Apostila de Cálculo B ou 2

Apostila de Cálculo B ou 2

(Parte 1 de 2)

Material elaborado pelo Prof. Francisco Leal Moreira

Revisado pelo Prof. Francisco Alberto Silveira 2007/1

ERROR! BOOKMARK NOT DEFINEDINTEGRAÇÃO POR PARTES ............................................................. 1
1.1. RESPOSTAS1
2 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS2
2.1. RESPOSTAS2
3. CÁLCULO SOMATÓRIO3
3.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO3
3.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO4
3.3. SOMATÓRIO DUPLO6
3.4. RESPOSTAS7
4. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES8
4.1. INTRODUÇÃO8
4.2. SEQÜÊNCIAS INFINITAS8
4.3. LIMITE DE UMA SEQÜÊNCIA9
4.4. SÉRIES INFINITAS9
4.5. SOMA DE UMA SÉRIE1
4.6. SÉRIES GEOMÉTRICAS1
4.7. PROPRIEDADES DAS SÉRIES12
4.8. TESTE DA DIVERGÊNCIA13
4.9. TESTE DA INTEGRAL13
4.10. SÉRIE-P13
4.1. TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMITE14
4.12. SÉRIES ALTERNADAS14
4.13. TESTE DE LEIBNIZ14
4.14. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONAL15
4.15. TESTE DA RAZÃO15
4.16. SÉRIES DE POTÊNCIAS16
4.17. INTERVALO DE CONVERGÊNCIA16
4.18. FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES DE POTÊNCIAS17
4.19. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS18
4.20. SÉRIES DE TAYLOR18
4.21. RESPOSTAS20

5. OS CONJUNTOS 2

21

ℜE 3

21

5.1. O CONJUNTO 2

21
6. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS2
6.1. INTRODUÇÃO2
6.2. CURVAS DE NÍVEL23
6.3. RESPOSTAS24
7. DERIVADAS PARCIAIS25
7.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS25
7.2. DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM26
7.3. HESSIANO26
7.4. RESPOSTAS27
8.2. CRITÉRIO PARA CARACTERIZAÇÃO DE PONTOS EXTREMANTES29
8.3. MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS30
8.4. RESPOSTAS31

1. INTEGRAÇÃO POR PARTES

Integrando ambos os membros dessa equação , obtemos∫∫−=dx)x('f).x(g)x(g)x(fdx)x('g).x(f Fazendo f(x) = u e g(x) = v, vem:

E1)Calcule :

1)∫dxxex2)∫xdxsenx 3)∫xdxln
4)∫−xdxcos)1x2(5)∫dxxlnx 6)∫dxxlnx2
7)∫dxxsecx28)∫+xdx2cos)1x( 9)∫xdx3lnx
E1) 1) xex – ex + k2) –xcos x + sen x + k 3)xln x – x + k
4) (2x – 1)sen x + 2cos x + k5)k

1.1. RESPOSTAS 9 x4 xln

+−6)k
7) xtg x + ln | cos x | + k8)k
+−

2. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

A integral imprópria de f sobre o intervalo ),a[+∞ é definida por ∫∫∞→ ∞ =

Se o resultado é um número real, dizemos que a integral imprópria converge. Se o limite não existe ou é infinito, dizemos que a integral imprópria diverge.

E1) Determine se cada integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu valor.

dx e

2.1. RESPOSTAS E1) 1) Converge, 1/2 2) Diverge 3) Diverge 4) Converge, 1/3 5) Diverge

Consideremos a seguinte soma indicada : 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 ++ 100

3. CÁLCULO SOMATÓRIO Podemos observar que cada parcela é um número par e portanto pode ser representada pela forma 2n, neste caso, com n variando de 0 a 50. Esta soma pode ser representada abreviadamente por: ∑ n.2 que se lê: “somatório de 2n com n variando de 0 a 50”.

A letra ∑que é o esse maiúsculo grego (sigma) é denominada sinal de somatório e é usada para indicar uma soma de várias parcelas.

Seja {a1, a2, a3,, an} um conjunto de n números reais, o símbolo ∑

ia representa a sua soma, isto é, ∑

ia= a1 + a2 + a3 ++ an.

Em ∑ ia:

a) A letra i é denominada índice do somatório e, em seu lugar, pode figurar qualquer outra letra.

b) Os valores 1 e n, neste caso, são denominados, respectivamente, limites inferior e superior.

E1)Desenvolva os seguintes somatórios:

2)x(2) ∑
j.)1(3) ∑

na!n

1) 1 – 3 + 5 – 7 +2)

E2)Escreva sob a forma de somatório as seguintes expressões: 52446322

1++++3)

E3)Calcule o valor de:

n!n.)1(2) ∑∑

0i i

3.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO na1papa n

=n pi ia tem ( n – p + 1 ) parcelas

E4)Destaque a parcela central e a décima parcela de ∑= − 100

3.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO 1. Somatório de uma constante

Sejam ai = k , com i = p,...,n.

k)1pn(kkkaaaak n1pp n

pi i

pi k).1pn(k

2. Somatório do produto de uma constante por uma variável Sejam kai , com i = p,...,n.

pi in1ppn1pp pi iak)a(kkakakakaLL

pi i pi iakka

3. Somatório de uma soma algébrica
Sejam ai ± bi , com i = p,...,n
∑L

pi i

iba

pi i pi i pi iiba)ba(

4. Separação do último termo

pi i

5. Separação do primeiro termo iapa

pi ia

6Avanço dos limites
+++=+++=+++=∑L

jpi jia jpi ji pi iaa

ixi yi xi2 yi2 xi2yi xiyi
11 2
21 3
32 2
43 4
54 1
60 5

E5) Complete a tabela abaixo: ∑

E6) Com os valores da tabela acima e o uso das propriedades do somatório, calcule:

i)4y3x2(2) ∑∑
ixx3) )yx()yx(i
i)yx(6) ∑=
2i)3y(
1ii)x(8) ∑=

0i 2iy

3.3. SOMATÓRIO DUPLO

Seja a matriz A = x x

As somas dos elementos de cada uma das linhas de A são:

A soma de todos os elementos da matriz A é:

ijmjj2

1j j1x)x(xLL

Observações:

qi n pj pj m qi

ijxx

= =n pj m qi ijx tem (n – p + 1)(m – q + 1) parcelas.

E7) Desenvolva os seguintes somatórios:

)10xy(2) ∑∑
2)yx(3) ∑∑
yx4) ∑∑

ij)xy(

E8) Calcule o valor de:

)5xy(2) ∑∑
)jx(3) ∑∑
2z4) ∑∑
1) 23 + 24 + 25 + 3 + 34 +352)

E9) Escrever sob a forma de somatório as expressões: 544453435242514

E10) Encontre uma fórmula(em função de n) para cada um dos somatórios abaixo:

n2) ∑∑
)ji(3) ∑∑
)in(4) ∑∑
E1) 1) 0 + 2 + 6 + 12 + 202) 2 – 3 + 4 – 5 + ... 3) a0 + a1 + 2a2 + 6a3 + 24a4 + 120a5

3.4. RESPOSTAS

i)1i2.()1(2) ∑=+4
E3) 1) –1002)170
E4) a50 =150 e a10 = -27
E6) 1) –52) 90 3) –25 4) 40 5) 40 6) 151 7) 3 8) 10
E7) 1) –8 – 7 – 6 – 6 – 4 – 2 – 4 – 1 + 22) 16 + 25 + 25 + 36 + 36 + 49 + 49 + 64
3) 2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 + 27 + 81
E8)1) –122) 9x – 27 3) 8z2 4) 100
ji2) ∑∑
E10) 1) )5n2(n2+2) n2 (n + 1) 3)

4. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES

4.1. INTRODUÇÃO

As séries infinitas podem ser usadas para obter valores funcionais. Podemos representar certas funções como séries infinitas cujos termos contêm potências de uma variável x. Substituindo x por um número real c e determinando a soma infinita resultante, obtemos o valor de f(c). Isto é, em essência, o que uma calculadora faz quando calcula valores de funções. A representação por séries infinitas, de sen x , ex e outras expressões nos permite abordar problemas que não podem ser resolvidos por métodos finitos, como por exemplo, a integral .dxex∫−

4.2. SEQÜÊNCIAS INFINITAS Uma seqüência infinita é uma lista de números numa certa ordem.

a1, a2, a3,...,an,

onde:

a1 : 10 termo

a2 : 20 termo

Notações: { a1, a2, a3,...,an,} ou {an}

an: n-ésimo termo ou termo geral Exemplos:

a) Os termos da seqüência n são: ,...

an

Representação gráfica da seqüência : 1

0,9
Observa-se que: se n cresce sem limites, an cresce
aproximando-se de 1, isto é,
a 10,5
Neste caso, dizemos que a seqüência converge para 10,1
=−2n2n são:0, 1,2, 3, 2, 5,...

b)Os termos da seqüência {}∞ Representação gráfica da seqüência :

an
Observa-se que: se n cresce sem limites, an também
cresce sem limites, isto é,2
1
Neste caso, dizemos que a seqüência diverge
0 1 23 4 5 6 7 8 9 10 1

4.3. LIMITE DE UMA SEQÜÊNCIA

Dizemos que a seqüência {an} converge para um número real L, ou que tem por limite L quando

.Lalim n = ∞→ Se n alim ∞→ não existe, dizemos que a seqüência {an} não converge(diverge).

Outros exemplos de seqüências:

a) an =

é o termo geral da seqüência0,,...
Os termos da seqüência de Fibonacci são 1, 1, 2, 3, 5, 8,

b)A seqüência de Fibonacci é definida por a1 = 1, a2 = 1 e an+1 = an + an-1 , para n2≥ Esta seqüência tem importância especial na ciência da computação; o estado de um computador, a cada tique do seu relógio interno, depende do seu estado no tique anterior. c) A seqüência dos números primos: {2,3,5,7,1,13,17,19,23,29,31,...}

Se {an} é uma seqüência infinita, então uma expressãoa...aaan21

= é chamada série numérica infinita de termo geral an.

a)n...321n

Exemplos:

Soma parciais:S1 = 1, S2 = 3, S3 = 6, S4 = 10, S5 = 15, ..., Sn=

Representação gráfica da seqüência {Sn}

S limlim n

n ∞Sn
15
10

Portanto, a seqüência das somas parciais diverge.

Dizemos, neste caso, que a série ∑ ∞

n diverge5
01 2 3 4 5 n
b))1(...1)1(n
Soma parciais:S1 = -1, S2 = 0 , S3 = -1, S4 = 0, S5 = -1, Sn=

imparénse,1 , Sn oscila

Representação gráfica da seqüência {Sn} Sn

Portanto, a seqüência das somas parciais diverge
0n

Dizemos, neste caso, que a série ∑ ∞

n)1( diverge
c)

Soma parciais: S1 = 2

,, Sn=

Representação gráfica da seqüência {Sn} Sn n n

Portanto, a seqüência das somas parciais converge para 10,5

Dizemos, neste caso, que a série ∑ ∞

1 converge para 1.

4.5. SOMA DE UMA SÉRIE

Dizemos que o número real S é a soma da série ∑ ∞

=1n na, ou que a série ∑

=1n naconverge para S, se e somente se SSlimnn= ∞→

(o limite da seqüência das somas parciais S1, S2, S3,...,Sn é S). Neste caso, escrevemos S =∑ ∞

=1n na. Quando n não existe, dizemos que a série ∑

=1n nadiverge. A divergência pode ocorrer porque Sn torna-se infinita ou Sn oscila quando n∞→.

Outros exemplos de séries:

n2 é uma série

e) 1, 2, 6, 24, 120,é uma seqüência infinita e 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + ... =∑

finita de termo geral an = 2n. ∞

=1n !n é uma série infinita de de termo geral an = n!.

f) A série harmônica ∑ ∞

1 cujo termo geral an = n

Uma série geométrica é uma série da forma a + ar + ar2 +ar3 ++arn-1 + ... = ∑

4.6. SÉRIES GEOMÉTRICAS

Da página 16, exercício E8, 1, a n-ésima soma parcial da série geométrica é

Sn= a + ar + ar2 + ar3 ++ arn-1 =

, e assim

não existe, e assim r1 )r1(alim não existe.

Se r = 1, então Sn= na e portanto, n

Slim ∞→ não existe.

Se r = -1, então Sn oscila e portanto, n

Slim ∞→ não existe.

A a série geométrica converge se | r | < 1 e sua soma é S =

A a série geométrica diverge se | r | ≥ 1

1)

E1) Determine se a série é convergente ou divergente, se convergente encontre a soma. 81412

1++++2) ...
1++++3) ∑−

E2) Determine a série infinita que tem a seguinte seqüência de somas parciais:

E3) Expresse a dizima periódica 0,2como uma fração comum.

4.7. PROPRIEDADES DAS SÉRIES

=1n na converge e c é um número real, então ∑

=1n ncatambém converge e ∑

Exemplo: ∑ ∞

5 é convergente. Justifique.

=1n nbconvergem , então ∑±

=1n n)ba(também converge e ∑±

= é convergente. Justifique.

=1n naconverge e ∑

=1n nbdiverge, então ∑±

=1n n)ba( diverge.

= é divergente. Justifique.

Observação: Se ∑ ∞

=1n nadiverge e ∑

=1n nbdiverge, então ∑±

=1n n)ba( pode convergir ou divergir.

=1n naconverge, então 0alimnn= ∞→

Justificativa: Se∑ ∞

=1n na converge, n

Slim

= S. Como Sn= a1 + a2 +an-1 + an , an = Sn – Sn-1.

Logo, n alim

Slim

E4) Verifique se a série converge, em caso afirmativo, determine a sua soma:

13) ∑
(série telescópica)

Para muitas séries é difícil ou praticamente impossível encontrar uma fórmula simples para Sn . Em tais casos, são usados alguns testes que não nos fornecem a soma S da série; dizem-nos apenas se a soma existe. Isto é suficiente na maioria das aplicações porque, sabendo que a soma existe, podemos aproximar o seu valor com um grau arbitrário de precisão, bastando somar um número suficiente de termos da série.

4.8. TESTE DA DIVERGÊNCIA

, então a série infinita ∑

=1n nadiverge.

Observação: O0alimnn= ∞→ não garante a convergência da série.

E5) Prove que as séries seguintes são divergentes:

1n)1.(23) ...

4.9. TESTE DA INTEGRAL

Sejam ∑ ∞

=1n nauma série de termos positivos e f uma função continua, tal que f(n) = an , para todo n.

Então ∑ ∞ naconverge ⇔∫∞ 1 dx)x(fconverge.

E6) Determine se a série dada é convergente ou divergente.

ne5) ∑

nne

Uma série do tipo ∑ ∞

1 é denominada série- p e, converge se p >1 e diverge se p ≤ 1.

Justificativa: Para p = 1, a série-p torna-se∑ ∞

1 , e é chamada série harmônica. Diverge(exercícioE6, 1) x limdxxlim

∞→∫∫

Para p > 1, p1

Logo a série p converge.
Logo a série p diverge.

nlim

limalimLogo, a série p diverge.

Para p = 0, a série-p torna-se ∑ ∞

=1n 1que é uma série divergente.

Portanto, a série-p é convergente somente quando p > 1.

4.1. TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMITE

Sejam ∑ ∞

nb séries de termos positivos. Se ,c b onde c é um número positivo,

então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.

E7) Determine se a série dada é convergente ou divergente.

4.12. SÉRIES ALTERNADAS

Uma série alternada é uma série da forma ∑−∑−

Seja uma série alternada. Se an ≥ an+1e 0alimnn=

4.13. TESTE DE LEIBNIZ ∞→

, então a série converge.

E8) Determine se as séries alternadas convergem ou divergem.

1n)1(2) ∑

O conceito a seguir permite que utilizemos testes para séries de termos positivos para determinar a convergência de outros tipos de séries.

4.14. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONAL

n|a|=|a1| + |a2| + |a3| +...+|an| +converge, dizemos que uma série ∑

=1n naé absolutamente convergente.

=1n naconverge e |a| diverge, dizemos que∑ ∞

=1n na converge condicionalmente

E9) Determine se a série dada é absolutamente convergente.

n3

Observações:

naé uma série de termos positivos, então |an | = an , portanto a convergência absoluta coincide

=1n com a convergência.

b) Se uma série infinita∑ ∞

=1n naé absolutamente convergente, então ∑

=1n naé convergente.

4.15. TESTE DA RAZÃO

Seja ∑ ∞

=1n nauma série infinita com an≠0, para todo n.

a) Se n n a

=1n na converge absolutamente.

b) Se n n a n a

=1n nadiverge.

c) Se n n a

∞→ = 1, então nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada do teste.

E10) Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

)1(4) ∑

n n

)1(7) ∑

Observação: O teste da razão é mais adequado quando an contém potências e produtos e não funciona em série-p.

4.16. SÉRIES DE POTÊNCIAS

Série de potências de x é uma série infinita da forma∑ ∞

nnxb= b0 + b1x + b2x2 + b3x3 ++ bnxn + ...

Uma série infinita da forma ∑ ∞

n)cx(b= b0 + b1(x-c) + b2(x-c)2 + b3(x-c)3 ++ bn(x-c)n + ... é uma

série de potências centrada em c.

Quando em uma série de potências a variável for substituída por um número, a série resultante é numérica e pode convergir ou não.

4.17. INTERVALO DE CONVERGÊNCIA

Para cada série de potências ∑ ∞ n)cx(b, exatamente uma das seguintes afirmações é verdadeira.

a) A série converge somente quando x = cc
b) A série converge absolutamente para todo x real
é o intervalo de convergência da sériec-R c c+R
??

c) Existe um número real positivo R, tal que a série é absolutamente convergente se | x – c | < R e é divergente se | x – c | > R. Neste caso, R é chamado raio de convergência da série e (c – R , c+ R)

Procedimento para encontrar o intervalo de convergência de uma série de potências. 1. Aplicar o teste da razão. 2. Resolver a inequação resultante. 3. Analisar os extremos individualmente.

E11) Determine os intervalos de convergência das séries:

(x-2)n3) ∑
nnx6) ∑+
n)1x(!n7) ∑
nx8) ∑

4.18. FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES DE POTÊNCIAS

Uma série de potências de x pode ser encarada como uma função de variável x, f(x) =∑ ∞

onde o domínio de f é o conjunto dos valores de x que tornam a série convergente.

Cálculos numéricos utilizando série de potências são a base para a construção de calculadoras. Cálculos algébricos, diferenciação e integração podem ser realizados com o uso de séries. O mesmo acontece com as funções trigonométricas, trigonométricas inversas, logarítmicas e hiperbólicas.

E12) Ache uma função f representada pela série de potências 1 + x + x2 + x3 ++ xn + ...

E13) Considere o exercício E12 e calcule o valor aproximado de f(1/10) a) usando os dois primeiros termos da série. b) usando os três primeiros termos da série. c) usando os quatro primeiros termos da série. d) usando os cinco primeiros termos da série.

E14) Calcule o valor de f(1/10) usando a lei. E15) Comparando os valores encontrados em E13 e E14, o que se pode concluir ? E16) Considere o exercício E12 e calcule o valor aproximado de f(2) a) usando os dois primeiros termos da série. b) usando os três primeiros termos da série. c) usando os quatro primeiros termos da série.

E17) Calcule o valor de f(2) usando a lei. E18) Comparando os valores encontrados em E16 e E17, o que se pode concluir ? E19) Considere o exercício E12 e obtenha uma representação em série de potências para

3) g3(x) =

4.19. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS n)cx(bestá definida no intervalo (c – R , c + R) para algum R > 0, então:

a)f é derivável e f ’(x) =∑ ∞

b)f é integrável e∫x 0

)cx(b , para todo x ∈(c – R , c + R).

=0n nx, determine:

1) f ’(x) e a série que representa f ’(x) 2)∫dx)x(f e a série que representa ∫dx)x(f

2/10dx)x(f e a série que representa ∫ 2/10dx)x(f

4.20. SÉRIES DE TAYLOR

Se f é uma função que admite uma representação em séries de potências f(x) = ∑ ∞ n)cx(b, quem

são os bn ?
f(x) = b0 + b1(x-c) + b2(x-c)2 + b3(x-c)3 + b4(x-c)4 ++ bn(x-c)n + ...⇒f(c) = b0
f ’(x) = b1 + 2b2(x-c) + 3b3(x-c)2 + 4b4(x-c)3 ++ nbn(x-c)n-1 + ... ⇒f ’(c) = b1 = 1!b1 e b1 =
f ’’(x) = 2b2 + 3.2b3(x-c) + 4.3b4(x-c)2 ++ n(n-1)bn(x-c)n-2 + ... ⇒f ’’(c) = 2b2 = 2!b2 e b2 =
f ’’’(x) = 3.2b3 + 4.3.2b4(x-c) ++ n(n-1)(n-2)bn(x-c)n-3 + ... ⇒f ’’’(c) = 3.2b3= 3!b3 e b3 =
f (IV)(x) = 4.3.2b4 ++ n(n-1)(n-2)(n-3)bn(x-c)n-4 + ... ⇒f (IV)(c) = 4.3.2b4 = 4!b4 e b4 =
MM M

Logo b0 = f(c) e bn = !n

para n ≥1 e portantof(x) = f(c) + ∑−

)c(f que é denominada série de Taylor para f de centro em c, para todo x pertencente ao intervalo de convergência.

Se c = 0, a série de Taylor assume a forma

++n
+

)0(f que é denominada série de Maclaurin para f.

1) f(x) = ln x2) f(x) = ex 3) f(x) =

E21) Encontre a série de Taylor de centro em c = 1 para: x

E22) No exercício anterior, para que valores de x a série encontrada representa a função f ?

1) f(x) = ln(1+ x)2) f(x) = ex 3) f(x) = xe 4) f(x) = e-2x
5) f(x) = sen x6) f(x) = sen 2x 7) f(x) = cos x 8) f(x) =

E23) Encontre a série de Taylor de centro em c = 0 para:

E1) 1) Conv. S = 22) Div. 3) Div.
22) L++++
4) 2 + 2 + 4 + 8 + 16 +
E4) 1) Conv. S = 12) Div. 3) Conv. S = 1
E6) 1) Div2) Conv. 3)Div. 4) Conv. 5) Div. 6) Conv.
E7) 1) Conv2) Conv. 3)Div. 4) Conv. 5) Conv. 6) Conv.
E8) 1) Div2) Conv. 3)Div. 4) Conv. 5) Conv.
E9) 1) Conv. Abs2) Conv. Cond. 3) Conv. Abs. 4) Div. 5) Conv. Cond. 6) Conv. Cond.
E10) 1) Conv2) Conv. 3) Div. 4) Div. 5) Conv. Cond. 6) Conv. Abs.
7) Div8) Div. E11) 1) [-1,1) 2) (-1,5) 3)ℜ 4) ℜ 5) (-1,1) 6) {-1}
7) (-1,1)8) [-1,1) E12) f(x) =
, (-1,1)E13) a) 1,1 b) 1,1 c) 1,11 d) 1,11
E14) 1,1E16) a) 3 b) 7 c) 15 E17) –1 E19) 1)n
−, | x | < 13) n2
, | x | < 1E20) 1) f ’(x) =
,L++++
E22) 1) (0,2]2)ℜ 3) (0,2)

5. OS CONJUNTOS 2

ℜE 3 ℜ

5.1. O CONJUNTO 2 ℜ

2ℜ= ℜℜx = {}ℜ∈y,x/)y,x(
y1P(x1,y1)
0x1 x

P(x,y) ∈Oy⇔x = 0 E1) Represente graficamente os conjuntos:

1) {(x,y)2ℜ∈/ y = 2x}2) {(x,y)2ℜ∈/ y2x≥} 3) {(x,y)2ℜ∈/ x < 2}
4) {(x,y)2ℜ∈/ y < 3 - x}5) {(x,y)2ℜ∈/ 2y1<≤} 6) {(x,y)2ℜ∈/ x2 + y2 ≥ 1}
7) {(x,y)2ℜ∈/ y < ex }

5.2. O CONJUNTO 3 ℜ

z
yOzP(x,y,z) ∈Ox⇔y = z = 0
P(x1,y1,z1)P(x,y,z) ∈Oz⇔x = y = 0
xOzO y1 y P(x,y,z) ∈xOy⇔ z = 0
x1P(x,y,z) ∈xOz⇔ y = 0
xOyP(x,y,z) ∈yOz⇔ x = 0
x

E2) Represente graficamente os pontos:

1) (0,2,0)2) (-2,0,0) 3) (0,0,3) 4) (2,3,0) 5)(-1,0,2) 6) (0,-4,2)
7) (2,3,4)8) (3,-2,-1) 9) (-1,-3,2) 10) (3,3,3) 1) (2,4,-3) 12) (-1,-2,-3)
1) z = 02) z = 4 3) y = 0 4) y = -2 5) x = 0 6) x = 3 7) 2x –3y + 4z – 12 =0

E3) Represente graficamente os planos(equação de um plano do 3ℜ: ax + by + cz + d = 0): 8) x – y + 2z – 4 = 0 9) 3x + 2y – 6 = 0 10) x + z – 2 = 0 1 ) 4y + 2z – 8 = 0

6. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

6.1. INTRODUÇÃO

Quando dizemos que a medida do volume de um paralelepípedo retângulo depende das medidas das suas dimensões, queremos dizer que: conhecidas as medidas das arestas a, b e c, podemos determinar o seu volume V, através da expressão V = abc.

A equação V = abc define V como função de a, b e c, pois dados os valores das variáveis independentes a, b e c, existe em correspondência um único valor para a variável dependente V. Uma relação deste tipo é denominada de função de três variáveis.

Uma função de n variáveis é uma relação que a cada n-upla ordenada de números reais (x1,x2,...,xn) faz corresponder um único número real.

a) f(1,2)b) f(0,0) c) f(-3,-4) d) Dom f e) Im f

E1) Seja a função dada f(x,y) = x2 + y2 (duas variáveis). Encontre:

O gráfico de f é uma superfície do 3ℜ(parabolóide abaixo).

Observação: As funções de três ou mais variáveis não
podem ser representadas graficamente
0y

z x

1) f(0,0,0)2) f(-1,-1,1) 3) f(1,2,3) 4) Dom f 5) Im f

E2) Seja a função dada por f(x,y,z) =222zyx++. Determine:

E3) Seja a função dada por f(x,y) = xy

− . Determine:

1) f(1,0)2) f(3,-7) 3) f(1,-1) 4) Dom f 5) a representação gráfica do Dom f

. Determine:

1) f(1,0) 2) f(3,-7) 3) f(1,-1) 4) Dom f 5) a representação gráfica do Dom f

1) f(x,y)=1yx−+2)

E5) Represente graficamente os domínios das seguintes funções : 1yx2

=3) f(x,y)= ln (x2- y + 1) 4) f(x,y) =
Ck ={}k)y,x(f/)y,x(2=ℜ∈

6.2. CURVAS DE NÍVEL

Seja a função dada por z= x2 + y2 . As curvas de nível para z = 0 , z =1 , z = 2 e z = 4 são :

Mapa de curvas de nívely
2z =4
2z = 2
1Observação: As curvas de nível nunca

z=2 ⇒x2 + y2 = 2 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2 ) z=4 ⇒x2 + y2 = 4 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2 ) z = 1 se interceptam.

z=0
-2 -2 -10 1 2 2 x
-2
-2

Gráfico da Função (parabolóide) z y x

1) z = y - x2 para z = 0, z =1 e z =2

E6) Esboce as curvas de nível das funções: 2) z = y – x para z = 0, z =2 e z =4 3) z = y – ln x para z = 0, z =1 e z =2

1) Faça as curvas de nível para z = 0, z = 1 e z = 2

E7) Seja a função dada por z =22yx4−− 2) Represente graficamente a função

E1) 1) 52) 0 3) 25 4) 2ℜ 5) ),0[+∞
E2) 1) 02) 3 3) 14 4) 3ℜ 5) ),0[+∞
E3) 1) –32) –

6.3. RESPOSTAS 10

4)}xy/)y,x{(2≠ℜ∈
E4) 1) 12)
4)}xy/)y,x{(2<ℜ∈
E5) 1) }1xy/)y,x{(2+−≥ℜ∈2) }1x2y/)y,x{(2+≠ℜ∈

7. DERIVADAS PARCIAIS

Se y = f(x) é uma função de uma variável real, sua derivada f ’(x) = x

→∆ pode ser interpretada como a taxa de variação de y em relação a x ou como a função declividade da reta tangente ao gráfico de f.

Se z = f(x,y) é uma função de duas variáveis, podemos falar em duas derivadas, por isso, denominadas derivadas parciais. Uma derivada parcial é obtida quando x varia e y permanece constante e, a outra, quando y varia e x permanece constante.

As derivadas parciais de f em relação a x e a y são denotadas por fx ou xf∂ e fy ou yf∂

∂ e são definidas

por fx(x,y) = x

efy(x,y) =

Nota: ∂é uma variante da letra grega δ(delta minúsculo).

E1) Determine as derivadas parciais xz∂

∂ das funções:

1) z = 4x2y – 5x3y2 + 2x – y2) z = yx 3) z = ln(xy2) 4) z = 1yx22−+

xy2

7) z = (2x – y)exy8) z = 2x2ysen 2y
9) z = 2xcos (1-xy)10) z =

1 − + ln exy

7.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS

Considere a superfície abaixo, gráfico de uma função z = f(x,y).

zt
z = f(x,y)
P
y1= k
0y

Para y = k (constante) a função f se reduz a uma função de uma variável x, z = f(x,k). x1

xz= f(x,k)

Portanto, a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x1,y1) representa a declividade da superfície no ponto (x1,y1) na direção paralela ao eixo x, isto é xf∂

Analogamente , a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x1,y1) representa a declividade da superfície no ponto (x1,y1) na direção paralela ao eixo y, isto é yf∂

E2) Encontrar a declividade da reta tangente à curva resultante da intersecção de: 1) z = x2 + y2 com o plano x = 1, no ponto ( 1,2,5) 2) z = x2 + y2 com o plano y = 2, no ponto (2,2,8)

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