Apostila Linearização de gráficos

Apostila Linearização de gráficos

(Parte 1 de 6)

GRÁFICOS

Física Experimental

Departamento de Física Centro de Ciências Tecnológicas///UDESC

I.1. Introdução

Entre os diversos recursos à disposição dos pesquisadores para o desenvolvimento da ciência, sem dúvida alguma, os gráficos ocupam uma posição de destaque. Em vez de olhar para uma tabela com um conjunto de medidas realizadas, o cientista olha para o gráfico traçado a partir dessas medidas e percebe o comportamento geral das grandezas físicas envolvidas naquela particular medição.

Se voltarmos nossa atenção para a mídia, em particular as revistas e os programas de televisão, vamos inevitavelmente encontrar informações que são dadas através de gráficos. Podemos citar como exemplos: a evolução no tempo do salário mínimo, da mortalidade infantil, do número de furtos, do número de acidentes de trânsito, e outros tantos.

Em seu computador pessoal você poderá verificar a ocupação do disco rígido através de um gráfico do tipo “pizza”. Se você fizer um exame do seu coração, verificará que o resultado é um gráfico chamado de “eletrocardiograma”, cuja análise permite ao médico ter informações sobre o funcionamento desse órgão. Diga-se de passagem, a medicina moderna utiliza-se de uma série de equipamentos que fornecem gráficos como resultado da medida do funcionamento de certas partes do corpo humano.

Portanto, através da “leitura” de um simples gráfico o médico, ou o cientista, ou o estudante, pode “compreender” o que está acontecendo com aquelas grandezas medidas.

O uso de gráficos na Física é tão importante quanto o conceito de função na Matemática.

Sua utilização na representação de fenômenos permite ilustrar propriedades importantes. Um gráfico serve, entre outras coisas, para mostrar a conexão entre duas ou mais grandezas físicas, sendo uma representação visual do modo como umas variam em relação às outras.

Neste curso, vamos trabalhar apenas com a relação entre duas grandezas físicas, sendo uma independente e a outra dependente desta. Por exemplo, a grandeza física velocidade é dependente da grandeza física tempo, que é independente. Ou seja, o tempo flui independentemente de como a velocidade varia, porém, a velocidade varia em função de como o tempo flui.

Atualmente, é quase impossível imaginar alguma área da ciência ou tecnologia em que a construção e o estudo de gráficos não seja necessário.

Nas disciplinas de Física Experimental é indispensável o conhecimento e o domínio do conteúdo deste texto.

Existem inúmeros tipos de gráficos. Neste texto aprenderemos a trabalhar apenas com gráficos que envolvam duas variáveis e podem ser traçados em papel milimetrado.

Iniciaremos com o estudo de gráficos cartesianos em papel milimetrado e seus fundamentos.

Na seqüência vamos aprender a linearizar algumas funções gerais (anamorfose) ainda em papel milimetrado. E concluiremos com a técnica da linearização aplicada a funções exponenciais e logarítmicas, através do uso de papéis em escala logarítmica: mono-log e di-log.

A experiência tem nos mostrado que todos os estudantes têm dificuldades no aprendizado da construção de gráficos, e principalmente no uso da técnica da linearização. Mas a experiência também nos mostra que a dedicação e a construção de muitos gráficos, na prática, tem ótimos resultados. Queremos dizer que, só se aprende a lidar com gráficos fazendo muitos exercícios. Neste sentido apresentamos ao final uma certa quantidade de sugestões de exercícios de gráficos a fim de que você desenvolva esse conhecimento.

1 Bom estudo!

I.2. Sistema de Coordenadas Cartesianas

Considere uma grandeza física dependente u que varia como função de uma grandeza independente z. Matematicamente, isto pode ser representado pela função: u = f(z).

Se for conhecida de forma explícita a função u = f(z), pode-se representá-la graficamente em um sistema de coordenadas cartesianas, que consiste de duas retas perpendiculares: o eixo x (eixo das abscissas), onde deve ser representada a variável independente (z), e o eixo y (eixo das ordenadas), onde deve ser representada a variável dependente (u).

A cada par ordenado (xi ; yi) = (zi ; ui) corresponde um ponto Pi de abscissa xi = zi e ordenada yi = ui. O conjunto dos vários pontos Pi é denominado de curva da função u = f(z). Convém salientar que os valores representados nos eixos podem ter sinal negativo ou positivo, arbitrado conforme a conveniência, ou seja, conforme a função que se queira representar. Geralmente usa-se apenas o quadrante em que os valores das variáveis são positivos. Veja a figura I.1 abaixo.

I.3. Construção de Gráficos em Papel Milimetrado

A observação de um fenômeno físico qualquer é feita, geralmente, através do tabelamento de valores medidos. Através do exemplo abaixo, vejamos como se constrói o gráfico a partir deste tabelamento, usando o papel milimetrado.

Exemplo 15: Em um experimento de dilatação volumétrica mediu-se o volume (V) de uma esfera para várias temperaturas (T), obtendo-se uma tabela de valores de V e de T, cujos dados foram anotados na tabela abaixo.

Cada par de valores (Ti ; Vi), onde i é o índice que indica a ordem da medida (i = 1,2,3,..., 9), deve ser representado por um ponto em um gráfico cartesiano do tipo y versus x (veja figura I. 1), ou V versus T, pois o volume da esfera é dependente da temperatura. Nota-se na própria tabela, que à medida que a temperatura aumenta, o volume da esfera dilata-se, como conseqüência.

Para construir o gráfico, a partir da tabela acima, devemos obedecer às instruções a seguir. 2

1) Seleção do papel. No caso será o papel milimetrado.

Mais adiante você aprenderá como escolher o tipo de papel que deverá usar para fazer um gráfico, dependendo do tipo de função associada ao comportamento físico observado. Por enquanto, estudemos como fazê-lo em uma folha de papel milimetrado. Em princípio, qualquer função de uma variável pode ser traçada graficamente neste tipo de papel. Não há restrições!

2) Definição dos eixos.

- No eixo das abcissas (eixo horizontal) deve ser registrada a variável independente (eixo dos x) associada à grandeza física que, ao variar, assume valores que não dependem dos valores da outra grandeza física. - No eixo das ordenadas (eixo vertical) deve ser registrada a variável dependente (eixo dos y) associada à grandeza física que, para variar, depende de como varia a outra grandeza física. Em outras palavras, registra-se a causa: variável x no eixo horizontal e o efeito: variável y, ou função y(x), no eixo vertical.

Por exemplo, quando um experimentador mede a distância (d) que um corpo móvel percorre em um certo intervalo de tempo (t), verifica que essa distância varia de acordo com o tempo medido, e não o contrário: “o tempo varia de acordo com a distância”, o que é um absurdo! Assim, o gráfico y versus x deve ser de d versus t, e nunca de t versus d, pois d = d(t).

Para o caso que estamos considerando (exemplo 15), o gráfico cartesiano do tipo y versus x deve ser, então, V versus T, pois o volume da esfera é dependente da temperatura. Veja a figura I.2 abaixo.

3) Registros dos eixos.

- Na parte inferior do eixo das abcissas, à direita, e preferencialmente fora da região quadriculada do papel milimetrado, deve ser registrada a variável independente, com sua unidade entre parênteses. - Na parte superior do eixo das ordenadas, à esquerda, e preferencialmente fora da região quadriculada do papel milimetrado, deve ser registrada a variável dependente, com sua unidade entre parênteses.

Note que a unidade de uma grandeza física inclui uma eventual potência de 10, que pode ter expoente positivo ou negativo. No caso que estamos considerando (exemplo 15), observe que a medida do volume está expressa na unidade: 10-9 m3 e, portanto, deve ser registrada no gráfico, conforme mostrado na figura I.3 ao lado.

4) Determinação das escalas e da posição do papel.

- Geralmente, uma folha de papel milimetrado tem 280 m no eixo vertical, e 180 m no eixo horizontal, então, podemos usá-la nesta posição (“retrato”) ou em outra posição, invertendo os eixos (“paisagem”). Deve ser escolhida uma destas duas possibilidades: “retrato” ou “paisagem”, de modo a otimizar a construção do gráfico visando ocupar o melhor possível a folha.

Entretanto, “ocupar o melhor possível a folha” não significa que se deve usar a escala que preenche todo o papel. Na prática, deve-se escolher uma escala que facilite a leitura dos pontos experimentais, ou qualquer outro ponto representado no gráfico.

Vamos estimar, a seguir, as várias possibilidades de escala para representar as variáveis V e T, e adotar aquelas que melhor ocupam o papel em uma das duas posições possíveis.

Variável Dependente: volume (V)

A grandeza física varia entre os valores 64,1 e 260,0x10-9 m3. Momentaneamente ignoremos a unidade (inclusive a potência) para facilitar.

1a possibilidade: considerando o papel na posição “retrato” - Eixo Vertical (280 m)

(a) Começando do zero: Se começarmos o gráfico a partir do zero, o intervalo de variação para o volume é de (260,0 – 0,0) = 260,0 unidades de volume. A escala direta é

1,0 unidade de volume : 1 m do papel , e a maior medida do volume (260,0) corresponde a 260 m do papel. (cabe bem no papel!). Note que, se usarmos qualquer escala diferente desta, ou o gráfico não caberá no papel, ou não o ocupará bem.

(b) Não começando do zero: Se não começarmos o gráfico a partir do valor zero, o intervalo de variação para o volume é de (260,0 – 64,1) = 195,9 unidades de volume. Iniciamos a partir do valor 60,0 (por exemplo), e fazemos o seguinte cálculo: (260,0 – 60,0) = 200,0 unidades de volume

280 m corresponde a 200,0 unidades de volume 1 m corresponde a 200,0 unidades de volume / 280 m

200,0 unidades de volume / 280 m = 0,714 unid. / m 4

Note que para cada unidade de volume teremos 1,40 (1/0,714) m. Complicado!!

Para facilitar, tanto para quem faz o gráfico, quanto para quem vai lê-lo, adota-se a escala mais próxima desta que seja bem clara para todo mundo. Mesmo que isso signifique não ocupar todo o papel milimetrado.

Deve-se adotar uma “escala limpa e fácil de ser lida” de modo a que não seja necessário fazer cálculos para achar a localização dos pontos no gráfico. Aliás, se você precisar fazer muitos cálculos, algo está inadequado.

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