Baixe Sistemas de Equações Lineares: Teoria e Resolução e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! Professor Antonio MATEMÁTICA Sistemas de Equações Lineares. Equação Linear Equação linear é toda equação da forma ax + by = c, onde a e b são os coeficientes e c é o temo independente. Toda equação linear ax + by = c, com a ≠ 0 ou b ≠ 0, admite infinitas soluções. Sistema Linear O sistema de duas equações lineares simultâneas nas incógnitas x e y é um conjunto de duas equações lineares simultâneas em x e y: Considerando o par (x ; y): (α; β) é solução de (S) ↔ (S) pode ser possível e determinado (solução única), possível e indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (não existem soluções). Ex. admite para solução apenas o par (3; 4), logo S é possível e determinado. dividindo os membros da segunda equação por -3, obtemos par ordenado ( α; α-1), R, é solução de (S). Logo, S é possível e indeterminado.F 02 0com α não pode ter valores diferentes de 3 e 10. Portanto S é impossível. Resolução de Sistemas Normais Regra de Cramer Todo sistema normal tem uma única solução dada por: Xi = Dxi /D em que i pertence a { 1, 2, 3, ..., n} , D = detA é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e D xi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. Ex. Solução: M = n = 3 Equivalentes e Escalonados Sistemas Equivalentes São equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. Trocando as equações de posição, obtemos outro sistema equivalente. Ex. Multiplicando uma ou mais equações por um número k, obtemos um sistema equivalente ao anterior. Ex. Adicionando o produto de outra equação a uma das equações desse mesmo sistema por um determinado número, obtemos um sistema equivalente ao anterior. Ex. e substituindo a equação II pela soma do produto de I por -1 com II obtemos: Sistemas Escalonados Para escalonar um sistema fixamos como primeira equação uma das que possuem o coeficiente da primeira incógnita diferente de zero. Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da primeira incógnita das demais equações. Anulamos todos os coeficientes da segunda incógnita a partir da terceira equação, repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. Ex. Trocamos de posição a primeira equação com a segunda equação, de modo que o primeiro coeficiente de x seja igual a 1: anulamos todos os coeficientes da primeira incógnita a partir da segunda equação, aplicado as propriedades dos sistemas equivalentes. anulamos os coeficientes da segunda incógnita a partir da terceira equação. O sistema está escalonado. Como m = n e a última equação -2z = -6 tem solução única, o sistema é possível e determinado. OUTRA DEFINIÇÃO DE SISTEMA SISTEMAS LINEARES Um sistema linear é formado por um conjunto de m equações lineares, equações estas que se caracterizam por apresentarem todas as incógnitas com potência de grau um. Exemplos : a ) b ) c ) d ) MATRIZES ASSOCIADAS 3 ) Idem para ( 0, -2, 5 ) no sistema . 4 ) Considere o sistema {x - y = 1. a ) Apresente algumas soluções do sistema. b ) Classifique o sistema. 5 ) Construa a matriz incompleta e a matriz completa de : a ) b ) 6 ) Escreva o sistema associado às equações matriciais : a ) b) c ) REGRA DE CRAMER Existem alguns métodos para classificarmos e/ou resolvermos um sistema linear. Vamos recordar a Regra ( ou método ) de Cramer. Tal regra consiste em separar o sistema em matrizes e calcular seus determinantes. Então, a partir de divisões entre estes determinantes, encontramos a solução do sistema. Vamos a um exemplo prático... Resolva o sistema , usando “Cramer”. Resolução : Calculando o determinante principal “D” ... D = D = -36 0, portanto S.P.D. Calculando os determinantes das incógnitas ... Dx = Dx = -36. Dy = Dy = 72. Dz = Dz = -72. Logo x = x = 1 y = y = -2 z = z = 2 Portanto ... S = { ( 1, -2, 2 ) } Exercícios : 1 ) Resolva os sistemas lineares, usando “Cramer” : a ) b ) c ) S = { ( 4, 2 ) } SISTEMA LINEAR OSSÍVEL IMPOSSÍVEL DETERMINADO INDETERMINADO Possui solução Solução única Infinitas soluções Não possui solução
