Teoria da Vibração com Aplicações - Caps. 04 e 05

Teoria da Vibração com Aplicações - Caps. 04 e 05

(Parte 1 de 6)

Quando um sistema dinâmico é excitado pela aplicação súbita de uma excitação

F(l) não-periódica, tal como a representada na Fig. 4.1-1, a resposta a este tipo de excitação é denomina.>!a resposta trallsiente. uma vez que não são geralmente produzidas oscilações de estado perlllanen te. Tais oscilações ocorrem na freqüência natural do sistema, variando a amplitude de uma maneira dependente do tiRO da excitação.

Inicialmente, estudamos a resposta de um sistema mola-massa a uma excitação de impulso, por ser cste caso importante para a compreensão do mais geral problema de transien teso

Impulso é o tempo integral da força, e o designamo.s pela notaç,To ]i'

Encontramos COlJ1UlJ1enteuma força, de muito grande magnitude, que atua durante um período de tempo muito curto, mas com um tempo integral que é finito. Essas forças são denominadas impulsivas.

L' f(I)O(1 -- ç) di f(ç)

Desde que Fdl = mdv, o impulso F atuando sobre a massa resultará numa súbita mudança r,a sua velocidade igual a Fim sem apreciável mudança no seu deslocamento_ Quando da vibração livre, constatamos q'ue o sistema mola-massa não-amortecido com condições iniciais x(O) e x(O) comportava-se de acordo com a equação x x(O) sen úJNI + x(O) cos úJNI úJ"

A Fig. 4.2-1 mostra uma força impulsiva de magnitude FIE com uma duração de E. À medida que € se áproxima de zero, tais forças tendem para infinito. Entretanto, o impulso definido por seu tempo integral é F, que é considerado tini to.

Por isso. a resposta de um sistema mola-massa inicialmente em repouso e excitado por um impulso Fé' fé x --sen OJ"I

IIlOJ jf. (k'V m

Quando o amortecimento está presente, podemos iniciar com a equação de vibração livre e substituindo as condições iniciais acima, chegamos à equação

Quando P é igual à unidade, tal força no caso ~estrito de E -, O é denominada unidade de impulso ou a [unção delta. A função delta quando I = ~ é identi- [jcada pelo símbolo Ó(I - O e tem as seguintes propriedades

Ó(I - O - O para todos os valores de I *- ~ A resposta ao impuls!) unitário é importante para os problemas de transientes, e é identificada pela designação especial g(r). Nestas condições, quer se trate de um caso amortecido ou não-amortecido, a equação para a resposta impulsiva pode ser

ex pressa como se segueJ: 0(1 - Ç) dI = 1,0 0< ç <

Se Ó (I - O é multiplicada por qualquer função de tempo f(l), como indicado na Fig. 4.2-2, o produto será sempre zero, exceto quando I = t e suairltegral será

Tendo a resposta g(t) para um impulso unitário 'de excitação, é possível estabelecer a equação para a resposta do sistema excitado pai uma 'força arbitrária f(l). Para este desenvolvimento, consideram'os a força arbitrária como sendo uma série de impulsos, conforme a Fig. 4.3-1. Se examinamos um dos impulsos (o que está hachu:

rado)no tempo I = t sua força é

Excitação base. Muitas vezes o suporte do sistema dinâmico é sujeito a um movimento repentino estabeleeido por seu deslocal11cnto, velocidade, ou aceleração. A equação de movimento pode então ser expressa cm termos do deslocamento relativo z = x -- y como se segue e sua contribuição para a resposta no tempo t depende do tempo decorrido (t - n ou

Sendo li~ear o sistema que estamos considerando, o princípio de superposição pre- valece. Desta forma, combinando todas essas contribuições, a resposta para e daí, todos os resultados para o sistema excitado-força aplicam-se para z no sistema excitado-base, quando o termo Fo/m é substituído por - y ou o negativo da acc- leração de base.

No caso de um sistema não-amortecido, inicialmente em repouso, a solução para o deslocamento relativo torna-se

Exemplo 4.3-1

Determinar a resposta de um sistema de um grau de liberdade à excitação degrau representada na Fig. 4.3-2.

l{t) l-t-l------{t -1;)------- --I ,=1

x(t) .~ L J(é,)g(i . é,) dé, (4.3-])

A integral acima é chamada de Convolução integral ou algumas vezes referida como a superposição integral.

Estabelecendo r = (t - ~) encontramos outra forma desta equação. Então, ~ = t - T, d~ = -dr, e obtemos

Solução: Considerando o sistema não-amortecido, temos fi(1) .0 _1- sen Cú t . /11úJ

.' Substituindo na Eq. (4.3-]) a resposta do sistema não-amortecido é

FI"x(t) • __lL sen Cún(t .' é,) dé, I/Cú ox(i) L J(I-- ,)g(,) d,

F- t( I -- cos Cú

Estc resultado indica que a resposta máxima à excitação degrau de magnitude Fo é igual a duas vezes a deflexão estáti<ea.

Para um sistema amortecido, o proce~o é repetido com e"·~"I·,l ~ g(t)~" --~sen.y I --I;-Cúnl ou, alter~ativamente, podemos considerar ~implcsmcnte a equação diferencial

Quando t é maior que a duração do pulso, isto é, tP' o limite superior da Eq. (4.3-]) permanece em tp' porque, então, a integral pode ser expressa corno

X(I) = f" J(ç)g(t --é,) dç + f' J(é,)g(lé,) dé,

= L J(é,)g(t - ç) dé" I:> I

Aqui, a segunda integral é zero, uma vez que f(~) = O para ~ > tp' 86 .

·~ -I- 2'co x -I- co;x = fJJ m cuja solução é a soma das soluções da equação homogênea e da solução particular, a qual para este caso é Fo/mw~. Assim, a equação ,.~ ajustada às condições iniciais de x(O) = :<:(0) = O resultará na solução que é dada como

A Fig. 4.3-3 mostra um gráfico de xk/Fo versus wnr, com ~ como parâmetro, e é evidente que a resposta máxima é menor que 2Fo/k. quando o amortecimento está presente. Da substituição de ji(t) na Eq. (4.3-5) resulta

z(r) 'o, -- VO I' {S(Ç) -!.-e .{,.( sen.conO _. ç) dç

CO o r o {

,.., _ V~ _ (e"" - co t senco t, co~ co r}

1 (COnlo)' nO. n n

Exemplo 4.3-3

Uma massa m fixada a uma mola de rigidez k é sujeita ao impulso repetido

F, de duração despreiível, a intervalos de Ti' conforme a Fig. 4.3-5. Deter· minar a resposta de estado permanente.

Figura 4.3·3. Resposta a uma função degrau unitária.

Exemplo 4.3-2

Considerar um sistema mola·massa não- amortecido onde o movimento da base é especificado por uma velocidade de pulso da forma

Solução: Entre cada dois impulsos. o sistema está em vibração livre na sua freqüên. cia natural wn = Vkfiii, Fazendo t = O imediatamente após cada impulso,

que é representada na Fig. 4.3·4 juntamente com sua taxa de variação de tem· po a = P.

Solução: A velocidade de pulso para r = O dá um salto repentino de zero para

Vo e sua taxa de mudança (ou aceleração) é infinita. Admitindo quefa dr = ÍJ. a súbita mudança na velocidade para I = O é satisfeita por

Assim, a aceleração da base torna·se 8 x ~~A sen (co.1 +</J)

:é _'c conA cos (COnl + </J) (a) (b)

O, temos x(O) = A sen rp x(O) ~=úJnA cos rp A= _ f_" _

2úJnlll sen úJ2T,

Pode ser de interesse o valor máximo da força da mola Fs Eq. (k) toma a forma

Ti~' 2

Nestas condições, a amplitude ou força da mola torna-se infinita quando

A Eq. (I) 'mostra também que a força máxima da mola Fs é um mínimo quando

TO~2-'T'2'

n.!" 7f 3n Sn

1\ variação de tempo do deslocamento e da velocidade pode aparecer como na Fig,4.3-().

onde Ti é o intervalo de tempo entre os impulsos. O impulso atuando nestc tempo aumenta a velocidade subitamente, de P/m, embora o deslocamento permaneça essencialmente sem modificação.

Se é atingido o estado permanente, repetem-se o deslocamento e a velocidade depois de cada ciclo. Deste modo, podemos escrever

Pode-se aplicar um processo semclllânte, quando é ,incluído o amortecimento, embora o trabalho numérico ,seja aumentado eomideravelmente.

1---- ~J

A.i~ fcos (úJnT, + cfJ) - cos rp = - --A úJnlll

senúJ2T1 cos (úJ2T + cfJ) = O sen úJnT, sen (úJ" T, + rp) = ~. 2 2 2úJ lllA

Uma vez que sen wnT)2 não pode ser zero para Ti arbitrário, a Eq. (i') é satisfeita somente se

O método da transformada de Laplace para resolver a equação diferencial fornece uma solução complet~, abrangendo a vibração transiente e a forçada. Apresentamos no Apêndice um resumo da teoria deste método destinado aos não familiarizados! com o assunto. Nesta seção ilustraremos o seu uso com alguns exemplos simples.

Exemplo 4.4-2

Uma massa m é acondicionada numa caixa, conforme a Fig. 4.4-2, e cai de uma altura h. Deseja-se determinar aExemplo 4.4-1

Formular' a solução da transfórmada de Laplaee de um sistema mola-massa viscosamente amortecido com as condições iniciais x(O) e x (O).

Solução: A equação dc movimento para o sistema excitado por uma força arbitrária F(t) é w

7ft,' I/I I 1/I/lIl I I //l/Il 1//1 Figura 4.4-2. Teste de queda de uma massa acondicionada.

Adotando a sua transfórmada de Laplace, temos m[s'x(s) -- x(O)s - x(O)] -I- c[.\'(s) -/- x(O)] + kx(s) = tis) t(s) _I (ms -I- c)x(O) + mx(O) x(s) = ms' / cs -/- k ms' + cs -1- k

O inverso da Eq. (4.4-1) nos dá a resposta x(t). O primeiro termo representa a vibração'forçada, e, o segundo, a solução transiente devido às condições iniciais.

a força máxima transmitida à massa m e o necessário espaço de trepidação (rattle space*).

Solução: Idealizamos as seguintes hipóteses: (I) A massa m é suportada dentro da caixa por uma mola linear de rigidez k Ib/pol. (2) A massa da caixa é grande se comparada à da massa acondicionada m, de mogo q\,le a qu~~~)ivre d~caixa n[o~ influenciada pelo movimento relativo da massa m. (3) Ao tocar o piso, a caixa per· manece em contacto com ele .

Fazendo x o deslocamento 'de m em relaç[o à caixa, medido de cima para baixo, a partir da posição de equilíbrio estático, e y, o deslocamento da caixa da posição de partida, a equação-geral do movimento de m é onde A (s) e B(s) são polinômios, sendo que o segundo é geralmente de ordem mais alta que A(s).

Se é apenas considerada a solução forçada, podemos definir a transfonnada impedância

P(s) ~, z(s) ms' 1- csl- k x(s)

A sua recíproca é a transformada admitância

Usa-se freqüentemente um diagrama de bloco para significar a entrada e a saída, conforme a Fig. (4.4-1). Então a transformada admitância f(s) pode também

Entrada F(s)--~ Saída x(s) Figura 4.4-1. Diagrama de bioco.

Para as condições iniciais x(O), x (O), y(O), jJ (O), a transformada de Laplace para a equação acima é

I s2ji(S)
x(s) ,= [x(O) 1-)"(0)]--'--::'- -I [x(O) -!- )'(O)]s' _'. w: - S2 -f- w:s' -I- w;; 1

ser considerada como função de transferência de sistema, definida como a propor- ção no plano subsidiário da saída sobre a entrada, com todas as condições iniciais iguais a zero.

• R. D. Mindlin, "Dynamie, of Paekagc Cu,hioning", Dell Sy,t. Teeh., Jour., 24, (julho 1954) págs. 353-461.

X(I) = [X(O) -I- y(O)] COS 0).1 + -.L[.x(0) +- );(0)] sen O) I - "C-I~2J'(S) (4.4-8) .'." CO S" -/- w;;

Podemos agora adaptar esta equação às condições do nosso problema. De interesse particular são o deslocamento x(to) c a velocidade x(to) de m no tempo to quando a caixa atinge o piso.

As condições iniciais para o intervalo da queda livre são x(O) == )'(0) == .x (O) == y (O), e o movimento da caixa e a sua transformada são

Levando-se à Eq. (4.4-8) os valores da Eq. (4.4-9), encontra-se' o movimento de 'm durante a queda livre, com as condições iniciais zero, o que leva a x(l) 'c~ ._c -..1,'.(1 .- cos I) (4.4-10) s(s21- 0);) 0); •

. Sendo to == v2hjg o tempo da queda da altura h, chegamos às seguintes quan'tjdades de interesse

Essas quantidades tornam-se as condições iniciais para a segunda fase do problema, após o impacto da caixa sobre o piso.

Redefinindo o tempo a partir do instante do impacto, são as seguintes as condições iniciais para a segunda fase do problema

)'(0) '" O, x(O) c_,~i;(1- cos 0).1

lf---~se[jw!,to

De acordo com a equação geral, Eq. (4.4-8), a equação para o deslocamento de m depois do impacto torna-se

X(I) ,= --- L (Icos I) COS 1 1-(f2!..º _E,sen W 1 5en IÚ); W
(Icos 0>.1

= ..K.j(1 .- cos O) I )2 -I- (O) I -- sen O) I )2 sen(O) t- Ao)W2 , o o. . tg r/J •.. (w.t~-~no)7:-j

Assim, a amplitude máxima atingida por m é que ocore no ter .po (Wn1l -- r/J) == r/2. A força máxima é simplesmente kX1, 94

h, ou tempo de quedá to =j2h/g. Isto se mostra recolocando sen wnto ecos wnto

Xl tem um valor máximo quando wn -+ 0, para qualquer altura de queda com suas formas em séries e admitindo que wntose aproxinla de zero. A Fig. 4.4-3 mostra uma resposta de deslocamento de Xi em função da freqüência fn = (l/2rr) VfTíiipara h = 10, 5, 1 e 0,15pol. A Eq. (4.4-13) indica, entretanto, que w~Xdg = X1/l;st é uma função somente de de modo que as curvas da Fig. 4.4-3 são representadas graficamente por uma única curva não·dimensional como indica a Fig. 4.4-4.

Freqüência, fn (cp') Figura 4.4-3. Resposta de deslocamento para um teste de queda.

Um choque resulta dà aplicação repentina de uma força, ou outra forma de rompimento, que provoca uma resposta transiente de um sistema. O valor máximo da resposta é uma boa medida da severidade do choque e é, obviamente, dependente das características dinâmicas do sistema. Com o objetivo de classificar todos os tipos de excitações de choque, escolhe-se como um sistema-padrão um oscilador (sistema mola·massa) não amortecido, de um simples grau de liberdade.

Engenhéiros acharam útil pa'ra projetos o conceito de espectro da resposta. Um espectro de resposta ,é uma representação gráfica do pico máximo da resposta do oscilador de um simples grau de liberdade, em função da freqüência natural do mesmo oscila dor. Diferentes tipos de excitações de choque resultarão em diferentes espectros de resposta.

Considerando que o espectro de resposta é determinado a partir de um simples ponto na curva resposta· tempo, o qual representa um dado incompleto de informa. ção, ele sozinho não define a força do choque. De fato, é possível que espectros de resposta muito semelhantes corrrespondam a duas excitações de choque diferen.

teso Apesar desta limitação, o espectro de resposta é um conceito útil extensivamen. te usado.

A resposta de um sistema à excitação arbitrária f(r) era expressa em termos do impulso resposta g(t) pela Eq. (4.3-1)

X(I) = f:f(ç)g(1 -- ç) dç (4.5'1)

de modo que a resposta de pico a ser usada no gráfico do espectro de resposta é dada pela equação

No caso em que o choque é devido a um repentino movimento do ponto de supor. te, f(t) na Eq. (4.5-3) é substituído por -ji(t), a aceleração do ponto de suporte, ou

Z(I)mn c~ I=-!.J' j'(ç)senW.(1 - Ç)dÇ/ (4.5-4) OJ" o

Algum tempo característico ti, tal como a duração do pulso do choque, está associado com a excitação do choque f(t) ou - ji(I). Com r como a freqüência natural do oscilador, o valor máximo de x(t) ou z(t) é representado graficamente como uma função de ti /1. 96

As Figs, 4.5-1, 4.5-2 e 4.5·3 representam' os espectros de respostas para trés diferentes excitações, A escala horizontal é

2'O~

( Xk) IFo~

Fomax ~

Figura 4.5·J.

é igual à relação lI/r, enquan to a escala vertical é um número não·dimensional, que é uma medida do efeito dinâmico sobre o de uma càrga estaticamente aplicada. O fator dinâmico de um choque é então menor que dois.

Espectros de pseudo·resposta. Em situações de choque de solo, é muitas vezes con' veniente expressar os espectros de respostas em termos de espectros de velocidade.

Os espectros de deslocamento e aceleração podem então ser expressos em termos de espectros de velocidade, dividindo-se ou multiplicando-se por wlI" Tais resultados chamam-se pseudo-espectros, uma vez que eles são exatos somente quando a resposta máxima ocorre após haver passado o pulso do choque, em cujo caso o movimento é harmônico.

Os espectros de velocidade são usados extensivamente em análise de terremotos, e o amortecimento é incluído geralmente. Com o deslocamento relativo z = x·· y, é a seguinte a equação para o oscilado r amortecido i -I- 2CCú.i -I- Cú'; = -y e a Eq. (4.5-4) é substituída por

Z(I) = FC2 f' y(ç)e-(w,IHI sen ~ Cú.(1 - ç) dç co Relações aproximadas para o deslocamento e aceleração máximos, conhecidas como pseuclo-espectros, são então '

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