Apostila de lajes

Apostila de lajes

(Parte 3 de 5)

As “linhas de ruptura” dividem a laje em triângulos e trapézios, ou seja, painéis rígidos que giram em torno das rótulas plásticas. A carga última pode ser obtida por meio do princípio dos trabalhos virtuais ou equações de equilíbrio. A verificação aos ELS (estado limite de serviço) deve ser realizada por processo elástico de cálculo.

O cálculo em regime elástico (cargas de serviço) pode ser realizado a partir da equação diferencial fundamental da teoria das placas, denominada equação de Lagrange, admitindo material homogêneo, isótropo, elástico e linear. A equação relaciona o deslocamento elástico, z, da placa com carga uniforme, p, normal à superfície, como segue:

y xz y xz

sendo:

E é módulo de elasticidade do material; h é a espessura da placa; ν é o coeficiente de Poisson do material.

UFPa – ESTRUTURAS DE CONCRETO I – Prof Ronaldson Carneiro - Nov/2006 Os momentos fletores nas direções x e y da placa podem ser determinados por:

zDMxνe ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂⋅−=2222xzy

A solução das equações diferenciais é normalmente obtida por meio de processos numéricos (diferenças finitas, elementos finitos, etc.) ou integração por séries trigonométricas, dos quais resultaram tabelas de uso prático, como as de Czerny, Bares, Marcus, etc.

O chamado Processo de Marcus é um dos mais empregados na determinação dos momentos fletores em lajes retangulares. A obtenção dos momentos fletores é realizada com base na teoria das grelhas ou quinhões de carga, corrigidos por coeficientes obtidos da solução da equação de Lagrange. A teoria das grelhas consiste em dividir a laje em faixas de largura unitária, ortogonais entre si, paralelas aos bordos, onde a carga total da laje, p, é dividida em duas parcelas, px e py, chamadas de quinhões de carga, função da relação entre os vãos e da vinculação da laje, sendo px + py = p. As faixas, admitidas como vigas independentes submetidas aos respectivos quinhões de carga, produzem esforços mais elevados por não considerar a ligação com as outras faixas, daí a necessidade de correção por meio de coeficientes resultantes da equação de Lagrange. O cálculo dos momentos fletores em lajes retangulares, apoiadas em todo seu contorno, pelo Processo de Marcus pode ser realizado por meio de tabelas conforme o roteiro a seguir:

1. Observa-se, pelo esquema estático, o tipo de laje a ser calculada. Há seis situações possíveis:

2. Calcula-se a relação xyll=λ, onde é a direção que contém o maior número de engastes. No caso de igualdade no número de engastes, será o menor vão: xl lx l x lx l x l xlx l x lx l x l x 14

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3. Com a definição do tipo de laje e do valor de λ, obtém-se na tabela de Marcus os coeficientes m e n para cálculo dos momentos positivos e negativos, respectivamente;

Momentos positivosMomentos negativos

4. Os momentos são então obtidos pelas expressões:

Diagrama compatibilizado

XL1 Xc XL2

1LM∆ 2LM∆ Diagrama compatibilizado

XL1 XL2 }XcXc

XL1 Xc XL2 x m plM 2

=x

x n y m plM 2

=y

y n l x Xy

X x

M x My l x Xy

X x

M x My

Observar que o numerador das expressões é sempre o mesmo, , nas duas direções. 2xpl

O cálculo dos momentos fletores indicado nos itens anteriores é realizado como lajes isoladas. No trabalho conjunto, as lajes admitidas contínuas apresentam, normalmente, sobre um mesmo apoio, momentos de engastamento diferentes face ao cálculo isolado. Dessa forma, entre lajes contínuas, o momento negativo deve ter valor único, o que requer a compatibilização (uniformização) dos momentos das lajes engastadas. O momento compatibilizado pode ser obtido por:

c X XeXentremaiordoX )

Como conseqüência da compatibilização, convém corrigir os momentos positivos, aumentando-o ou reduzindo-o, conforme for o caso, de um valor correspondente a metade da diferença entre o momento compatibilizado, Xc, e o momento negativo da laje calculada isoladamente, XL1 ou XL2, ou seja, ∆ML1=(XL1 – Xc)/2 para L1 e ∆ML2=(Xc – XL2)/2 para L2.

UFPa – ESTRUTURAS DE CONCRETO I – Prof Ronaldson Carneiro - Nov/2006 Coeficientes para cálculo dos momentos pelo Processo de Marcus

UFPa – ESTRUTURAS DE CONCRETO I – Prof Ronaldson Carneiro - Nov/2006 5. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO

Calculados os momentos fletores, pode-se realizar o dimensionamento das armaduras de flexão. O dimensionamento é realizado admitindo-se as faixas de laje como vigas de base 1 m e altura h igual à espessura da laje. Em geral, o dimensionamento conduz a seções subarmadas com armadura simples. A armadura dupla deve ser evitada em virtude da altura reduzida o que dificulta a execução. Para o cálculo das armaduras, além da altura e momento fletor, é preciso definir a altura útil

(d = h – d’), a resistência característica à compressão do concreto (fck) e o aço a ser empregado (CA 50 ou CA 60). As armaduras podem ser obtidas por:

ydz Sds= sendo:

kSdMM⋅=4,1, momento solicitante de cálculo em kgf.m; d , a altura útil em metros; fyd , valor de cálculo da resistência ao escoamento em kgf / cm2; zk, coeficiente obtido na Tabela 5.1 a partir do coeficiente obtido por: mdk md fd Mk2= onde cdf é o valor de cálculo da resistência à compressão do concreto em kgf / cm2; d , a altura útil em centímetros e em kgf.m. SdM

Com o objetivo de melhorar a dutilidade nas regiões de apoio ou ligações com outros elementos estruturais, a NBR 6118 exige que se observe os seguintes limites:

UFPa – ESTRUTURAS DE CONCRETO I – Prof Ronaldson Carneiro - Nov/2006 Tabela 5.1 – coeficientes adimensionais para o dimensionamento à flexão*

*do livro “ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO – FUNDAMENTOS DE PROJETO, DIMENSIONAMENTO E VERIFICAÇÃO” – João Carlos Teatini de Souza Clímaco

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O ELU é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na figura mostrada a seguir.

kx = 0,259

kx = 0,585 kx = 0,628 CA 50 CA 60 x d xkεεε+==

Descrição dos domínios de estado limite último:

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Após dimensionamento à flexão, a escolha das armaduras (bitola e espaçamento) deve atender as prescrições da NBR 6118/2003 relacionadas a seguir:

a. Armadura mínima:

Destinada a melhorar o desempenho e dutilidade à flexão, assim como controlar a fissuração, a armadura mínima em lajes deve ser obtida por

hbAwmíns⋅⋅=min,ρ(cm2)

sendo , h em cm e cmbw100=mínρ obtido na Tabela abaixo Tabela 5.2 – Taxa de armadura mínima em lajes

Armaduras negativas

Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção

Armadura positiva de lajes fck (MPa) Armaduras

A armadura secundaria (distribuição) de lajes, colocada na direção paralela ao maior vão, deve ser obtida por prins dists A mcmA

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