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Preliminares: Conjuntos e Fun»c~oes M¶ODULO 1 - AULA 1

Aula 1 { Preliminares: Conjuntos e Fun»c~oes

Metas da aula: Fazer uma breve recorda»c~ao dos fatos b¶asicos sobre conjuntos e fun»c~oes. Apresentar uma introdu»c~ao µa pr¶atica de demonstra»c~ao de proposi»c~oes matem¶aticas, ponto central em todo o curso.

Objetivos: Ao flnal desta aula, voce dever¶a ser capaz de:

• Saber o signiflcado matem¶atico e o uso dos principais s¶‡mbolos e das opera»c~oes da teoria elementar dos conjuntos;

† Saber os conceitos b¶asicos relacionados µa no»c~ao de fun»c~ao entre dois conjuntos bem como as opera»c~oes de composi»c~ao, invers~ao e restri»c~ao;

† Demonstrar proposi»c~oes simples envolvendo conjuntos e fun»c~oes.

Conjuntos

Admitimos como familiares o conceito (intuitivo) de conjunto, signiflcando cole»c~ao, fam¶‡lia etc., assim como as opera»c~oes elementares entre conjuntos, nomeadamente, a uni~ao A[B, a interse»c~ao A\B e a diferen»ca, AnB, entre dois conjuntos quaisquer A e B. O conjunto AnB tamb¶em ¶e chamado o complementar de B em rela»c~ao a A. Lembremos as nota»c~oes usuais:

x 2 A; signiflca que x ¶e um elemento ou membro de A; e

A ‰ B; signiflca que todo elemento do conjunto A ¶e tamb¶em um elemento do conjunto B, ou seja, que o conjunto A ¶e um subconjunto do conjunto B. A nega»c~ao de x 2 A se denota por x =2 A, que se le x n~ao pertence a A ou x n~ao ¶e um elemento (ou membro) de A. Outrossim, ¶e importante ressaltar o signiflcado da igualdade entre dois conjuntos:

isto ¶e, A e B possuem exatamente os mesmos elementos.

Assim, para provarmos que o conjunto A est¶a contido no conjunto B, isto ¶e, A ‰ B, devemos provar que para todo x, se x 2 A, ent~ao x 2 B. Por outro lado, para provarmos que A = B, devemos provar que para todo x, se

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AN¶ALISE REAL Preliminares: Conjuntos e Fun»c~oes x ∈ A, ent~ao x 2 B e, reciprocamente, se x 2 B ent~ao x 2 A, ou seja, x 2 A se e somente se x 2 B.

Ao longo do curso de An¶alise Real estaremos sempre lidando com conjuntos que s~ao subconjuntos do conjunto dos n¶umeros reais, R, cujas propriedades fundamentais ser~ao estudadas de modo sistem¶atico mais adiante. Dentre esses subconjuntos de R, cabe destacar o conjunto N dos n¶umeros naturais, o conjunto Z dos n¶umeros inteiros e o conjunto Q dos n¶umeros racionais. De modo um tanto informal, podemos descrever esses conjuntos assim:

Aqui usamos a nota»c~ao := que deve ser lida ‘igual, por deflni»c~ao’. Temos, portanto, N ‰ Z ‰ Q ‰ R:

Denotamos por ; o conjunto vazio, isto ¶e, o conjunto que n~ao possui nenhum elemento. Temos que, para todo conjunto A, ; ‰ A.

No que segue, usaremos a palavra proposi»c~ao no sentido de senten»ca matem¶atica, que pode ser expressa atrav¶es de uma f¶ormula matem¶atica ou uma declara»c~ao testual, ou ainda uma combina»c~ao dessas duas formas, e que, em geral, poder¶a depender de uma ou mais vari¶aveis. Como exemplos citamos: x 2 A ou x 2 B; x > 2 e x < 3; x 2 N e x = 2k para algum k 2 N etc. Usaremos a letra P para denotar uma proposi»c~ao qualquer e, quando quisermos enfatizar o fato dessa proposi»c~ao depender de uma vari¶avel x, denotaremos P[x].

Grosso modo, as regras para a forma»c~ao de conjuntos s~ao as seguintes:

1. A descri»c~ao expl¶‡cita dos membros do conjunto na forma de uma lista delimitada µa esquerda e µa direita pelas chaves f e g, respectivamente. Por exemplo, fa;b;c;dg, f1;2;3g etc. Nem sempre ¶e poss¶‡vel descrever um conjunto listando-se seus elementos e por isso frequentemente utilizamos os modos alternativos a seguir.

2. A forma»c~ao de novos conjuntos a partir de conjuntos j¶a previamente deflnidos. Em geral, para essa constru»c~ao usamos uma express~ao da forma fx : Pg, que se le \o conjunto dos x tais que P", onde P ¶e uma

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Preliminares: Conjuntos e Fun»c~oes M¶ODULO 1 - AULA 1 proposi»c~ao envolvendo x e os conjuntos previamente deflnidos. Por exemplo, se A e B s~ao conjuntos, ent~ao podemos deflnir os seguintes conjuntos:

o membro µa direita le-se: conjunto dos x tal que x pertence a A ou x pertence a B;

(b) o membro µa direita le-se: conjunto dos x tal que x pertence a A e x pertence a B;

(c) o membro µa direita le-se: conjunto dos x tal que x pertence a A e x n~ao pertence a B;

(d) o membro µa esquerda ¶e chamado o produto cartesiano do conjunto A pelo conjunto B e o membro µa direita le-se: conjunto dos pares ordenados (a;b) com a pertencente a A, e b pertencente a B. A rigor, para mantermos o padr~ao de descri»c~ao estabelecido acima, fx : Pg, dever¶‡amos escrever A £ B = fx : x = (a;b); com a 2 A e b 2 Bg. A primeira forma, mais concisa, deve ser entendida como uma abreviatura desta ¶ultima.

(e) Dado o conjunto A, podemos deflnir o conjunto P(A), cujos elementos s~ao exatamente todos os subconjuntos de A, incluindo ; e o pr¶oprio A. Assim, temos

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(f) Um caso particular importante dessa forma de se obter novos conjuntos a partir de conjuntos j¶a previamente deflnidos ¶e a descri»c~ao de um novo conjunto como subconjunto de um conjunto conhecido, atrav¶es de uma proposi»c~ao ou f¶ormula P que deve ser satisfeita por todos os elementos do novo conjunto. Por exemplo, o conjunto P dos n¶umeros naturais pares pode ser deflnido por

A forma geral para a deflni»c~ao de um subconjunto A de um conjunto previamente deflnido B por meio de uma proposi»c~ao P ¶e: fx : x 2 A e x satisfaz Pg. Em geral, usa-se de fato a nota»c~ao mais concisa fx 2 A : x satisfaz Pg ou fx 2 A : P[x]g. No caso dos n¶umeros naturais pares, P ¶e \existe k 2 N tal que x = 2k". Assim, na forma concisa, temos

3. Ainda uma outra forma, muito particular, de deflnir conjuntos, ¶e atrav¶es da introdu»c~ao de um axioma que estabele»ca a existencia de um conjunto satifazendo determinadas propriedades bem especiflcadas. Por exemplo, o conjunto dos n¶umeros naturais N pode ser deflnido dessa forma, como veremos na pr¶oxima aula. O conjunto R dos n¶umeros reais tamb¶em pode ser deflnido seguindo esse m¶etodo, chamado m¶etodo axiom¶atico, como veremos mais adiante. ¶E claro que o recurso a esse procedimento envolve uma discuss~ao bastante delicada, de car¶ater l¶ogico, sobre a consistencia do axioma introduzido com os demais previamente admitidos na teoria; ¶e, portanto, utilizado apenas em casos excepcionais e somente por especialistas muito experientes. Os dois exemplos de (poss¶‡vel) ado»c~ao desse procedimento que acabamos de dar, para a constru»c~ao de N e R, pertencem µa Hist¶oria da Matem¶atica.

O curso de An¶alise Real constitui uma ¶otima oportunidade de se aprender, atrav¶es de leitura e muitos exerc¶‡cios, a entender e, principalmente, a produzir as chamadas demonstra»c~oes ou provas matem¶aticas. A teoria rigorosa

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Preliminares: Conjuntos e Fun»c~oes M¶ODULO 1 - AULA 1 do que venha a ser uma autentica prova matem¶atica pertence ao dom¶‡nio da L¶ogica, a qual escapa dos objetivos do presente curso.

No entanto, n~ao ¶e em absoluto necess¶ario um profundo conhecimento de L¶ogica Matem¶atica para ser capaz de entender e de produzir provas matem¶aticas. Para tanto, uma introdu»c~ao elementar como a oferecida pelo curso de Matem¶atica Discreta ¶e mais do que suflciente.

Como um primeiro exemplo de demonstra»c~ao, vamos agora enunciar e provar as famosas regras de De Morgan da teoria elementar dos conjuntos.

Exemplo 1.1 (Identidades de De Morgan) Sejam A, B e C conjuntos. Ent~ao valem as igualdades

Prova: Provemos a primeira igualdade. Para tanto, temos de mostrar que A n (B [ C) e (A n B) \ (A n C) possuem os mesmos elementos, ou seja, que para um x qualquer, se x 2 A n (B [ C), ent~ao x 2 (A n B) \ (A n C) e, reciprocamente, se x 2 (A n B) \ (A n C), ent~ao x 2 A n (B [ C).

Em outras palavras, temos de mostrar que, para qualquer que seja x, vale que x 2 A n (B [ C) se, e somente se, x 2 (A n B) \ (A n C).

Com efeito, suponhamos que x 2 An(B[C). Ent~ao, x 2 A e x =2 B[C (por que?). Assim, vale x 2 A e vale x =2 B e x =2 C (por que?).

Portanto, vale x 2 A e x =2 B e vale x 2 A e x =2 C, ou seja, x 2 A n B e x 2 A n C.

Por conseguinte, x 2 (AnB)\(AnC) (por que?), e assim flca provada a implica»c~ao (lembremos que \p ) q" se le \se p, ent~ao q")

Para provar a rec¶‡proca, suponhamos que x 2 (A n B) \ (A n C). Ent~ao, x 2 (A n B) e x 2 (A n C). Segue da¶‡ que vale x 2 A e x =2 B e vale x 2 A e x =2 C, isto ¶e, vale x 2 A e n~ao vale x 2 B ou x 2 C (por que?).

Portanto, vale x 2 A e n~ao vale x 2 B [ C, isto ¶e, vale x 2 A e x =2 B [C. Segue que x 2 An(B [C) e flca provada a implica»c~ao rec¶‡proca

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e com isto flca provada a primeira igualdade.

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