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Básicos de sistemas digitais e portas lógicas, Notas de estudo de Automação

Este documento aborda os conceitos básicos de sistemas digitais, como a representação decimal e hexadecimal, adição em binário e complementos, e as portas lógicas básicas, como and, or, not, nand, nor, exclusive or e exclusive nor. Além disso, é apresentado o uso de mapas de karnaugh para minimizar equações lógicas.

Tipologia: Notas de estudo

2013

Compartilhado em 04/06/2013

Futebol13
Futebol13 🇧🇷

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Baixe Básicos de sistemas digitais e portas lógicas e outras Notas de estudo em PDF para Automação, somente na Docsity! CURSO DE AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL APOSTILA DE FUNDAMENTOS ELETRÔNICA DIGITAL Prof. Guilherme Vicente Curcio Prof. Rogério Passos do A. Pereira ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 2/109 ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 5/109 Conversão Decimal Binário: Para se converter um número decimal em binário, divide-se sucessivamente o número decimal por 2 (base do sistema binário), até que o último quociente seja 1. Os restos obtidos das divisões e o último quociente compõem um número binário equivalente, como mostra o exemplo a seguir: Converter os seguintes números decimais em binário: a) 23 |2 . 1 11 |2 . 1 5 |2 . 1 2 |2 . 0 1 bit mais significativo, logo: 23D = 10111B b) 52 |2 . 0 26  |2 . 0 13 |2 . 1 6 |2 . 0 3 |2 . 1 1 bit mais significativo, logo 52D = 110100B 1.2.1.3 - Adição com números binários A adição no sistema binário é efetuada de maneira idêntica ao sistema decimal. Devemos observar, entretanto, que o transporte (vai um) na adição em binário, ocorre quando temos 1+1 . A tabela abaixo ilustra as condições possíveis para adição de Bits. A B Soma Vai 1 0 0 0 -- 0 1 1 -- 1 0 1 -- 1 1 0 1 ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 6/109 Observe, nos exemplos seguintes, como é efetuada uma adição em binário: Adicionar os seguintes números binários. a) 101110 + 100101 1 1 1 1 0 1 1 1 0 + 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 b) 1001 + 1100 1 1 0 0 1 + 1 1 0 0 1 0 1 0 1 OBSERVAÇÃO: O termo transporte, (vai um) utilizado para indicar o envio de um dígito para a posição imediatamente superior do número é chamado de CARRY em inglês. Este termo será utilizado a partir de agora, em lugar de "transporte", por ser encontrado na literatura técnica. Subtração em números binários As regras básicas para subtração são equivalentes à subtração decimal, e estão presentadas na tabela a seguir. A B Diferença Transporte 0 0 0 -- 0 1 1 1 1 0 1 -- 1 1 0 -- ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 7/109 Exemplo: Subtrair os seguintes números binários. a) 111 – 101 1 1 1 - 1 0 1 0 1 0 b) 1101 - 1010 1 1 0 1 - 1 0 1 0 0 0 1 1 OBSERVAÇÃO: O termo transporte (pede um), utilizado para indicar a requisição de um dígito da posição imediatamente superior do número, é chamado Borrow em inglês. Este termo será utilizado, a partir de agora, em lugar de transporte, por ser o encontrado na literatura técnica. O processo de subtração efetuado na maioria dos computadores digitais é realizado através da representação de números negativos. Por exemplo, a operação 7 - 5 pode ser representada como sendo 7 + (-5). Observe que, na segunda representação, a operação efetuada é uma adição de um número positivo com um negativo. Os números binários negativos são representados através do 2º complemento. Vejamos como isto é feito. O segundo complemento de um número binário é obtido adicionando-se 1 ao primeiro complemento do mesmo. O primeiro complemento é obtido simplesmente, complementando os dígitos que formam o número. Exemplo: Calcule o 2º complemento dos seguintes números binários. a) 1001 b) 1101 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0  1º complemento 0 0 1 0  1º complemento + 1 + 1 0 1 1 1  2º complemento 0 0 1 1  2º complemento No exemplo anterior (a), o número 9 (1001) tem como segundo complemento 0111. O segundo complemento é a representação negativa do número binário, ou seja, -9 é representado como sendo 0111. ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 10/109 Conversão Hexadecimal Decimal Aplicando ao sistema hexadecimal a definição de um sistema de numeração qualquer, teremos: N = dn . 16n + . . . + d2 . 162 + d1 . 161 + do . 160 Para se efetuar a conversão, basta adicionar os membros da segunda parcela da igualdade, como ilustra o exemplo a seguir: Exemplo: Converter em decimal os seguintes números hexadecimais. a) 23H = 2 . 16 1 + 3 . 160 23H = 2 . 16 + 3 . 1 23H = 35D b) 3BH = 3 . 16 1 + B . 160 3BH = 3 . 16 + 11 3BH = 59D Observe que o dígito hexadecimal "B", no exemplo (b), equivalente ao número 11 decimal, como mostra a tabela apresentada anteriormente. Conversão Decimal Hexadecimal A conversão decimal hexadecimal é efetuada através das divisões sucessivas do número decimal por 16, como demostrado no exemplo a seguir. Exemplo: Converter em hexadecimal os seguintes números: a) 152 |16 . . 8 9 -- logo: 152D = 98H b) 249 |16 ..: 9 15 -- Logo: 249D = F9H ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 11/109 NÚMEROS DECIMAIS CODIFICADOS EM BINÁRIO (BCD) Como já foi discutido anteriormente, os sistemas digitais em geral, trabalham com números binários. Com o intuito de facilitar a comunicação homem-máquina, foi desenvolvido um código que representa cada dígito decimal por um conjunto de 4 dígitos binários, como mostra a tabela seguinte: DECIMAL BINÁRIA 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 Esta representação é denominado de código BCD (Binary-Coded Decimal). Desta maneira, cada dígito decimal é representado por grupo de quatro bits, como ilustrado a seguir: 527 = 0101 0010 0111 527 = 010100100111 Observe que a conversão decimal-BCD e BCD-decimal é direta, ou seja, separando-se o dígito BCD em grupos de 4 bits, cada grupo representa um dígito decimal. Exemplo: Converter os seguintes números decimais em BCD. a) 290 = 0010 1001 0000 290 = 001010010000 b) 638 = 0110 0011 1000 638 = 011000111000 ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 12/109 Converter os seguintes números em decimal. a) 1001010000001000 = 1001 0100 0000 1000 1001010000001000 = 9 4 0 8 = 9408 b) 001001101001 = 0010 0110 1001 001001101001 = 2 6 9 = 269 ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 15/109 Quando tivermos chave A fechada e chave B aberta, teremos corrente circulando e consequentemente a lâmpada L estará acesa. A lâmpada fica acesa também com as condições: - Chave A = Aberta e Chave B = Fechada - Chave A = Fechada e Chave B = Fechada. A lâmpada somente estará apagada quando as duas chaves (A e B) estiverem abertas. Analisando o circuito e comparando-o com a tabela verdade fonecida, podemos afirmar, que para um circuito OR, qualquer 1 na entrada leva a saída para 1. - Porta NOT (não) A porta NOT possui somente uma entrada e uma saída e obedece à seguinte definição: "A saída de uma porta NOT assume o nível lógico 1 somente quando sua entrada é 0 (zero) e vice-versa". Isto significa que a porta NOT é um inversor lógico, ou seja, o nível lógico da sua saída será sempre o oposto do nível lógico de entrada. A figura a seguir apresenta o símbolo da porta lógica NOT, sua tabela verdade e equação lógica. A S Símbolo lógico Tabela Verdade Equação Lógica O circuito a seguir executa a função NOT. Observe que o circuito se resume a uma chave ligada para o terra. Quando a chave está aberta, a corrente circula pela lâmpada que fica acesa. Quando a chave A fecha , a corrente circula agora pela chave. Com isso a lâmpada se apaga, confirmando a tabela verdade fornecida. A L A S 0 1 1 0 AS = ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 16/109 - Porta NAND (não e) As portas lógicas NAND são na realidade combinações das portas básicas AND e NOT. São consideradas como portas básicas das famílias lógicas. “Na porta NAND que qualquer 0 ( zero) na entrada, leva a saída para 1” A figura a seguir apresenta uma porta NAND de duas entradas com o símbolo e a tabela verdade e sua equação lógica. Note que a porta NAND é constituída de uma AND seguida de um inversor (NOT). A B S Símbolo lógico Tabela Verdade Equação Lógica O circuito equivalente de uma porta NAND é visto a seguir, onde é fácil verificar a tabela verdade. A L B B .A S = A B S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 17/109 - Porta NOR (não ou) As portas lógicas NOR são na realidade combinações das portas básicas OR e NOT. São consideradas como portas básicas das famílias lógicas. "Na porta NOR, qualquer 1 na entrada leva a saída para 0 (zero)." A figura a seguir apresenta uma porta NOR de duas entradas com o símbolo e a tabela verdade e sua equação lógica. Note que a porta NOR é constituída de uma OR seguida de um inversor (NOT). A B S Símbolo lógico Tabela Verdade Equação Lógica Analisando o circuito da figura a seguir é fácil concluir que quando qualquer uma das entradas (Chave A ou Chave B) estiverem com 1(fechada) e saída S (lâmpada L) estará com 0 (zero) (lâmpada apagada). A LB B A S += A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra BLOCOS LÓGICOS BÁSICOS Porta Simbolo Usual |Tabela Verdade, Função Lôgica A B s Função E: assume valor 1 E A 4 sID 0 0 quando todas as variaveis Ds 0 1 0 forem iguais a 1 e assume AND 1 0 0 valor zero nos outros 1 1 1 casos possiveis. ã A B Ss Função OU: assume valor ou sio o 0 zero quando todas variaveis OR DD : y ! forem iguais a zero e assume 1 1 1 valor 1 nos outros casos. NÃo A A Função Não: inverte a NOT á z 0 1 variavel aplicada à sua INVERSOR | * - >o— 1 0 entrada. | NE 4 B 3 Função NE: Aa 3 0 0 1 Inverso da função E. NAND B [| 0 1 1 SÊ 1 0 |1 1 1 0 o O A BE | s NOU & s/0 o | 1 Função NOU: .) É É : Inverso da função OU. NOR 1 1 0 Ex. OU A B 5 Função EX-OU: a s 0 0 0 Assume valor 1 quando as EX. OR =) + 0 1 1 variaveis forem diferentes 1 0 1 e zero quando forem iguais 1 1 o Ex. NOU A B 5 Função Ex.NOU: inversa ed s|0 0 1 em função Ex. OU Dee ti EX. NOR 1 0 0 1 1 1 20/109 ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 21/109 EXPRESSÕES / CIRCUITOS / TABELA VERDADE: Todo circuito lógico executa uma expressão booleana, e por mais complexo que seja, é formado pela interligação das portas lógicas básicas. Pense nos operadores booleanos (mais, ponto e barra superior) como códigos para as portas básicas, então você pode escrever equações para os circuitos lógicos usando o sinal mais para uma porta OU, o ponto para uma porta AND e a barra para um inversor. Obtendo expressões lógicas a partir de circuitos: Podemos escrever a expressão booleana que é executada por qualquer circuito lógico. Vejamos, por exemplo, qual a expressão que o circuito a seguir executa. Vamos dividir o circuito em duas portas: Na saída S1 teremos o produto AB. Logo, S1 = AB. Como S1 está aplicado, junto com C, numa outra porta do tipo AND, então, na saída S teremos o produto S1.C. Logo, S = S1.C. Finalmente, como S1= AB, podemos escrever: S=ABC Uma outra maneira mais simples para resolvermos o problema é a de colocarmos nas saídas dos diversos blocos básicos do circuito as expressões por esses executadas da seguinte maneira: ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 22/109 Isto nos diz que o circuito lógico apresentado é equivalente a urna porta AND de três entradas, que pode ser obtida por um circuito integrado TTL SN7411, que contém três portas deste tipo encapsuladas em um Cl de 14 pinos. Exemplos: Determine as expressões booleanas características dos circuitos abaixo. Esse circuito também pode ser representado desta forma: EXEMPLOS: 1) 2) 3) Forma de representação de um inversor ligado antes de uma porta ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 25/109 Expressões lógicas obtidas a partir da tabela verdade: Suponhamos que um circuito lógico de três entradas A, B e C deva proporcionar na saída S1 os estados lógicos dados na tabela verdade abaixo. A B C S 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 0 7 1 1 1 1 Temos basicamente dois métodos através dos quais podemos obter diretamente a expressão de S na sua forma geral ou canónica. São elas: • SOMA DE PRODUTOS (ou MINTERMOS) • PRODUTO DE SOMAS (ou MAXTERMOS) Obtenção da equação a partir de Soma de Produtos: Procedimento: 1. "Para cada condição em que a coluna de saída da tabela verdade for "1”, faz-se o produto das variáveis de entrada, que devem ser negadas sempre que corresponderem ao estado zero". No nosso exemplo, S toma o valor lógico "1" para quatro condições diferentes de entrada, nas linhas: 1, 2, 4 e 7. Assim: ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 26/109 2. "Soma-se os produtos assim obtidos igualando-se tudo a S" Portanto: De posse da expressão característica da tabela verdade podemos montar o circuito lógico correspondente. O método consiste no seguinte: Sempre que uma das quatro condições surge na entrada do circuito, o produto que lhe corresponde toma o valor 1. Portanto, à saída da porta E correspondente a este produto será "1" e, as outras "O". Como às saídas das portas do tipo E são ligadas à entrada de uma porta OU, a saída assume nível"1" tendo em vista a definição da função OU. NOTA: O nome MINTERMO deriva do fato de que quando um mintermo individual é tabulado a sua resposta é um lógico 1, e este 1 é único. Todas as outras respostas relativas do mintermo são O's. Então temos um número mínimo de 1's e um máximo de O's. A função AND representa um mintermo: mínimo de 1's. A B F 0 0 0 0 1 0 F = AB 1 0 0 1 1 1 ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 27/109 Obtenção da equação a partir de Produto de Somas Procedimento: 1. "Para cada linha da tabela em que a saída for "O", fazemos a soma das variáveis de entrada, negando a que tiver valor "V e mantendo aquelas com nível "O"; Ainda no nosso exemplo, S toma o valor lógico "O" nas seguintes linhas da tabela: O, 3, 5 e 6. Assim: 2. A função S é igual ao produto de todas as somas assim obtidas" Logo: O circuito lógico correspondente fica: Neste caso, as somas correspondentes se anulam quando ocorre urna das condições na entrada, anulando toda a expressão. A esta forma de obtenção da equação característica diretamente da tabela verdade e confecção do circuito lógico chamamos Implementação Direta. Esta no entanto não é a forma mais simples. Como podemos notar, apesar dos circuitos e equações anteriores serem diferentes elas são equivalentes, pois, são derivados de uma única tabela da verdade. Portanto, deve existir um processo de minimização e simplificação. Processo esses que veremos mais adiante. NOTA : Quando um MAXTERMO individual é tabelado e sua resposta é O, este é único. Todas as outras respostas relativas ao maxtermo são 1's. Então temos um número máximo de 1's. A função OR representa um MAXTERMO: máximo de 1's. ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 30/109 T3 - Lei distribuitiva T4 - Lei da identidade (a) A . (B + C) = A . B + A . C (a) A + A = A (b) A + (B . C) = (A + B) . (A + C) (b) A . A = A T5 - Lei da Negação T6 - Lei de redundância (a) (A) = A (a) A + A . B = A (b) A . (A + B) = A T7 – T8 - (a) 0 + A = A (a) A + A = 1 (b) 1 . A = A (b) A . A = 0 (c) 1 + A = 1 (d) 0 . A = 0 T9 – T10 - Teorema de Morgan (a) A + A . B = A + B (a) BA + = A . B (b) A . (A + B) = A . B (b) .BA = A + B Observe que todos os teoremas são divididos em duas partes, portanto, são duais entre si. O termo dual significa que as operações OR e AND são intercambiáveis. Para se obter o dual de um teorema, basta substituir os "1" por "0" e vice-versa, e substituir a função lógica AND por OR e vice-versa. Observe o exemplo a seguir: T1 - Lei comutativa T6 - (a) A + B = B + A (a) A + A . B = A (b) A . B = B . A (b) A . (A + B) = A T8 – (a) A + A = 1 (b) A . A = 0 Os três primeiros teoremas mostram que as leis básicas de comutação, associação e ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 31/109 distribuição de álgebra convencional são também válidas para as variáveis Booleanas. A lei da navegação só é aplicável à lógica de duas variáveis, como é o caso da álgebra de Boole. A lei redundância pode ser facilmente comprovada da seguinte maneira: (a) A + A . B = A Colocando A em evidência (b) A . (A + B) = A A . ( 1+ B) = A A . A + A . B = A A = A [T7 (b)] A + A . B = A A . (1 + B) = A [T7 (b)] A . 1 = A A = A Os teoremas T7 e T8 são regras da álgebra Booleana. T9 pode ser demonstrado como a seguir: A + A . B = A + B Expandindo a Equação (A + A ) . (A + B) = A + B [T3(b)] ( Fatoração) 1 . (A + B) = A + B [T8(a)] A + B = A + B [T7(b)] O teorema T10 é conhecido como teorema de Morgan e é uma das mais importantes ferramentas na manipulação de circuitos lógicos. Simplificação Lógica: Aplicando-se os teoremas e postulados Booleanos podemos simplificar equações lógicas, e com isto minimizar a implementação de circuitos lógicos. Vamos analisar como pode ser feita a simplificação lógica na série de exemplos a seguir: Exemplo 1: Considere que a saída de um circuito lógico deve obedecer à seguinte equação: S = A + A . B + A . B Se este circuito fosse implementado desta forma através de portas lógicas, teríamos o circuito da figura a seguir: ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 32/109 Utilizando-se teoremas de Boole, vamos simplificar a equação dada. A + A . B + A . B = (A + A . B ) + A . B = A + A . B [T6 (a)] = A + B [T9 (a)] A equação resultante pode ser implementada através do circuito da figura a seguir, ou seja, uma simples porta OR. Isto significa que os dois circuitos representam a mesma função lógica. Naturalmente o circuito simplificado é o ideal, visto que executa a mesma função lógica com um número reduzido de portas lógicas. Exemplo 2: Simplifique a expressão A . (A . B + C) Solução: A . (A . B + C) = A . A . B + A . C [T3(a)] = A . B + A . C [T4(b)] = A . (B + C) [T3(a)] 1.4.3 - Manipulações Lógicas Os teoremas de Boole são mais úteis na manipulação de variáveis lógicas do que propriamente na simplificação. Isto porque, um circuito após simplificado pode não estar em sua forma minimizada, e este processo de minimização se torna trabalhoso, em determinados casos, quando feito através de simplificações lógicas. Considere a seguinte equação lógica: S= BA + . Suponha que seja necessário implementá-la através de portas lógicas NAND. Aplicando o teorema de de Morgan na equação acima e negando duplamente o resultado, temos: BA + .= A . B . [ De Morgan ] A + B = B . A [ Dupla negação ] ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 35/109 MAPA DE KARNAUGH: O mapa de Karnaugh é um método gráfico de minimização de equações lógicas. As equações descrevem uma função lógica digital que pode ser quebrada e arranjada de modo que forme um mapa ou ilustração e permita uma simplificação ou redução rápida. O mapa de Karnaugh é uma alternativa ao uso da álgebra booleana para a simplificação de expressões lógicas. De fato, ele é preferido em lugar da álgebra booleana porque torna o processo de redução mais rápido, fácil e eficaz. Essa técnica elimina completamente a necessidade do uso da álgebra de Boole e permite a você transformar diretamente a função lógica da tabela da verdade em um mapa que então a levará à forma simplificada. E com isso nem sempre será necessário escrever antes as equações a partir da tabela. Formação do Mapa de Karnaugh a partir da Tabela-Verdade: Um mapa de Karnaugh (mapa K) é um diagrama que fornece uma área para representar todas as linhas de uma tabela da verdade. A utilidade do mapa K está no fato de que a maneira particular de localizar as áreas torna possível simplificar uma expressão lógica por inspeção visual. • Mapa K para 2 variáveis Seja a tabela- verdade, onde, as linhas na tabela foram classificadas com números decimais, representados à esquerda. Estes números de linhas foram obtidos atribuindo um significado numérico para os O e 1 da tabela da verdade. Assim, a linha AB = 10 é lida como linha 2, pois, o número binário natural 102 é equivalente ao decimal 2. Como sabemos, duas variáveis binária, nos fornece 22(=4) combinações diferentes, que são representadas nas quatro linhas da tabela verdade. Como o mapa K é um diagrama em que, cada linha, deve ser representada por uma área, logo, temos que ter quatro localidades (áreas) diferentes. Assim, o mapa K para duas variáveis, poderá ser do tipo: No canto direito superior de cada área. os números, representam as linhas da tabela da verdade. No mapa K do direito, note especialmente a ordem dos números de identificação. Observe que a ordem é aquela do código binário refletido de Gray. A característica essencial do mapa K é que compartimentos adjacentes horizontal e vertical (mas não na diagonal) correspondem a mintermos, ou maxtermos, que diferem em apenas urna única variável, esta variável aparecendo complementada em um termo e não complementada no outro, é precisamente com esta finalidade que o código Gray é ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 36/109 usado para numerar linhas e colunas de mapas K. Posteriormente veremos o benefício desta característica dos mapas K. Concluindo o exemplo; escolhido o mapa da esquerda, preenche-se o mapa com 1's em suas respectivas áreas conforme tabela-verdade. NOTA: Como faremos uso apenas dos mintermos na formação da equação a partir do mapa K, achamos por bem não indicarmos os zeros, para maior clareza. • Mapa K para 3 variáveis Com três variáveis serão necessários 23=8 áreas, logo: Para o exemplo dado, o mapa preenchido fica: ELETRÔNICA DIGITAL -- CEFET-ES-UNED-Serra 37/109 • Mapa K para 4 variáveis: Seja a tabela-verdade, para 4 variáveis: Com 4 variáveis serão necessários 24=16 áreas, logo: Para o exemplo dado, o mapa preenchido fica:
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