Derivadas Parciais

Derivadas Parciais

(Parte 2 de 8)

valor b = y obtendo ∂∂z x

2) Calcular a derivada parcial de z =fxy(,) = x2 + y2 + 3xy2 + 5x − y + 10 em relação a x.

Sol.: Para y = y0 = b (constante), a função auxiliar é ϕ (x) = x2 + b2 + 3xb2 + 5x − b + 10. Derivando em relação a x obtemos ϕ‘(x) = 2x + 3b2 + 5. Voltando com b = y, temos que,

(b) Derivada parcial em relação a y:

De modo análogo, vamos usar a função auxiliar ψ(y) =fxy(,)0 em que consideramos x = x0 constante. Então:

fx y fx y y fx y y y

Exemplos: 1) Calcular a derivada parcial em relação a y de z =fxy(,) = 3x2y.

Sol.: Considerando x = x0 = a (constante), temos a função auxiliar ψ (y) =fay(,) = 3a2y.

Derivando ψ em relação a y, obtemos ψ ‘(y) = 3a2. Como ∂∂z y

valor a = x obtendo ∂∂z y

2) Calcular a derivada parcial de z =fxy(,) = x2 + y2 + 3xy2 + 5x − y + 10 em relação a x.

Sol.: Para x = x0 = a (constante), a função auxiliar é ψ (y) = a2 + y2 + 3ay2 + 5a − y + 10. Derivando em relação a y obtemos ψ ‘(y) = 2y + 6ay −1. Voltando com a = x, temos que,

derivada total de w =fxyz(,,) em relação conjunta às três variáveis x, y e z. Mas, existem as deri- vadas parciais, isto é:

tão, temos que a derivada parcial de w = f(x,y,z), no ponto P0 e, (i) em relação a x, é dada por fx y z fx x y z f x y z x x

(i) em relação a y, é dada por

fx y z fx y y z f x y z y y

(i) em relação a z, é dada por

fx y z fx y z z f x y z z z desde que os limites existam.

Se as derivadas parciais de w =fxyz(,,) existem em todos os pontos P = (x0,y0,z0) de uma região R do IR3, dizemos que w =fxyz(,,) é derivável parcialmente em R e, podemos calcular suas funções derivadas parciais em relação a x, y e z. (Basta trocar na definição 4, x0 por x, y0 por y, z0 por z e, calcular os limites).

Exemplo: Calcular as derivadas parciais em relação a x, y e z da função w =fxyz(,,) = x3y2z − 5xy +

3yz − 2xz + 10. Sol.: (a) Em relação a x:

∂∂wx f x xy z f xy z

=l im

∆x x y z x y yz x x z x y z xy yz xz

∂∂wx x y zx x z x y zx y x zx x =l im∆

(b) Em relação a y:

∂∂wy fx y y z f x y z

=l im

∆y xy y z x y y y y z xz x y z xy yz xz xy z x y z y

(c) Em relação a z:

∂∂wz fx y z z f x y z

=l im

∆z xy z z xy y z z x z z xy z xy yz xz

∂∂wz xy z y z x z

∆∆∆∆+−+−

CÁLCULO DAS DERIVADAS PARCIAIS DE w = f(x,y,z) De modo análogo ao caso anterior, vamos calcular as derivadas parciais de w =fxyz(,,) em relação as variáveis x, y e z, usando funções auxiliares que são funções de uma única variável. Isto é, as duas outras variáveis são consideradas como constantes.

(a) Derivação parcial em relação a x:

Vamos considerar a função auxiliar ϕ(x) =fxyz(,,)0 em que y = y0 e z = z0 são constantes. Então:

∂∂ ∂∂ ϕϕ ϕwx wx fx x y z f x y zx x x

x x yz

(b) Derivação parcial em relação a y:

Vamos considerar a função auxiliar ψ(y) =fxyz(,,)0 em que x = x0 e z = z0 são constantes. Então:

∂∂ ∂∂ ψψ ψwy wy fx y y z f x y zy y y

y y xz

(c) Derivação parcial em relação a z:

Vamos considerar a função auxiliar λ(y) =fxyz(,,)0 em que x = x0 e y = y0 são constantes. Então:

. ∂∂∂∂λλλwzwz fx y z z f x y z z z

z z xy

ção a x, y e z. Sol.: (a) Em relação a x:

Fazendo y = y0 = b e z = z0 = c, constantes, temos que ϕ(x) = f(x,b,c) = x3b2c − 5xb + 3bc − 2xc + 10. Derivando em relação a x, ϕ‘(x) = 3x2b2c − 5b − 2c. Voltando com os valores de b = y, c

= z, obtemos ∂∂w x

(b) Em relação a y:

Para x = x0 = a e z = z0 = c, constantes, ψ(y) = f(a,y,c) = a3y2c − 5ay + 3yc − 2ac + 10. Derivando em relação a y, obtemos ψ‘(y) = 2a3yc − 5a + 3c. Voltando com a = x e c = z, resulta

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