Limite e Continuidade - UNB

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Universidade de Brasılia Departamento de Matematica

Calculo 1 Lista de Exercıcios – Semana 3

1) Com relacao as propriedades do limite de sequencias, responda os seguintes ıtens:

a) Suponha que an → a e que bn → b. Se an < bn, para todo n ∈ N, pode acontecer que a = b? Justifique sua resposta.

b) Suponha que an → a, onde a > 0 e que

Calcule o limite a e justifique sua resposta. c) Determine o limite da sequencia (an), onde

2) Vamos calcular a soma dos termos da progressao geometrica infinita com razao r = 1/2. A soma dos n primieros termos e dada por

Utilizando essas duas equacoes, conclua que e entao mostre que

b) Mostre por inducao que n < 2n e conclua que

n , para todo n ∈ N.

Utilizando o Teorema do Sanduıche, verifique que

c) Utilizando os ıtens anteriores e as propriedade do limite de sequencias, calcule o lim- ite da sequencia (sn). Por definicao, este limite e a soma dos termos da progressao geometrica infinita com razao r = 1/2.

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3) [1.o/2007] Em relacao aos conceitos de limite de sequencias e de funcao de aproximacao, considere a funcao

ε e responda os ıtens abaixo.

a) Preencha a tabela abaixo, calculando o valor de n(ε) para tres valores de margens de

b) Pela definicao de n(ε), caso n > n(ε), temos que 1 n < ε? Justifique sua resposta. Neste caso, e verdade que

Isso mostra que n(ε) e tambem uma funcao tempo de espera para 1n → 0? c) Utilizando o item anterior, caso n > n(ε), e verdade que

Isso mostra que n(ε) e tambem uma funcao tempo de espera para 2 + 1n → 2?

4) Julgue os ıtens abaixo e justifique suas respostas.

a) A seguinte funcao

pode ser utilizada como tempo de espera de qual das seguintes sequencias

Sugestao: verifique o que acontece quando ε = 1/100.

b) A seguinte funcao

ε2 nao pode ser utilizada como tempo de espera de qual das seguintes sequencias

Sugestao: verifique o que acontece quando ε = 1/10. c) Qual das seguintes funcoes pode ser utilizada como tempo de espera de 1/√n → 0

Sugestao: verifique o que acontece quando ε = 1/100.

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