Notas de Aula - Eletromagnetismo II - Atualização 07/05/2008

Notas de Aula - Eletromagnetismo II - Atualização 07/05/2008

(Parte 1 de 6)

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Eletromagnetismo I - Notas de Aula

Curitiba, Pr 2008

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná

Capítulo 1 O Campo Magnético Estacionário

Em 1823, Ampère sugeriu que o magnetismo natural era devido a pequenas correntes fechadas no interior da matéria. Atualmente, identificamos essas pequenas correntes com o movimento dos elétrons no interior dos átomos. Um elétron que gira ao redor do núcleo equivale a uma corrente que produz os mesmos efeitos magnéticos que um pequeno imã. Por outro lado, os elétrons giram sobre si mesmos produzindo efeitos magnéticos adicionais.

Resumindo: a corrente que passa por um condutor produz um campo magnético a sua volta.

Estudaremos aqui, a lei de relação entre a corrente que passa por um condutor (causa) e o campo magnético criado (efeito). O campo magnético ~H pode ser originado de duas maneiras:

a. Por corrente elétrica; b. Por imã permanente (polo magnético). Podemos imaginar que em qualquer material existem muitos imãs de tamanho atômico. Na maioria dos casos, nestes pequenos imãs os dipolos magnéticos estão orientados ao acaso e seus efeitos se cancelam. Entretanto, em certas substâncias, estes dipolos magnéticos estão orientados no mesmo sentido. Neste caso, os efeitos de cada dipolo magnético se somam, formando um imã natural.

Lei de Biot Savart

Até aqui nos preocupamos em tentar descrever as forças sobre as cargas e correntes que são postas em campos magnéticos produzidos externamente. Ao fazer isto, não consideramos que tipo de campo magnético é produzido por correntes ou pelas próprias cargas em movimento e assim, ainda não abordamos o problema de descrever e explicar os resultados das experiências de Oersted, o qual será discutido a seguir.

Vamos ver, então, como se origina campo magnético através da corrente elétrica. O campo magnético ~H é um vetor, isto é, possui módulo, direção e sentido.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná

Eletromagnetismo I - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Figura 1.1:

Durante o século XVIII muitos cientistas tentaram encontrar uma conexão entre a eletricidade e o magnetismo. Observaram que cargas elétricas estacionárias e imãs não provocavam qualquer influência um no outro. Mas em 1820, Hans Christian Oersted (1777-1851) mostrou que uma bússola sofria deflexão quando era colocada perto de um fio percorrido por uma corrente. Por outro lado era conhecido que campos magnéticos produzem deflexão em bússola, o que levou Oersted a concluir que correntes elétricas induzem campos magnéticos. Com isto ele havia encontrado, então, uma conexão entre eletricidade e o magnetismo. Ele observou também, que os campos magnéticos produzidos por correntes elétricas, em um fio retilíneo, tinham a forma de círculos concêntricos como mostra a figura 1.1(a). O sentido destas linhas é indicado pelo norte da bússola. Uma outra forma de se determinar o sentido das linhas de B é usar a regra da mão direita, a qual é mostrada esquematicamente na figura 1.1(b). No estudo da eletrostática, observamos que a lei de Coulomb, descrevendo o campo elétrico de cargas puntiformes foi simplesmente o modo pelo qual as observações experimentais relativas à forças eletrostáticas em corpos carregados poderiam ser melhor resumidas. A situação é a mesma em relação a campos magnéticos produzidos por correntes estacionárias. Não há meio de se deduzir uma expressão para estes campos; tudo o que podemos fazer é observar as forças magnéticas criadas por correntes reais experimentalmente e então tentar achar uma expressão matemática para o campo magnético que esteja de acordo com os resultados de todas as observações. Foi justamente desta maneira que a lei de Biot-Savart, a qual dá o campo magnético criado pelo fluxo de corrente em um condutor, foi descoberta. A lei de Biot-Savart diz-nos que o elemento de indução magnética d~H associado a uma corrente I em um segmento de um fio condutor descrito por d~L é:

dirigido em uma direção perpendicular ao d~L e ao vetor posição ~R do segmento do condutor ao ponto P, no qual o campo está sendo medido; diretamente proporcional ao comprimento d~L do segmento e à corrente I que ele carrega; inversamente proporcional em módulo ao quadrado da distância R entre o elemento de corrente e o ponto P.

proporcional ao seno do ângulo θ entre os vetores d~L e R. A lei de Biot-Savart pode, então, ser expressa pela equação:

A figura 1.2 revela a geometria do problema clássico geral: a intensidade de campo magnético no ponto 2, d~H2, produzida por um elemento diferencial de corente localizada no ponto 1, I1d~L1. A direção de d ~H2 é para dentro desta página.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná

Eletromagnetismo I - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Figura 1.2: Na forma integral, a lei de Biot-Savart é dada por:

nesta, deve-se levar em conta que a corrente total que atravessa qualquer superfície fechada é nula; esta corrente fluindo em torno de um caminho fechado é a fonte de campo magnético que deve ser considerada. Relembrando: este resultado é consequência direta da equação da continuidade:

(não varia no tempo).

Esta lei é ferramenta básica para cálculo de campo magnético criado num ponto, devido a uma distribuição de corrente. Mas é válida somente em meios uniformes (com mesma permeabilidade magnética). A intensidade do campo magnético ~H tem, no SI, unidades de ampères por metro (A/m)

Exemplo 1: Campo magnético devido a um condutor longo retilíneo. Determine o campo magnético ~H num ponto P distante r metros de um condutor infinitamente longo, percorrido por uma corrente de I ampères. A seguir, calcule o campo a uma distância de 10 cm do condutor quando ele for percorrido por uma corrente de 0,1 A.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná

Eletromagnetismo I - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Dois condutores paralelos

Como já foi visto, correntes geram campos magnéticos e, veremos que fluxos magnéticos exercem forças sobre cargas em movimento. Então dois condutores paralelos, com corrente experimentam uma dada forca de atração ou repulsão, segundo os sentidos das correntes.

Dois condutores paralelos conduzindo correntes no mesmo sentido. Pela regra da mão direita, observa-se que os campo magnéticos dos dois condutores se subtraem no espaço situado entre os condutores, e se soma fora dos condutores.

Dois condutores paralelos conduzindo correntes em sentidos opostos. Pela regra da mão direita, observa-se que os campo magnéticos dos dois condutores se somam no espaço situado entre os condutores, e se subtrai fora dos condutores.

Considerando que não existam materiais ferromagnéticos nas proximidades, pode-se calcular o campo somando vetorialmente os campos criados por cada corrente.

Exemplo 2: Dois fios retilíneos paralelos estão afastados de d = 40 cm, e são percorridos por correntes I1 = 100 A e I2 = 60 A, em sentidos opostos. Encontrar a distância x de um ponto P ao primeiro condutor, onde o campo magnético total seja nulo.

Exemplo 3: Uma espira circular, de raio r, é percorrida pela corrente I. Obter a equação do campo magnético no centro da mesma.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná

Eletromagnetismo I - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Exemplo 4: Campo magnético de uma espira circular. Neste exemplo, calcularemos o valor do campo magnético em um ponto genérico P, situado no eixo de uma espira circular percorrida por uma corrente constante I, conforme esquema da figura abaixo.

Exemplo 5: As bobinas de Helmholtz são duas bobinas circulares coaxiais, onde seus raios R são iguais à distância d entre elas, isto é: R = d. Elas são muito conhecidas pelo fato de que o campo magnético é uniforme ao longo do seu eixo. Calcule a amplitude do campo ao longo do eixo das bobinas.

Sugestão de estudo: Eletromagnetismo - Hayt & Buck, 6ª Edição: Capítulo 8, Seção 8.1. Resolver os exercícios E8.1 e E8.2, página 136.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná

Eletromagnetismo I - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Lei circuital de Ampère

A lei de Ampère, que é uma das leis mais importantes do eletromagnetismo, é a conhecida regra da mão direita, expressa de uma forma matemática vetorial: a lei circuital de Ampère. Oersted descobriu que uma corrente elétrica produz um campo magnético, e que para o caso de um fio retilíneo, as linhas de campo são círculos em planos perpendiculares ao fio. O sentido do campo é dado pela regra da mão direita: com o polegar no sentido da corrente, os outros dedos dobrados apontam no sentido de ~H. A intensidade é dada pela distribuição de campo e fluxo magnético no sistema. Assim, a circulação do vetor ~H, em um percurso fechado, é igual à soma algébrica das correntes nela dadas pelo percurso:

Com esta expressão matemática, a relação campo ~H e corrente é dada por uma integral de linha, que é calculada através de uma curva fechada chamada curva amperiana. A corrente I é a corrente líquida englobada pela curva e onde d~L é o caminho de integração, que escolhemos ao redor do fio.

Cabe salientar que fora das leis de Biot-Savart ou Ampère não há nenhum meio analítico de determinar o campo ~H em função de ~J. Somente os métodos numéricos, relativamente modernos, podem determinar ~H em um bom número de casos, sem que tenhamos ainda meios de solucionar todos os problemas existentes.

Exemplo 6: Campo magnético de um solenóide. Forma-se um campo magnético ao redor de uma bobina de fio de cobre, chamada solenóide, cujo comprimento é muito maior do que o seu raio, e consideraremos o solenóide infinito. Usando argumentos de simetria, mostre que os campos entre os fios e na parte externa do solenóide são nulos e que, no interior do solenóide o campo tem o sentido indicado pela regra da mão direita.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná

Eletromagnetismo I - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Exemplo 7: Campo de um toróide. No interior do toróide da figura abaixo, aplique a lei de Ampère, resolva a integral na linha amperiana circular de raio r e Calcule H.

Exemplo 8: Campo magnético dentro de um fio. Consideremos o fio condutor como um cilindro infinito, de raio R, transportando uma corrente I0, com densidade uniforme. Calcule o campo no interior do fio.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná

Eletromagnetismo I - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Rotacional de ~H

Agora vamos discutir resumidamente o significado físico do operador rotacional aplicado a ~H.

Para fazermos isso, usaremos a concepção do medidor do rotacional ou das pazinhas girantes. Imagine uma correnteza de água através uma de seção transversal na direção z. Considera-se a velocidade ~v da água independente da altura mas aumentando uniformemente desde o valor zero das extremi- dades até um valor máximo de v0 localizado no centro da corrente de água. Agora, vamos considerar o menor atrito que nas pás, desconsiderando a influência na velocidade da água e intoduzir na água uma seta vertical, isto é, paralela ao eixo x. A pá vai girar na direção anti-horária, do lado direito para o centro. Além disso, partindo de que a velocidade diferencial é independente de y, a pá vai girar com uma taxa parecida, independentemente de y. Na exata metade da correnteza, não haverá giro da pazinha para nenhum dos dois lados já que a velocidade é a mesma para ambos. Agora, se nós examinarmos o gráfico de vx e compará-lo com o movimento da pazinha, o significado físico do rotacional fica aparente. Isso significa a capacidade do vetor campo para a rotação da pazinha. Se nós inserirmos a pazinha horizontalmente, isto é, junto do eixo z ou junto ao eixo y ou em qualquer outra direção paralela ao plano yz, ela não vai girar desde o fundo até a superficie, pois estão com a mesma força, assim mostra-se que o rotacional para esse campo não tem uma componente horizontal. O rotacional não faz nada com a curvatura ou com a corrente rotacional como o nome talvez lembre.

Podemos obter a forma pontual da lei circuital de Ampère, aplicando-a ao perímetro de um elemento diferencial de área e encontrando o seu rotacional. Escolhemos as coordenadas cartesianas e um caminho fechado incremental de lados ∆x e ∆y, como mostra a figura ao lado. Considere que uma corrente elétrica qualquer gere um campo magnético ~H de referência no

madamente, a soma dos quatro valores de ~H·∆~L em cada lado.

A direção de percurso escolhida, dada na figura, corresponde a uma corrente elétrica na direção az. A primeira contribuição é:

O valor de Hy nesta região pode ser avaliada como a soma do valor de referência H0y, no centro do retângulo e a sua taxa de variação em x pela distância ∆x2 :

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná

Eletromagnetismo I - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Ao longo da aresta 2 − 3:

Para a última aresta:

Assumindo uma densidade de corrente genérica ~J, a corrente envolvida é ∆I = Jz∆x∆y:

A maior aproximação possível para esta expressão está no limite ∆x,∆y → 0:

Se escolhermos um caminho fechado de forma que a corrente esteja na direção ax, temos:

e para um camnho fechado de forma que a corrente esteja na direção ay:

Como ~J = Jxax + Jyay + Jzaz, temos a forma pontual da lei circuital de Ampère:

Acima está a terceira Equação de Maxwell: ~∇× ~H = ~J, aplicada acondições não variantes no tempo.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná

Eletromagnetismo I - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Em coordenadas cilíndricas:

Em coordenadas esféricas:

r sinθ sin θ ∂Hr

O significado físico da integral ∮ ~H · d~L = I é muito importante e justifica o fato desta dar origem a um rotacional. Esta integral é calculada sobre uma linha fechada, definindo uma circulação de “alguma coisa”, que vem a ser a corrente total que atravessa a área delimitada pela curva fechada. O rotacional gerado nos fornece os domínios de direções e sentidos do campo magnético gerado por esta corrente. Em analogia com o campo eletrostático, a integral de linha ∮ ~E ·d~L é nula (como visto no semestre passado!), significando que não há circulação de campo elétrico em torno co caminho fechado de integração. Em outras palavras, nenhum trabalho é realizado ao se deslocar uma carga elétrica de um ponto a outro sobre este caminho fechado. Para o campo magnetostático, há trabalho realizado pois a circulação de campo magnético não é nula. Esta circulação dá origem a um fluxo de cargas, caracterizando uma corrente elétrica.

Exemplo 9: Na região z > 0 do espaço há um campo magnético dado por ~H = 0,2z2ax, sendo nulo, como na figura. Calcule a integral ∮ ~H · d~L ao longo do quadrado fechado de lado d, centrado

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná

Eletromagnetismo I - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Teorema de Stokes

A segunda Equação de Maxwell é a forma pontual da lei circuital de Ampère e define o campo magnetostático gerado a partir de uma densidade de corrente. É possível, através de argumentos simples, deduzir que o contrário também é verdadeiro: a variação de campo magnético gera uma densidade de corrente elétrica. Este é o princípio de funcionamento de um eletroimã, por exemplo.

(Parte 1 de 6)

Comentários