Reguladores em Sistemas Não-Lineares Fuzzy de Takagi-Sugeno, Notas de estudo de Eletrônica

Baixe Reguladores em Sistemas Não-Lineares Fuzzy de Takagi-Sugeno e outras Notas de estudo em PDF para Eletrônica, somente na Docsity! NOVOS RESULTADOS SOBRE A ESTABILIDADE E CONTROLE DE SISTEMAS NÃO-LINEARES UTILIZANDO MODELOS FUZZY E LMI Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira* marcelo@dee.feis.unesp.br Hilton Cleber Pietrobom** hilton@ele.ita.cta.br Edvaldo Assunção* edvaldo@dee.feis.unesp.br *Universidade Estadual Paulista, DEE/FEIS/UNESP CP 31, 15.385-000 Ilha Solteira – SP – Brasil **Instituto Tecnológico de Aeronáutica, ITA/IEE/IEES 12.228-900 - São José dos Campos - SP RESUMO São apresentadas condições relaxadas para o estu- do da estabilidade de sistemas não-lineares, contínuos e discre- tos no tempo, descritos por modelos fuzzy. Uma análise teórica demonstra que o método proposto fornece resultados melhores ou iguais que os outros métodos descritos na literatura. Simu- lações digitais ilustram este fato. Estes resultados são também utilizados no projeto de reguladores fuzzy. Para isso sistemas não-lineares são representados pelos modelos fuzzy propostos por Takagi-Sugeno. Além disso, as análises de estabilidade e problemas de projetos de sistemas de controle são descritos co- mo problemas de Desigualdades Matriciais Lineares (em inglês, Linear Matrix Inequalities (LMI)), que podem ser resolvidos efi- cientemente na prática por técnicas de programação convexa. As técnicas de projeto também permitem a especificação do transi- tório através da taxa de decaimento e a especificação de restri- ções nos sinais de controle e nas saídas. O projeto e a simulação do controle de um pêndulo invertido ilustram o sistema de con- trole estudado. Keywords: Fuzzy control, nonlinear systems, stability, regula- tors, LMIs. ABSTRACT Relaxed conditions for the stability study of non- linear, continuous and discrete-time systems given by fuzzy mo- dels are presented. A theoretical analysis shows that the pro- posed method provides better or at least the same results of the methods presented in the literature. Digital simulations exem- plify this fact. These results are also used for the fuzzy regulators design. The nonlinear systems are represented by the fuzzy mo- dels proposed by Takagi and Sugeno. The stability analysis and the design of controllers are described by LMIs (Linear Matrix Inequalities), that can be solved efficiently by convex program- ming techniques. The specification of the decay rate, constraints on control input and output are also described by LMIs. Finally, 0Artigo submetido em 07/12/1998 1a. Revisão em 23/04/1999; 2a. Revisão em 04/10/1999 Aceito sob recomendação da Eda. Consa. Profa. Dra. Sandra Aparecida Sandri the proposed design method is applied in the control of an inver- ted pendulum. 1 INTRODUÇÃO O primeiro passo no projeto de um sistema de controle é a cons- trução de um “modelo verdadeiro” do sistema dinâmico que será controlado. O modelo verdadeiro será utilizado nas simulações para verificar o desempenho do controlador projetado e deve in- cluir todas as características relevantes do processo. Normal- mente o modelo verdadeiro é muito complicado para o projeto de sistemas de controle. Assim, necessita-se de um modelo simpli- ficado, denominado “modelo de projeto”, vide (Friedland, 1996) para maiores detalhes. O modelo de projeto deve capturar as ca- racterísticas essenciais do processo. A técnica mais comum para a obtenção de um modelo de projeto para plantas não-lineares é sem dúvida a linearização da planta em um ponto de operação de interesse. Com este método o modelo de projeto é em geral um sistema linear invariante no tempo e o projeto de controla- dores é relativamente simples em muitos casos. Entretanto, este modelo de projeto descreve bem a dinâmica do sistema somen- te em uma certa vizinhança em torno do ponto de operação no qual o sistema foi linearizado. Assim, nos casos onde o sistema pode operar em regiões distantes do ponto de operação, este mo- delo de projeto não é, em geral, adequado. Neste caso deve-se adotar um modelo de projeto mais sofisticado, que considere adi- cionalmente a dinâmica da planta em regiões distantes do ponto de operação mencionado. Uma possível solução para este pro- blema é a representação da planta não-linear por modelos fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) ou Takagi-Sugeno-Kang (T-S-K) (Takagi and Sugeno, 1985), (Sugeno and Kang, 1988). A idéia destes modelos consiste da descrição aproximada de um sistema não- linear como a combinação de um certo número de modelos li- neares invariantes no tempo locais, que descrevem aproximada- mente o comportamento deste sistema em diferentes pontos do seu espaço de estados. Desta forma, pode-se interpretar a técni- ca tradicional de linearização em apenas um ponto de operação Revista Controle & Automação /Vol.11 no.01/Jan., Fev., Mar. e Abril 2000 37 como um caso particular dos modelos fuzzy T-S-K, consistindo apenas de um modelo local. Esta classe de modelos de proje- to permite que o engenheiro utilize o seu conhecimento sobre o sistema que vai ser controlado, na definição do número dos modelos locais e dos pontos ou regiões nas quais estes modelos locais serão definidos. O modelo global do sistema é obtido através da combinação fuzzy destes modelos lineares locais. A idéia é que para cada modelo linear local seja projetado um controle de realimenta- ção linear. O controlador global resultante, que é não-linear em geral, é uma combinação fuzzy de cada controlador linear indi- vidual. Mais significativamente, as análises de estabilidade e o projeto de controle são reduzidos a problemas descritos por LMIs (Boyd et al., 1994). Numericamente, os problemas de LMIs podem ser resolvidos muito eficientemente por meio de algumas ferramen- tas poderosas disponíveis na literatura de programação matemá- tica (Boyd et al., 1994). Portanto, a interpretação das análises de estabilidade e problemas de projeto de controle como problemas descritos por LMIs é equivalente a encontrar soluções para os problemas originais. Durante a última década o controle fuzzy tem atraído grande atenção e muitas aplicações têm sido feitas, por exemplo, na análise de novos sistemas de controle para automóveis (Will et al., 1997) e controle de elevadores de alta velocidade (Tanaka, Nishimura and Wang, 1998). A análise da estabilidade de sistemas de controle fuzzy é um dos conceitos mais importantes em sistemas de controle fuzzy. É possível projetar teoricamente um controlador fuzzy se for disponível um bom critério para a análise da estabilidade ade- quado a estes sistemas. Recentemente muitos esforços têm sido feitos nesta área (Tanaka and Sugeno, 1992), (Tanaka and Sa- no, 1994), (Cao et al., 1997b), (Cao et al., 1997a), (Tanaka, Ikeda and Wang, 1998). Este artigo trata das questões de estabilidade e projeto de con- troladores fuzzy. São apresentados estudos e novas condições suficientes sobre a estabilidade de sistemas fuzzy utilizando o método direto de Lyapunov, mais ralaxadas que aquelas existen- tes até o momento. Novos métodos de projeto baseados em LMIs para reguladores fuzzy são construídos usando a Compensação Distribuída Para- lela (CDP) (Tanaka and Sugeno, 1992), (Wang et al., 1996) e as novas condições para estabilidade. Exemplos de projeto para sis- temas não-lineares demonstram a utilidade das novas condições de estabilidade e os métodos de projeto baseados em LMIs. A Seção 2 apresenta o modelo fuzzy proposto por Takagi- Sugeno. A Seção 3 introduz o regulador fuzzy e suas questões de estabilidade utilizando o modelo fuzzy Takagi-Sugeno. São apresentados também novos resultados para a estabilidade e pro- jetos descritos por LMIs para reguladores fuzzy contínuos no tempo, enfocando a estabilidade do sistema, a taxa de decaimen- to e restrições na entrada e saída de controle. É apresentado um exemplo de aplicação. Na Seção 4 são discutidos os resultados apresentados. No Apêndice são apresentados os novos resulta- dos obtidos para sistemas discretos no tempo. Neste artigo, MT é a transposta da matriz M, S > 0 (S  0) significa que S é uma matriz simétrica positiva definida (semi- definida), S > T (S  T) significa que ST > 0 (ST  0), e W = 0 significa que W é uma matriz nula, isto é, seus ele- mentos são todos iguais a zero. É utilizada a seguinte notação:Pr i<j , que significa, para r = 3, 3X i<j aij , a12 + a13 + a23: 2 MODELO FUZZY TAKAGI-SUGENO No método de projeto proposto, uma dada planta não-linear é representada pelo modelo fuzzy Takagi-Sugeno (Takagi and Su- geno, 1985). Este método de modelagem fuzzy é simples e natu- ral. As dinâmicas do sistema são capturadas por um conjunto de implicações fuzzy que caracterizam relações locais no espaço de estados. A principal característica de um modelo Takagi-Sugeno é a descrição das dinâmicas locais de cada implicação fuzzy (re- gra) por um modelo de sistema linear. O modelo fuzzy global do sistema é obtido pela combinação fuzzy dos modelos do sistema linear. Especificamente, o sistema fuzzy Takagi-Sugeno é descrito pelas regras fuzzy SE-ENTÃO, que representam localmente relações lineares entre a entrada e a saída de um sistema. A descrição local da planta dinâmica a ser controlada está dispo- nível nos termos dos modelos lineares locais: Sistema Fuzzy Contínuo (SFC): _x(t) = Aix(t) +Biu(t); y(t) = Cix(t); sendo i = 1; 2; : : : ; r, o vetor estado x(t) 2 Rn, o vetor entrada u(t) 2 Rm, o vetor saída y(t) 2 R q ,Ai 2 Rnn,Bi 2 Rnm e Ci 2 R qn. A informação acima é então fundida com as regras SE-ENTÃO disponíveis, onde a i-ésima regra pode ter a forma: Regra i : SE z1(t) é Mi1 E : : : E zp(t) é Mip; ENTÃO  _x(t) = Aix(t) +Biu(t) y(t) = Cix(t): (1) Tem-se que Mij , j = 1; 2; : : : ; p é o conjunto fuzzy j da regra i e z1(t); : : : ; zp(t) são as variáveis premissas. Seja ij(zj(t)) a função de pertinência do conjunto fuzzyMij , e seja wi(z(t)) = pY j=1 ij(zj(t)); z(t) = [z1(t) z2(t) : : : zp(t)]: Como ij(zj(t))  0 tem-se, para i = 1; 2; : : : ; r, wi(z(t))  0 e rX i=1 wi(z(t)) > 0: Uma escolha natural para a obtenção de um modelo fuzzy Takagi-Sugeno para sistemas não-lineares é adotar z(t) = x(t), 38 Revista Controle & Automação /Vol.11 no.01/Jan., Fev., Mar. e Abril 2000 + rX i<j 2 i(z(t)) j(z(t))x T (t)Qijx(t) (13) = rX i=1 2i (z(t))x T (t)Qix(t) + +2 rX i<j i(z(t)) j(z(t))x T (t)(Qij Q)x(t) + +2 rX i<j i(z(t)) j(z(t))x T (t)Qx(t): No Corolário 4 de (Tanaka, Ikeda and Wang, 1998) foi demons- trado que rX i=1 2i (z(t)) 1 s 1 rX i<j 2 i(z(t)) j(z(t))  0: Desta forma, tendo em vista as equações (11) e (13) , _V (x(t))  rX i=1 2i (z(t))x T (t)(Qi + (s 1)Q)x(t) + +2 rX i<j i(z(t)) j (z(t))x T (t)(Qij Q)x(t)  rX i=1 2i (z(t))x T (t)(Qi + (s 1)Q)x(t) + +2 rX i<j i(z(t)) j (z(t))x T (t)Qtijx(t) = xT (t)[ 1I 2I : : : rI] : 2 6664 Q1 + (s 1)Q Qt12 : : : Qt12 Q2 + (s 1)Q : : : ... ... . . . Qt1r Qt2r : : : : : : Qt1r : : : Qt2r . . . ... : : : Qr + (s 1)Q 3 7775 2 6664 1I 2I ... rI 3 7775x(t); sendo I a matriz identidade, I 2 Rnn. Então, da equação (12), _V (x(t)) < 0 para x(t) 6= 0. Corolário 1 Se r = s, então pode-se adotarQ = 0 nas condi- ções do Teorema 1. Prova: Como s=r, então existe z(t) tal que todas as r regras estão ativas, ou seja, i(z(t)) j(z(t)) 6= 0; 8 i; j = 1; 2; : : : ; r: Nesta situação, de (11) e (12) tem-se Qt = 2 6664 Q1 Q12 +P12 : : : Q1r +P1r Q12 +P12 Q2 : : : Q2r +P2r ... ... . . . ... Q1r +P1r Q2r +P2r : : : Qr 3 7775+Qt0; (14) sendo Qt0 = 2 6664 (s 1)Q Q : : : Q Q (s 1)Q : : : Q ... ... . . . ... Q Q : : : (s 1)Q 3 7775 : (15) Agora será demonstrado que, se r = s, então Qt0  0 e desta formaQt0 pode ser removida para a obtenção da condiçãoQt < 0. Como Q = QT  0, então existe L tal que Q = LTL. De (15), obtém-se (16). Então cada matriz do lado direito de (16) é semidefinida positiva e assim, Qt0  0, o que conclui a prova. Observação 1 É conveniente registrar que o caso r = s = 2 é o mais abordado nos exemplos de aplicação de sistemas de controle com modelos TSK, por exemplo (Teixeira and Żak, 1999), (Tanaka, Ikeda and Wang, 1998), (Ma et al., 1998), (Cao et al., 1997b), (Cao et al., 1997a). O teorema a seguir e o Exemplo 1 mostrarão que os resultados apresentados neste trabalho são mais gerais do que os disponí- veis na literatura. Teorema 2 Se as condições do Lema 3 são satisfeitas, então as condições do Teorema 1 também serão. Prova: Das condições do Lema 3, equações (9) e (10), então quandoQtij = QijQ+Pij pode-se escolherPij = Qij+ Q  0. Então, da equação (11), Qtij = 0;. Desta forma, de (12), Qt = 2 6664 Q1 + (s 1)Q 0 : : : 0 Q2 + (s 1)Q : : : ... ... . . . 0 0 : : : : : : 0 : : : 0 . . . ... : : : Qr + (s 1)Q 3 7775 < 0 e a prova está concluída. Observação 2 O resultado descrito no Corolário 1 resulta em simplificação das LMIs propostas no Teorema 1. Estas simpli- ficações não produzem um ganho significativo no procedimen- to numérico da solução das LMIs consideradas. As justificati- vas para a apresentação deste Colorário, foi a demonstração que para r = s o método proposto não necessita da variável Q, sendo que esta variável foi acrescentada seguindo as idéi- as expostas em (Tanaka, Ikeda and Wang, 1998). Assim, para r = s, o método proposto é totalmente independente dos re- sultados expostos em (Tanaka, Ikeda and Wang, 1998). Estas observações são válidas para o caso discreto apresentado no Apêndice, trocando-seQ porY. Os exemplos a seguir comparam o critério de estabilidade pro- posto neste trabalho com o proposto em (Tanaka, Ikeda and Revista Controle & Automação /Vol.11 no.01/Jan., Fev., Mar. e Abril 2000 41 Qt0 = 2 66666664 Q Q 0 0 : : : 0 Q Q 0 0 : : : 0 0 0 0 0 : : : 0 0 0 0 0 : : : 0 ... ... ... ... . . . ... 0 0 0 0 : : : 0 3 77777775 + 2 66666664 Q 0 Q 0 : : : 0 0 0 0 0 : : : 0 Q 0 Q 0 : : : 0 0 0 0 0 : : : 0 ... ... ... ... . . . ... 0 0 0 0 : : : 0 3 77777775 + : : :+ 2 66666664 Q 0 0 0 : : : Q 0 0 0 0 : : : 0 0 0 0 0 : : : 0 0 0 0 0 : : : 0 ... ... ... ... . . . ... Q 0 0 0 : : : Q 3 77777775 + 2 66666664 0 0 0 0 : : : 0 0 Q Q 0 : : : 0 0 Q Q 0 : : : 0 0 0 0 0 : : : 0 ... ... ... ... . . . ... 0 0 0 0 : : : 0 3 77777775 + : : :+ 2 66666664 0 0 0 0 : : : 0 0 Q 0 0 : : : Q 0 0 0 0 : : : 0 0 0 0 0 : : : 0 ... ... ... ... . . . ... 0 Q 0 0 : : : Q 3 77777775 + : : :+ 2 66666664 0 0 : : : 0 0 0 0 0 : : : 0 0 0 ... ... . . . ... ... ... 0 0 : : : 0 0 0 0 0 : : : 0 Q Q 0 0 : : : 0 Q Q 3 77777775 e  Q Q Q Q  =  LT LT   LT LT T : (16) Wang, 1998). Para os dois exemplos abaixo, os ganhos de re- alimentação F1 e F2, para cada valor de a e b, são determinados selecionando-se [2 2] como autovalores para os dois mode- los locais na CDP no caso contínuo e [1=2 1=2] no caso discre- to. As LMIs foram solucionadas com o software LMISol, vide (Oliveira et al., 1997). As Figuras 2 e 3 mostram as áreas factí- veis para o caso contínuo e discreto, respectivamente. Exemplo 1: Caso Contínuo Considere o SFC onde r = s = 2. Neste caso utilizou-se os resultados do Corolário 1. A1 =  2 10 1 0  ; B1 =  1 0  ; A2 =  a 10 1 3  ; B2 =  b 0  : A Fig. 2 mostra a área factível para os dois métodos, variando-se a e b na região coberta pela figura. Exemplo 2: Caso Discreto Considere o SFD onde r = s = 2. Neste caso utilizou-se os resultados do Corolário 2 (vide Apêndice). A1 =  2 10 1 0  ; B1 =  1 0  ; A2 =  a 10 1 0;65  ; B2 =  b 0  : A Fig. 3 mostra a área factível para os dois métodos, variando-se a e b na região coberta pela figura. É observado nestas figuras que as condições apresentadas por (Tanaka, Ikeda and Wang, 1998) levam a resultados mais conservativos para ambos os casos contínuo e discreto pois sua área factível é menor. Estes resultados, aliados aos Teoremas 2 e 4, mostram que os critérios de estabilidade propostos neste tra- balho são mais gerais do que os apresentados em (Tanaka, Ikeda and Wang, 1998). 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 b a Figura 2: Área factível do método proposto em (Tanaka, Ike- da and Wang, 1998) indicada por (“Æ”) e área factível do mé- todo proposto neste artigo indicada por (“
”). 42 Revista Controle & Automação /Vol.11 no.01/Jan., Fev., Mar. e Abril 2000 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 b a Figura 3: Área factível do método proposto em (Tanaka, Ike- da and Wang, 1998) indicada por (“Æ”) e área factível do mé- todo proposto neste artigo indicada por (“
”). 3.3 Novos Resultados para o Projeto de Re- guladores Fuzzy Utilizando LMIs Para as novas condições de estabilidade propostas neste trabalho, o problema de projeto para determinar os ganhos de realimenta- ção Fi, para i = 1; : : : ; r, pode ser definido por meio de LMIs como segue: Encontre X, Y, Pij e Mi para i; j = 1; 2; : : : ; r, sendo i < j, satisfazendoX > 0,Y  0, Pij  0 e2 6664 C11 C12 : : : C1r C12 C22 : : : C2r ... ... . . . ... C1r C2r : : : Crr 3 7775 < 0; (17) sendo Cjj = AjXBjMj +XATj MTj BTj + (s 1)Y; Cij = 8>>>< >>>: 0; se i(z(t)) j(z(t)) = 0;8z(t); 1 2 AiXBiMj +AjXBjMi +XATi + MTj BTi +XATj MTi BTj
Y +Pij ; caso contrário: As condições acima são LMIs com respeito às variáveis X, Y, Pij e Mi e são obtidas diretamente do Teorema 1. Pode-se en- contrar uma matriz simétrica positiva definida X, uma matriz simétrica semidefinida positiva Y, matrizes simétricas semide- finidas positivas Pij e Mi satisfazendo as LMIs ou determinar que X, Y, Pij e Mi não existem. Este é um problema de fac- tibilidade. Se existe solução, os ganhos de realimentação Fi, uma P comum e uma Q comum podem ser obtidas da seguinte forma: P = X1; Fi =MiX 1 e Q = PYP; a partir das soluçõesX,Y eMi. As condições acima são LMIs que devem ser aplicadas quando r 6= s. Quando r = s, levando-se em conta os resultados do Co- rolário 1, pode-se por simplicidade utilizar as mesmas condições descritas acima, considerando-seY = 0. 3.4 Taxa de Decaimento É importante considerar não somente a estabilidade, mas tam- bém outros desempenhos do sistema controlado tais como velo- cidade de resposta, restrições no controle da entrada e saída. A velocidade de resposta está relacionada com a taxa de decaimen- to, isto é, o maior expoente Lyapunov. Do Teorema 1, para uma candidata da função Lyapunov V (x(t)) = xT (t)Px(t) então _V (x(t)) < 0 se Qt < 0, sendo Qt dada em (12). Agora, utilizando-se o resultado da equação (4) tem-se que P = [ 1I 2I : : : rI] 2 6664 P P : : : P P P : : : P ... ... . . . ... P P : : : P 3 7775 2 6664 1I 2I ... rI 3 7775 : Logo, a condição que _V (x(t))  2 V (x(t)) (Tanaka, Ikeda and Wang, 1998) para toda trajetória é satisfeita para Qt+ 2 2 6664 P P : : : P P P : : : P ... ... . . . ... P P : : : P 3 7775 < 0; ou seja2 6664 Q1 + (s 1)Q+ 2 P Qt12 : : : Qt12 Q2 + (s 1)Q+ 2 P : : : ... ... . . . Qt1r Qt  2r : : : : : : Qt1r : : : Qt2r . . . ... : : : Qr + (s 1)Q+ 2 P 3 7775 < 0; (18) sendo Qtij = 8< : 0; se i(z(t)) j (z(t)) = 0;8z(t); Qij Q+Pij + 2 P; caso contrário e > 0. Portanto, o maior limite inferior para a taxa de decai- mento que pode ser encontrado usando uma função Lyapunov quadrática é obtido resolvendo-se o seguinte problema de otimi- zação dos autovalores generalizado (GEVP) (Boyd et al., 1994) em P e : Maximize e encontre X, Y,Pij ,M1; : : : ;Mr sujeito aX > 0, Y  0, Pij  0 e2 6664 C011 C 0 12 : : : C 0 1r C012 C 0 22 : : : C 0 2r ... ... . . . ... C01r C 0 2r : : : C 0 rr 3 7775 < 0; (19) Revista Controle & Automação /Vol.11 no.01/Jan., Fev., Mar. e Abril 2000 43 0 1 2 3 4 5 6 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 1000 2000 3000 Tempo (s) Tempo (s) x 1 (t ) (r ad ) u (t ) (N ) Figura 4: Respostas de x1(t) e u(t) para condição inicial x(0) = [0;96 0 0 0]T e considerando-se os casos: apenas esta- bilidade (linha tracejada); apenas taxa de decaimento (linha contínua); taxa de decaimento e restrição na entrada (linha pontilhada). F2 = 106;1515 21;5707 1;3709 105 27;0206 : A linha tracejada na Fig. 5 mostra as respostas de x3(t) e u(t). Pode ser verificado nesta figura quemaxt k u(t) k2= 101;47 < . A variável x3(t) possui um tempo de estabilização muito superi- or a 15 s. Esse tempo não é mostrado na Fig. 5, sendo mostrado na figura apenas o valor máximo que x3(t) atinge. Exemplo 7 - Estabilidade+Restrição na Entrada de Contro- le+Restrição na Saída de Controle: A resposta do sistema de controle no Exemplo 6 tem um grande valor de saída (maxt k x3(t) k2= 7;65) visto que a restrição na saída não é considerada no projeto de regulador fuzzy. Para melhorar a resposta, pode-se projetar um regulador fuzzy adicionando-se a restrição na saída. Encontre X, P12, M1 e M2 sujeito a X > 0, P12  0, (17), (20), (21) e (23), sendo Y = 0,  = 200,  = 3;6 e x(0) = [0;96 0 0 0]T . A solução é obtida foi F1 =  107;5916 21;3158 22;7633 36;7818  ; F2 =  178;0852 36;1143 40;4190 45;9869  : A linha contínua na Fig. 5 mostra a resposta de x3(t) e u(t). Note que a resposta do sistema de controle satisfaz as restrições maxt k u(t) k2= 167;90 <  e maxt k x3(t) k2= 1;88 < . Em outras simulações, com condição inicial x(0) = [0 x2(0) 0 0] T e ainda com o mesmo controlador, foi verificado que o sistema é assintoticamente estável para5;5  x2(0)  5;5. Os resultados das simulações dos exemplos acima atestam o bom desempenho dos sistemas de controle projetados. 0 5 10 15 −2 0 2 4 6 8 0 5 10 15 −100 0 100 200 Tempo (s) Tempo (s) x 3 (t ) (m ) u (t ) (N ) Figura 5: Respostas de x3(t) e u(t) para condição inicial x(0) = [0;96 0 0 0]T e considerando-se os casos: estabili- dade e restrição na entrada (linha tracejada); estabilidade, restrição na entrada e restrição na saída (linha contínua). 4 CONCLUSÕES Este trabalho apresentou novas condições para o estudo da es- tabilidade e projeto de reguladores, adequadas a sistemas não- lineares descritos por modelos fuzzy de Takagi-Sugeno. Os no- vos resultados concebidos permitem uma descrição direta em termos de LMIs e desta forma, podem ser facilmente resolvidas com softwares que solucionam problemas de programação semi- definida, que apresentam característica polinominal de conver- gência (Boyd et al., 1994). No projeto de reguladores fuzzy abor- dado é possível especificar além da estabilidade, a taxa de decai- mento, restrições na entrada e na saída. São apresentadas provas teóricas e simulações digitais para validar os métodos propostos e finalmente, o controle completo de um pêndulo invertido. Um prosseguimento natural deste trabalho é o projeto de obser- vadores e de reguladores com observadores, com condições mais relaxadas do que as descritas na literatura. Atualmente os auto- res deste trabalho já estão estudando este problema. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem aos revisores anônimos pelos comentários úteis e construtivos e também à FAPESP e ao CNPq pelo apoio financeiro na execução deste trabalho. Referências Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, E. and Balakrishnan, V. (1994). Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, SIAM Studies in Applied Mathematics, USA. Cao, S. G., Rees, N. W. and Feng, G. (1997a). Further Re- sults About Quadratic Stability of Continuous-Time Fuzzy Control Systems , International Journal of Systems Science 28(4): 397–404. Cao, S. G., Rees, N. W. and Feng, G. (1997b). Lyapunov- Like Stability Theorems for Discrete-Time Fuzzy Con- trol Systems , International Journal of Systems Science 28(3): 297–308. 46 Revista Controle & Automação /Vol.11 no.01/Jan., Fev., Mar. e Abril 2000 Friedland, B. (1996). Advanced Control Systems Design, Prentice-Hall, New Jersey 07632. Kosko, B. (1997). Fuzzy Engineering, Upper Saddle River, New Jersey 07458: Prentice-Hall, USA. Ma, X. J., Sun, Z. Q. and He, Y. Y. (1998). Analysis and Design of Fuzzy Controller and Fuzzy Observer, IEEE Transacti- ons on Fuzzy Systems 6(1): 41–51. Oliveira, M. C., Farias, D. P. and Geromel, J. C. (1997). LMISol, User’s guide, UNICAMP, Campinas-SP, Brasil. Pietrobom, H. C. (1999). 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APÊNDICE A: REGULADORES FUZZY PARA SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO De forma análoga à efetuada na Seção 2, pode-se representar sis- temas discretos no tempo não-lineares por modelos fuzzy TSK (Tanaka, Ikeda and Wang, 1998): x(t+ 1) = rX i=1 i(z(t))(Aix(t) +Biu(t)) = = A( )x(t) +B( )u(t); (25) y(t) = rX i=1 i(z(t))Cix(t) = C( )x(t): (26) sendo que foi utilizada a notação x(t) = x(KT ) e x(t + 1) = x(KT + T ), T é o período de amostragem, e i(z(t)), i = 1; 2; : : : ; r satisfazem (4). Utilizando-se a lei de controle (5), sendo que u(t) representa u(KT ), de (25) obtém-se: x(t+ 1) = rX i=1 2i (z(t))Giix(t) + (27) +2 rX i<j i(z(t)) j (z(t))  Gij +Gji 2  x(t); sendo Gij = Ai BiFj : As condições mais gerais, disponíveis na literatura, objetivando o projeto de reguladores fuzzy para sistemas discretos no tempo foram propostas por (Tanaka, Ikeda and Wang, 1998): Lema 4 Assuma que o número de regras que estão ativas para todo t é menor ou igual a s, sendo 1 < s  r. O ponto de equi- líbrio x = 0 do sistema de controle fuzzy discreto descrito por (27) é assintoticamente estável globalmente se existe uma ma- triz simétrica positiva definida comum P e uma matriz simétrica semipositiva definida comum Q tais que GTiiPGii P+ (s 1)Q < 0 (28) para todo i = 1; : : : ; r e  Gij +Gji 2 T P  Gij +Gji 2  PQ  0; i < j; (29) para todo i; j = 1; : : : ; r excetuando-se os pares (i; j) tais que i(z(t)) j (z(t)) = 0;8z(t). O Teorema 3 apresenta novas condições para o projeto de regu- ladores fuzzy para sistemas discretos no tempo. Teorema 3 Assuma que o número de regras que estão ativas para todo t é menor ou igual a s, sendo 1 < s  r. Considere i; j = 1; : : : ; r, sendo i < j e defina Mjj =Gjj = Aj BjFj ; (30) Mij = Gij +Gji 2 = Ai BiFj +Aj BjFi 2 ; (31) Tij =  Rij W T ij Wij Sij   0; (32) Revista Controle & Automação /Vol.11 no.01/Jan., Fev., Mar. e Abril 2000 47 Njj =  X (s 1)Y XMTjj MjjX X  e (33) Nij = 8>>< >>: 0; se i(z(t)) j(z(t)) = 0;8z(t); X+Y Rij XMTij WTij MijXWij X Sij  ;caso contrário. (34) Então, o ponto de equilíbrio x = 0 do sistema de controle fuzzy discreto descrito por (27) é assintoticamente estável glo- balmente se existe uma matriz simétrica positiva definida comum X = P1, uma matriz simétrica positiva semidefinida comum Y e matrizes semidefinidas positivasTij tais que Nt = 2 6664 N11 N12 : : : N1r N12 N22 : : : N2r ... ... . . . ... N1r N2r : : : Nrr 3 7775 > 0: (35) Prova: É análoga à prova do Teorema 1 e utiliza o complemento de Schur (Boyd et al., 1994). Detalhes podem ser encontrados em (Pietrobom, 1999). Corolário 2 Se r = s, então pode-se adotarY = 0 nas condi- ções do Teorema 3. Prova: Similar à prova do Corolário 1. Teorema 4 Se as condições do Lema 4 são satisfeitas, então as condições do Teorema 3 também serão. Prova: Similar à prova do Teorema 2. Para as novas condições de estabilidade propostas neste traba- lho, para sistemas fuzzy discretos no tempo, o problema de projeto para determinar os ganhos de realimentação Fi, para i = 1; : : : ; r, pode ser definido por meio de LMIs, como segue: Encontre X, Y, Rij , Sij , Wij e Mi para i; j = 1; 2; : : : ; r, sendo i < j, satisfazendoX > 0,Y  0,2 6664 D11 D12 : : : D1r D12 D22 : : : D2r ... ... . . . ... D1r D2r : : : Drr 3 7775 > 0 e (36)  Rij W T ij Wij Sij   0; (37) sendo Djj =  X (s 1)Y XATj MTj BTj AjXBjMj X  ; Dij = 8>>>>>>>< >>>>>>>>: 0; se i(z(t)) j (z(t)) = 0;8z(t); X+Y Rij : : : 1 2 (AiXBiMj +AjXBjMi)Wij : : : : : : 12 XATi MTj BTi +XATj MTi BTj
WTij : : :X Sij  ; caso contrário: As condições acima seguem diretamente do Teorema 3. Se existe solução, os ganhos de realimentação Fi e uma P co- mum podem ser obtidos da seguinte forma: P = X1; e Fi =MiX 1; a partir das soluçõesX eMi. As condições acima são LMIs que devem ser aplicadas quando r 6= s. Quando r = s, levando-se em conta os resultados do Co- rolário 2, pode-se por simplicidade utilizar as mesmas condições descritas acima, considerando-se agora Y = 0. De forma aná- loga à apresentada na Seção 3.3, pode-se incorporar nas LMIs acima especificações da taxa de decaimento e restrições na en- trada e na saída da planta (Pietrobom, 1999). 48 Revista Controle & Automação /Vol.11 no.01/Jan., Fev., Mar. e Abril 2000