trigonometria triangulo

trigonometria triangulo

Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática
Matemática para Arquitetura

A trigonometria (trigono = triângulo, metria = medida) teve origem no estudo das relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo, em particular, do triângulo retângulo. Observa uma pessoa que sobe dois tipos de rampa:

Dizemos que a segunda rampa é mais íngreme, ou tem declive maior, pois o ângulo de subida é maior (55º > 30º). Mas como saber qual das duas rampas é mais íngreme sem conhecer os ângulos de subida?

Para responder a esta pergunta precisamos conhecer um pouco de trigonometria. Observa a rampa e a tabela seguinte:

altura percurso α 6 m 0

1m2m 4m

afastamento

Figura 1

4m
8m
A’ B’ C’ D’

12m Figura 2

A 2m 1m B 4m 2m C 8m 4m D 12m 6m

Observando a figura 1 verificamos que os triângulos retângulos, ∆ OAA’, ∆ OBB’, ∆ OCC’, ∆

ODD’ são semelhantes e, portanto, existe uma proporcionalidade entre seus lados. Fazendo a razão entre a altura e o afastamento em cada ponto, temos:

A constante “k” é chamada tangente do ângulo de subida. Para determinar o ângulo de subida basta consultar uma tabela ou uma calculadora. Quanto maior a tangente maior será o ângulo de subida. Este ângulo também poderia ser obtido através de outras razões. A razão entre a altura e o percurso é chamada seno do ângulo de subida. A razão entre o afastamento e o percurso é chamada co-seno (ou cosseno) do ângulo de subida.

Para utilizarmos essas razões precisamos conhecer o percurso em cada ponto. No nosso caso temos a altura e o afastamento, para calcularmos o percurso, usamos o teorema de Pitágoras. Num triângulo retângulo como o da figura:

A’ O 1 m2 m

No nosso caso:

Procurando numa tabela ou numa calculadora encontramos o mesmo ângulo de subida obtido anteriormente através da tangente. No nosso exemplo, no triângulo retângulo da figura (2), o percurso é a hipotenusa, o afastamento e a altura são os catetos, sendo o afastamento o cateto adjacente ao ângulo de subida e a altura o cateto oposto. De maneira geral, podemos definir:

a b α a2 = b2 + c2 hipotenusa aopostocatetoαα sen= hipotenusa aadjacentecatetoαα cos= ααααα cossen tg == aadjacentecateto aopostocateto

Usamos com bastante freqüência essas relações para os ângulos de 30º, 45º e 60º e seus valores são dados no quadro abaixo.

seno

cosseno

tangente

A trigonometria, no triângulo retângulo, utiliza somente ângulos agudos (0º< α < 90º). Para ampliar essas noções para outros valores de α, mais especificamente, para qualquer valor real de α, estudaremos a trigonometria no círculo.

1) Uma pessoa está distante 80m da base de um prédio e vê um ponto mais alto do prédio sob um ângulo de 16° em relação à horizontal. Qual é a altura do prédio?

2) Um avião levanta vôo em B, e sobe fazendo um ângulo constante de 15° com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando passar pela vertical que passa por uma igreja situada a 2km do ponto de partida?

3) Uma torre vertical de altura 12m é vista sob um ângulo de 30° por uma pessoa que se encontra a uma distância x da sua base e cujos olhos estão no mesmo plano horizontal dessa base. Determina a distância x.

4) Dois observadores A e B vêem um balão, respectivamente, sob ângulos visuais de 20° e 40°.

Sabendo que a distância entre A e B é de 200m, calcula a altura do balão. Obs.: os observadores encontram-se do mesmo lado em relação ao balão.

5) Num exercício de tiro, o alvo se encontra numa parede cuja base está situada a 82m do atirador. Sabendo que o atirador vê o alvo sob um ângulo de 12° em relação à horizontal, calcula a que distância do chão está o alvo.

6) A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 30°. Caminhando 23m em direção ao prédio, atingimos outro ponto, onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60°. Desprezando a altura do observador, calcula, em metros, a altura do prédio.

7) Um móvel parte de A e segue numa direção que forma com a reta AC um ângulo de 30°.

Sabe-se que o móvel se desloca com uma velocidade constante de 50 km/h. Determina a que distância o móvel se encontra da reta AC após 3 horas de percurso.

8) Queremos encostar uma escada de 8m de comprimento numa parede, de modo que forme um ângulo de 60 0 com o solo. A que distância da parede devemos apoiar a escada no solo?

9) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 300. Quando tiver percorrido meio quilômetro, a que altura estará do solo?

10) Um observador em A vê uma torre vertical CD sob um ângulo de 300 e caminhados 40m em direção a torre passa a vê-la sob 400. Sabendo que a altura do observador é 1,70m, calcula a altura da torre e a que distância ela se encontra do observador.

1) Um mergulhador percorreu uma distância de 40m, entre a superfície e o fundo do mar, segundo uma trajetória retilínea que forma um ângulo de 500 com a superfície. a) Qual é, aproximadamente, a profundidade do local alcançado pelo mergulhador? b) Subindo verticalmente para a superfície, a que distância do ponto em que mergulhou ele sairá aproximadamente?

1) h ≡ 2,93 m (sem levar em conta a altura da pessoa). 2) h ≡ 0,53589 km = 535,89 m d ≡ 2,0705 km = 2070,5 m 3) x ≡ 20,78 m 4) h ≡ 128,56 m

5) d ≡ 17,43 m

6) h = 19,92 m 7) h = 75 km 8) d = 4 m 9) h = 0,25 km = 250 m 10) h = 75,73 m d = 128,23 m 1) a) h = 30,64 m b) x = 25,71 m

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