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Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Eletromagnetismo I - Notas de Aula

Curitiba, Pr 2007

Capítulo 1

, Algebra Vetorial

1.1 Introdução o eletromagnetismopodeserconsideradocomooestudodainteraçãoentrecargaselétricasemrepousoeemmovimento.Envolveaanálise,asíntese,ainterpretaçãofísicaeaplicaçãodecamposelétricosemagnéticos.

o estudodosfenômenoseletromagnéticospodeserresumidoporquatroeqauções,conhecidascomoequaçõesde Maxwell1:

sendo'\l umoperadorvetorialdiferencialconhecidocomonomedenabla.Umarápidaolhadanasequações(1.1)e

(1.2)mostraquedeveremosoperarcomgrandezasvetoriaisnoestudodoeletromagnetismo.Ostrêscapítulosiniciais apresentamalgunsconceitosfundamentaisdeálgebraecálculovetorial.Paraseestudareletromagnetismoéessencial conheceresaberempregaroperadores,realizarintegraçõesvetoriaisetrabalharcomsistemasdecoordenadas.Sem estesconhecimentosépraticamenteimpossívelentendereaplicarasteoriaseletromagnéticas.

1.2 Escalares,Vetores e Campos

Escalar é umagrandezacompletamentedeterminadaporsuamagnitude.Exemplosde grandezasescalaressão massa,tempo,cargaelétrica,potencialelétricoentretantasoutras.

Umasimplesextensãoda idéiadeumescalaré umcampo escalar,istoé, umafunçãodaposiçãoqueestá completamenteespecificadaporsuamagnitudeemtodosospontosdoespaço.

Vetor2é umagrandezaqueécompletamentedeterminadaporseumódulo,direçãoesentido.Comoexemplo, pode-secitara velocidade,força,intensidadedecampoelétrico.

A generalizaçãoparaumcampo vetorial forneceumafunçãodaposiçãoqueestácompletamenteespecificada porsuamagnitude,direçãoesentidoemtodosospontosdoespaço.

Portanto,campo é umafunçãoqueespecificaumagrandezaparticularem qualquerpontode umaregião. Exemplosdecamposescalaressão:adistribuiçãodetemperaturaemumprédio,aintensidadedesomemumteatro,

1Estassãoasequaçõesde Maxwell escritasna formadiferencial.Há tambéma formaintegraldestasequações,queserávista na seqüênciadestecurso.

2Umaoutracategoriadegrandezasfísicasé denominadadetensor, do qualosescalarese osvetoressãoapenascasosparticulares.

1.3 VETaREs UNITÁRIOS UNC FÍSICA IV - PROFESSORAGISELLE MUNHOZ ALVES 2 o potencialelétricoemumaregiãodoespaçoeo índicederefraçãoemummeioestratificado.A forçagravitacional sobreumcorponoespaçoe avelocidadedasgotasdechuvanaatmosferasãoexemplosdecamposvetoriais.Um campovetorialéditoconstanteouuniforme senãodependerdasvariáveisdeespaçox, y ez.

1.3 Vetores Unitários

Umvetarà possuimagnitude(módulo)etambémorientaçãoespacial(direçãoesentido).A magnitudedeà éum escalarescritocomoA ousimplesmenteIÃI.

Um vetor unitário âA aolongodeà é definidocomoumvetarcujamagnitudeé a unidade(istoé, 1)e a orientaçãoéamesmadovetarÃ,ouseja3:

A principalfunçãodeumvetorunitário(versar)éestabelecerumadireçãoe sentido,umavezqueseumóduloé unitário.Sobestalógica,épossívelescreverovetorà daseguinteforma:

A equação(1.4)estáafirmandoqueà possuimóduloA eestáorientadoparaleloaoversarâA. ParaumvetarBtal que pode-sedizerqueseumóduloéametadedeà esuaorientaçãoéantiparalelaaÃ,ousejapossuisentidoopostoaÃ. UmvetarÃ, emcoordenadascartesianas(ouretangulares),podeserrepresentadocomo:

sendoâx,âyeâzosversoresunitários nestesistemadecoordenadasequeestãoorientadosconformeo sentido positivodoseixosx, y ez conformeafigura(1.1).Ax, Ay eAz sãodenominadasdecomponentesdovetarà nas direçõesx,y ez, respectivamente.O módulodeà édefinidopor:

---+módulo de um vetor (1.7)

Sefornecessário,épossíveldefinirumvetarunitárioaolongodoprópriovetarÃ:Ax Ay Az Ax âx+Ayây+Azâz

1.4 Somae Subtração de Vetores

Doisvetaresà eB podemsersomadospararesultaremoutrovetar6, istoé:

3A notaçãoserámantidaassim:umasetasobreosímbolosignificaumvetorqualquer,porexemploÃ, enquantoumacentocircunflexo indicaumvetorcujomóduloé unitário,ou simplesmenteum versor,por exemploâx- Por questõesdepraticidade,nasilustraçõesum vetorseráindicadocomfonteemnegrito e o escalaremitálico.

1.4 SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES UNC FÍSICA IV - PROFESSORAGISELLE MUNHOZ ALVES 3 z z y 'Y

Figura1.1:(a)Vetoresunitáriosemcoordenadascartesianas:âx, âye âz; (b) decomposiçãodeumvetorà em coordenadascartesianas.

A somadevetoresé feitacomponentea componente.Dessaforma,seà = Axâx+Ayây+Az âz e B=Bxâx+ Byây+Bzâztem-seque:

A subtraçãodevetareséfeitademaneirasimilar,componentea componente: (1.1)

Graficamente,asomae asubtraçãodevetoressãoobtidastantopelaregradoparalelogramaquantopelaregra do "iníciodeum-finaldeoutro",comoilustradonafigura(1.2).

Figura1.2:A regradoparalelogramoparaa soma,a adiçãodevetarespelaregrado "iníciodeum-finaldeoutro" eacomparaçãodesubtraçãoeadiçãodevetares.

As propriedadesassociativa,comutativaedistributivadaálgebralinearseaplicamnormalmenteà somaesubtraçãovetorial:

C(Ã+B) =cÃ+cB, sendocumagrandezaescalar.

1.5 VETOR POSIÇÃO E VETOR DESLOCAMENTO UNC FÍSICA IV - PROFESSORAGISELLE MUNHOZALVES 4

1.5 Vetor Posição e Vetor Deslocamento

UmpontoP emumsistemadecoordenadascartesiano,podeserrepresentadopor3coordenadas(x,y, z). O vetor posiçãor deumpontoéumvetorquecomeçanaorigemdosistemadecoordenadaseterminanopontoemquestão. ParaumpontoP qualquertem-se:

rp =xâx+yây+zâz.

Oponto(2,3,2,5)dafigura(1.3),porexemplo,possuivetorposiçãorp =2âx+3ây+2,5âz.

Ovetordeslocamentoéadiferençaentreaposiçãodedoispontos.EntreospontosQeP ovetordeslocamento édefinidopor:

Figura1.4:Vetordeslocamento6.rpQ=rQ- rp

Por exemplo,seumacargaelétricasedeslocarentreospontos(1,-2,-5)e (2,7,1)o vetordeslocamentodesta cargaserá:

Relembrandoo conceitodecampovetorialconstante,ovetorB=âx+9ây+6âzé umvetoruniforme,enquanto queovetor(}=âx+9yây+6xzâzénãouniforme,poisC variadepontoaponto.

1.6 Multiplicação Vetorial

Quandodoisvetoresà eB sãomultiplicadosentresi,oresultadotantopodeserumagrandezaescalarquantouma grandezavetorial, dependendodaformacomoesteprodutoéefetuado.De fato,hádoistiposdemultiplicação

1.6 MULTIPLICAÇÃO VETORIAL UNC FÍSICA IV - PROFESSORAGISELLE MUNHOZALVES 5 envolvendovetores4:

(a) produtoescalar:Ã. j (b) produtovetoria!: Ã x B

1.6.1 ProdutoEscalar:Ã. Ê o produtoescalarentredoisvetoresédefinidocomoo produtoentreosmódulosdosdoisvetorese o cossenodo ânguloentreeles:

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