são:

a) Ω={c,r}

b) Ω={1,2,3,4,5,6}

c) Ω={(ca,ca) , (co,co) , (ca,co) , (co,ca)}

O evento aleatório pode ser um único ponto no espaco amostral como no exemplo a seguir:

Ex.: Lançam-se dois dados, enumerando-se os seguintes eventos:

A: saída de faces iguais;

B: saída de faces cuja soma seja igual a 10;

C: saída de faces cuja soma menor que 2;

D: saída de faces cuja soma menor que 15;

E: saída de faces onde uma face é o dobro da outra.

Determinação do espaço amostral: podemos determiná-lo por uma tabela (produto cartesiano).

Os eventos pedidos são:

A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)}

B = {(4,6),(5,5),(6,4)}

C = Φ (evento impossivel)

D = Ω (evento certo)

E = {(1,2),(2,1),(2,4),(3,6),(6,3),(4,2)}

Uma outra maneira de determinar o espaço amostral desse experimento é usar o diagrama em arvore, que será útil para resolução de problemas futuramente.

2.2 Eventos (E)

É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.Portanto, um evento pode representar mais de um resultado.

No jogo de dado, se o evento E significar resultado igual 2, temos A={2}. Se o evento B significar resultado par, temos B={2,4,6}.

Desses resultados temos uma relação entre espaço amostrais, evento e probabilidades. Porem muitas vezes é útil representar graficamente um espaço amostral, porque isso torna mais fácil visualizar-lhe os elementos.

Se considerarmos S como espaço amostral e E como evento: Assim, qualquer que seja E, se E c S (E está contido em S), então E é um evento de S.

Se E = S , E é chamado de evento certo. Naturalmente, p(E)=1 ( a probabilidade do evento certo é 1).

Se E = Ø , E é chamado de evento impossível. Portanto ,p(E)=0 ( a probabilidade do evento impossível é nula)

Já os eventos para “a carta é de copas” e “a carta é uma figura” não são mutuamente excludentes, porque algumas cartas de copas são também figuras.

Representar graficamente um espaço amostral, para torna mais fácil visualizar-lhe os elementos.

O

A

s eventos A e A’ são complementares

A

B

A

A’

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