Derivadas Parciais

Derivadas Parciais

(Parte 1 de 8)

Def. 1: Seja w = f(P) = f(x1,x2,,xn) uma função de n variáveis. Chama-se acréscimo total

DERIVADAS TOTAIS E PARCIAIS de w = f(P) no ponto P0 ao número real:

Vamos considerar os seguintes casos:

10 CASO: Para as funções de uma única variável x, isto é, y =fx(), temos que P = x,
P0 = x0 e∆y = fx()− f(x0) = fxxfx()()0+−∆.

Geometricamente:

f(x0+∆x)
x0x0+∆x x

e dydx yx fx x f x a x, a partir de x0, por unidade de variação de x.

′ =fx dy dx()0 é a derivada total de y = fx() no ponto x0.

20 CASO: Para as funções de duas variáveis x e y, isto é, z =fxy(,), temos P = (x,y),
y0y0+∆y
x0P0 y
x0+∆xP=(x0+∆x,y0+∆)

Neste caso, ∆z depende das variações de ∆x e de ∆y. Vamos considerar, então, que ∆z de-

pende da distância do ponto P0 ao ponto P, d(P0,P), que representa o módulo do vetor PP0

dP P() 0 = taxa de variação média de z em relação às variações de x e y ou que, é a taxa de variação média de z em relação à variação da distância entre P0 e P e, que, dP P z dP P fP fP

P P() lim () lim fx x y y f x y xy→ ++ − é a taxa de variação (instantânea) de z em relação a x e a y, a partir do ponto P0, por unidade de distância de P0 a P. É, por analogia, chamada de derivada total de z = f(P) no ponto P0 e, em relação a x e a y.

Exemplo: Calcular a derivada total de z =fxy(,)= 3x2y, no ponto P0 = (1,2).

dP P fx y fxy xy xyxy xy

∆∆ ou,

xy x x y

= lim∆ ∆ xy x x y

Como o limite apresenta a indeterminação 0

0 e não apresenta simplificação, vamos usar os caminhos: ()Cxyxxxxx xxy

→ limlim e

C xy y yxy lim

Como os resultados são diferentes, não existe o limite. Isto é, esta função não tem derivada total no ponto (1,2).

Obs.: Em geral, z =fxy(,) não tem derivada total. Mas, em particular, vamos considerar os resul- tados dos limites por caminhos, isto é, as derivadas por caminhos ou, as derivadas parciais, definidas por:

Def. 2: Chama-se derivada parcial de z =fxy(,) no ponto P0 = (x0,y0) e, em relação a x, ao número real fxyx(,)0, definido por

fx y fx x y fx yx z x xyx x desde que o limite exista.

Obs.: Usamos a letra d para indicar a derivada total. Para não confundir, usamos a letra d do alfabeto Ronde, ∂, para indicar a derivada parcial. Analogamente, podemos ter a derivada parcial em relação a y, isto é:

Def. 3: Chama-se derivada parcial de z =fxy(,) no ponto P0 = (x0,y0) e, em relação a y, ao número real fxyy(,)0, definido por

fx y fx y y fx y z y xyy y

desde que o limite exista

Exemplos: 1) Determine as derivadas parciais de z =fxy(,) = 3x2y no ponto (1,2) e, em relação a x e, em relação a y.

Solução: (a) Em relação a x:

fx fx x x x x x

f x

(b) Em relação a y:

fy fy y y y

(a) Em relação a x:

fx y fx x y fx y x x (, ) lim x y x y

02002033

xy x y x y x x y xy y x x

(b) Em relação a y:

fx y fx y y fx y

y y (, ) lim xy y x y

= lim∆∆

Se a função z =fxy(,) admite derivadas parciais em relação a x e a y em todos os pontos

P0 de uma região D do plano IR2, dizemos que z =fxy(,) é derivável parcialmente em relação a x e a y em D. Neste caso, podemos definir as funções derivadas parciais em D. Isto é:

fx y fx x y fx y x x é a função derivada parcial de fxy(,) em D;

(i) ∂∂z

fx y fx y y fx y y y é a função derivada parcial de fxy(,) em D.

Exemplo: Vimos (ex. 2, anterior) que a função fxy(,) = 3x2y tem derivada parcial em relação a x e em relação a y, em todos os pontos (x0,y0) do IR2. Logo, é derivável parcialmente em IR2 e, suas funções derivadas parciais ou apenas derivadas parciais são:

fxyxyx==(,)6e ∂∂z

CÁLCULO DAS DERIVADAS PARCIAIS DE z = f(x,y) Para calcularmos as derivadas parciais de z =fxy(,) não precisamos calcular os limites que

as definem. Podemos usar as fórmulas de derivação usadas para o calculo das derivadas de

(a) Derivada parcial em relação a x: Para calcularmos as derivadas parciais em relação a x, vamos usar a função auxiliar ϕ (x) =fxy(,)0 em que consideramos y = y0 constante. Então:

fx y fx x y fx yx x x

Exemplos: 1) Calcular a derivada parcial em relação a x de z =fxy(,) = 3x2y.

Sol.: Considerando y = y0 = b (constante), temos a função auxiliar ϕ (x) =fxb(,) = 3x2b.

Derivando ϕ em relação a x, obtemos ϕ‘(x) = 6xb. Como ∂∂z x xb

=6 = ϕ‘(x), voltamos com o

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