De Pitagoras à Einstein

De Pitagoras à Einstein

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De Pitagoras a Einstein: uma breve historia da evolucao da geometria e seu uso na ciencia∗

Sandro Silva e Costa Marco de 2004

∗Esta e uma apostila preparada apenas para uma palestra sobre relatividade. As figuras aqui presentes foram reproduzidas sem autorizacao dos autores e, portanto, este nao e um produto comercializavel.

1 A geometria grega

O primeiro personagem nesta pequena historia da geometria e o triangulo retangulo: num triangulo retangulo, a soma dos quadrados dos catetos (de comprimentos a e b) e igual ao quadrado da hipotenusa (de comprimento c). Em linguagem matematica, a2 + b2 = c2 .

Essa ‘verdade’ geometrica e ensinada no Ocidente como sendo o enunciado basico do teorema que hoje leva o nome de Pitagoras, matematico e filosofo grego, que viveu entre os anos de 570 a 495 antes de Cristo. Para Pitagoras e seus discıpulos “o princıpio de todas as coisas e o numero”. Assim, para os pitagoricos “a aparencia superficial das coisas era apenas aparencia, ilusoria, pois o conhecimento da natureza das coisas e a apreciacao da ordem fundamental do mundo poderiam ser obtidos apenas pela compreensao delas em termos aritmeticos” [1]. A grande descoberta matematica dos pitagoricos nao foi a do teorema que hoje leva o nome de Pitagoras, pois ele ja havia sido descoberto anteriormente, por outros povos, mas sim a dos numeros irracionais, que surgem naturalmente quando se usa, por exemplo, um triangulo retangulo com catetos de comprimentos iguais.

No entanto, foi a observacao, feita nao apenas pelos gregos, de que os numeros inteiros 3, 4 e 5 satisfazem a relacao descrita no teorema de Pitagoras que teve maiores e mais profundas implicacoes filosoficas. Supondo que tres e um numero ligado a divindade e a perfeicao1 e que quatro e o numero ligado a Terra2, o cinco deve representar a acao da divindade na Terra. Combinacoes desses numeros ‘magicos’ sao valorizadas ate hoje em diversas culturas: 7 (= 3 + 4) dias da semana, 12 (= 3 + 4 + 5) meses do ano, 12 tribos, etc.

As ideias filosoficas dos pitagoricos foram muito importantes, como pode se ver na provavel influencia que tiveram sobre as ideias de Platao (428-348 a.C.), filosofo grego, discıpulo do filosofo Socrates, e professor de outro filosofo im-

1Para boa parte dos cristaos, hoje, Deus e uma trindade, mas para os hindus, antes dos cristaos, ja havia uma trindade divina fundamental: Brahma, Shiva e Vishnu. 2Os quatro cantos da terra, ou os quatro elementos formadores, ar, terra, fogo e agua, ou, ainda, no misticismo hindu as quatro castas em que as pessoas podem nascer.

portante, Aristoteles. Seja como pensador original ou como divulgador das ideias de Socrates, Platao e um personagem fundamental na historia da filosofia. “Sua obra, escrita em forma de dialogos, foi e ainda e muito influente” [1]. Seguindo provavelmente o caminho aberto pelos pitagoricos, Platao viu na matematica – que na sua epoca consistia principalmente da geometria – um possıvel caminho seguro para a conducao etica dos homens. A ideia de um cırculo, por exemplo, envolve uma perfeicao abstrata ideal, e embora dificilmente se consiga construir um cırculo totalmente perfeito, o cırculo pensado, essencial, do mundo das ideias, permanece visıvel mesmo nos cırculos imperfeitos do mundo real. A ideia de cırculo seria, assim, uma entidade de existencia independente do pensamento ou das opinioes humanas, servindo de guia para os cırculos reais, tal como outras ideias, eternas, incorporeas e perfeitas, existentes por si mesmas, poderiam servir de modelo para as acoes humanas.

No plano a forma mais perfeita geometricamente seria o cırculo, e em tres dimensoes a perfeicao estaria associada a esfera. Entretanto, assim como pode-se construir triangulos, quadrados e outros polıgonos regulares que vao cada vez mais se aproximando da esfera, pode-se construir poliedros regulares3 que se aproximam cada vez mais da esfera. No entanto, ha apenas cinco destes solidos regulares – o tetraedro (formado por quatro triangulos), o cubo (formado por seis quadrados), o octaedro (oito triangulos), o dodecaedro (doze pentagonos) e o icosaedro (vinte triangulos) – e eles sao conhecidos como solidos platonicos.

A base da geometria que hoje e ensinada nas escolas e descendente dos ensinamentos de Euclides, matematico grego que viveu por volta de 300 a.C. em Alexandria, sede da grande biblioteca da Antiguidade. Embora tenha sido autor de varios textos, como a A Otica e Os Dados, Euclides e conhecido por ter compilado um dos mais famosos trabalhos no campo da matematica, Os Elementos, um compendio em treze volumes que ainda constitui a base de muitos cursos de geometria. O que tornou esse seu livro famoso foi o metodo usado, de deducao logica de teoremas a partir de conceitos basicos, axiomas e de outros teoremas.

3Um poliedro regular e um solido com faces regulares, que possuem o mesmo numero de lados, e com o mesmo numero de lados se encontrando em cada vertice.

Figura 1: Imagens de demonstracoes do teorema de Pitagoras em chines e arabe.

Figura 2: Os cinco poliedros regulares chamados de solidos platonicos, formados apenas por figuras geometricas planas regulares.

Figura 3: Representacao do grego Euclides, que reuniu o conhecimento geometrico de sua epoca.

Os cinco postulados ou axiomas basicos de Euclides sao:

I. uma reta pode ser desenhada de um ponto a outro ponto qualquer; I. uma linha finita pode ser extendida continuamente numa reta; I. um cırculo pode ser descrito com qualquer centro e qualquer raio; IV. todos os angulos retos sao iguais;

V. se uma reta encontra outras duas retas de modo que a soma dos dois angulos internos em um mesmo lado dessa reta seja menor que a soma de dois angulos retos, as outras retas, se extendidas infinitamente, irao se encontrar.

O que impressiona quem le Os Elementos de Euclides e que se possa deduzir tanta coisa destes aparentemente simples cinco postulados. O quinto postulado, por sua vez, que e uma definicao de paralelismo entre retas, e o mais complexo deles e levou seculos para ser devidamente analisado em profundidade.

Na Antiguidade, o maior feito unindo a geometria com a descricao do mundo talvez tenha sido realizado pelo grego Eratostenes, que tambem viveu em Alexandria, no seculo I a.C. Observando as sombras geradas pelos raios do Sol em duas cidades diferentes num mesmo dia – o dia do solstıcio de verao – Eratostenes concluiu que a Terra era redonda e estimou, com um erro de menos de 10 %, o raio da Terra, usando apenas a geometria basica4 .

O apice do uso da geometria grega para a explicacao teorica do universo foi alcancado com Ptolomeu (Claudio Ptolomeu, 127-145 d.C.), astronomo e geografo grego que trabalhou em Alexandria. Sua principal obra, conhecida por seu tıtulo arabe, o Almagesto, consistia em um manual completo de astronomia, baseado no sistema geocentrico de outro grego, Hiparco. Como matematico, Ptolomeu realizou trabalhos importantes em geometria e publicou cinco livros sobre otica. Os ensinamentos de Ptolomeu, em especial seu sistema de movimentos circulares tendo a Terra como centro, tiveram enorme influencia sobre o pensamento medieval: a visao geocentrica do cosmos foi adotada como doutrina da Igreja Catolica ate o final do Renascimento, ou seja, por quase 1500 anos. Um bom motivo para a aceitacao da visao geocentrica do universo pode ser encontrado em qualquer Bıblia, no livro de Josue, capıtulo 10, versıculos 12 e 13:

“ Entao Josue falou ao Senhor, no dia em que o Senhor deu os amorreus na mao dos filhos de Israel, e disse aos olhos dos israelitas: Sol detem-te em Gibeao, e tu, lua, no vale de Aijalom. E o sol se deteve, e a lua parou, ate que o povo se vingou de seus inimigos. Isto nao esta escrito no livro do Reto? O sol, pois, se deteve no meio do ceu, e nao se apressou a por-se, quase um dia inteiro.”

Se a palavra de Deus diz que o sol e a lua pararam e porque eles se movem ao redor da Terra...

Deixando de lado as interpretacoes religiosas, deve-se ressaltar que o modelo geocentrico nao era ruim. Um dos problemas explicados por esse modelo era o do movimento dos planetas, que e diferente do das estrelas. A propria palavra

4Alem disso, Eratostenes tambem criou um metodo de se encontrar numeros primos, conhecido hoje como crivo de Eratostenes.

Figura 4: O movimento aparente de Marte no ceu.

planeta indica isso, pois vem do grego, onde significa errante, ja que os planetas parecem, as vezes, estrelas desgarradas, fora de seu caminho correto, que deveria ser com as outras estrelas. No sistema de Ptolomeu, esse mau-comportamento era explicado supondo-se que os planetas se moviam em cırculos presos a esferas que giravam ao redor da Terra.

A ideia de um universo ordenado, formado por movimentos perfeitos e, portanto, circulares parecia – e ainda parece – bom aos olhos de muita gente. Na Idade Media (cerca de 700 a.C. a 1553 d.C.), epoca dominada por uma religiosidade baseda na autoridade, pensava-se que o Universo era um lugar finito e ordenado, onde cada coisa tinha seu lugar natural: Deus e os anjos pertenciam ao ceu, os homens a Terra, as esposas a seus maridos e os escravos a seus donos, e a verdade pertencia a Deus e, por consequencia, a seus legıtimos representantes na Terra, os sacerdotes cristaos. Em retrospecto, viu-se que tal tipo de atitude conservadora foi pouco produtiva, de modo que a Idade Media passou a ser alcunhada de “Idade das Trevas”.

Renascimento e o nome aplicado ao movimento de renovacao intelectual e artıstica iniciado na Italia, no seculo XIV, e que atingiu seu apogeu no seculo XVI, influenciando varias outras regioes da Europa. A nocao de renascimento diz res-

Figura 5: A explicacao do movimento de Marte feita no sistema geocentrico de Ptolomeu, usando apenas movimentos circulares.

peito a restauracao dos valores do mundo classico, grego e romano. Nessa epoca, as lınguas europeias passaram a substituir o latim, tanto na poesia quanto na prosa. A invencao da imprensa contribuiu para a disseminacao das ideias, entre as quais estava uma nova abordagem centrada no homem, e nao mais em Deus ou na autoridade divina ou sacerdotal. A invencao da perspectiva significou a possibilidade de uma pintura mais realista da natureza. O novo espırito de investigacao estendeu-se a geografia e a cartografia, e o impulso de investigar o mundo levou ao descobrimento e colonizacao do Novo Mundo.

Um exemplo claro da mudanca ocorrida no Renascimento pode ser visto no contraste entre a arte gotica, predominante na Idade Media, que se caracterizava por apresentar figuras delgadas, padronizadas, sem uso de uma perspectiva tridimensional (o mesmo pode ser visto nas figuras egıpcias), e a arte de Leonardo da Vinci, por exemplo. Uma famosa tapecaria medieval, a Tapecaria de Bayeux5 , que conta a conquista da Inglaterra pelos normandos, embora seja bem mais realista que a media da arte de sua epoca, mostra personagens humanos rasos, o que

5Bayeux e uma pequena cidade no norte da Franca, na regiao da Normandia, proxima do litoral.

Figura 6: Pequeno detalhe da Tapecaria de Bayeux.

pode ser visto como significando que so Deus era profundo e completo. Ja durante a Renascenca, os pintores passaram a usar a terceira dimensao, e as pinturas, como A Ultima Ceia, de Leonardo da Vinci, passaram a ser feitas com perspectiva, mostrando cenas a partir do ponto de vista de um unico olho humano, nao do ponto de vista superior de Deus.

No campo cientıfico uma figura muito importante para o Renascimento foi o astronomo polones Nicolau Copernico (1473-1543). Em 1543, ele publicou, em seu livro De Revolutionibus Orbium Coelestium (Sobre a Revolucao das Orbitas Celestes6), um modelo heliocentrico do sistema solar, conhecido a partir de entao como sistema copernicano, cujo centro ficava proximo do Sol, e nao da Terra. O prefacio do livro, que nao foi escrito por Copernico, sugere que o sistema seja tratado meramente como um artifıcio matematico simples, mas Copernico parecia acreditar que fosse verdadeiro. A teoria heliocentrica, ao retirar a Terra do centro do palco celeste, despertou uma oposicao religiosa feroz. O teste de veracidade pelo qual o sistema copernicano precisava passar foi

6Desde o aparecimento deste livro a palavra revolucao ganhou um novo significado.

Figura 7: A Ultima Ceia, de Leonardo da Vinci.

feito por Johannes Kepler (1571-1630), astronomo alemao que foi o primeiro a descrever precisamente as orbitas elıpticas da Terra e dos planetas em torno do Sol. Kepler trabalhou com Tycho Brahe no observatorio de Tycho nos arredores de Praga e assumiu o observatorio quando ele morreu, em 1601. Tycho deixou para Kepler suas tabelas das posicoes estelares e planetarias. Com essas tabelas, depois de um grande esforco de analise, tentando um modelo matematico apos o outro, Kepler deduziu o que sao agora conhecidas como as leis de Kepler, mas a explicacao fısica dessas leis teve que esperar pela lei da gravitacao universal de Newton. Kepler tambem fez descobertas em optica, fısica geral e geometria. Segundo as ideias iniciais de Kepler, nao era por acaso que haviam apenas cinco planetas (Mercurio, Venus, Marte, Jupiter e Saturno, que sao os unicos visıveis a olho nu) e cinco solidos platonicos perfeitos: o universo tinha uma harmonia perfeita... As tres leis de Kepler sao:

• os planetas se movem em elipses com o Sol num dos focos;

• ao se movimentar, nas elipses, os planetas variam suas velocidades, var-

Figura 8: Representacao de Nicolau Copernico. 10 rendo areas iguais ao redor do Sol em tempos iguais;

• o tempo que um planeta leva para dar uma volta completa ao redor do Sol e tal que seu quadrado e proporcional ao cubo do raio medio da orbita.

Embora Kepler possa ter se decepcionado com a descoberta das orbitas elıpticas, pois elas iam contra sua ideia de harmonia, ele as aceitou como sendo verdadeiras, pois haviam sido deduzidas da observacao. Tal tipo de pensamento ja prenunciava o pleno advento da ciencia moderna.

3 O inıcio da fısica classica

Galileu Galilei (1564-1642), considerado um dos maiores cientistas de todos os tempos, nasceu em Pisa, na Italia. Observando candelabros oscilando na catedral local, descobriu como um pendulo pode ser usado para medir intervalos de tempo. Propos que todos os objetos, pesados ou leves, caem ao chao com a mesma velocidade (abstraindo-se os efeitos da resistencia do ar). No campo da otica Galileu aperfeicoou o telescopio de refracao, com o qual descobriu quatro luas de Jupiter em 1610. Tambem deduziu corretamente que o brilho da Lua deve-se a reflexao da luz solar. Ja idoso, foi preso pela inquisicao por apoiar a teoria de Copernico, isto e, a ideia de que o Sol (e nao a Terra) constitui o centro do nosso sistema planetario.

E sempre bom lembrar o que Galileu pensava sobre o conhecimento, chamado por ele de filosofia, tal como descrito em seu livro O Ensaiador:

“A filosofia encontra-se escrita neste grande livro que continuamente se abre perante nossos olhos (isto e, o universo), que nao se pode compreender antes de entender a lıngua e conhecer os caracteres com que esta escrito. Ele esta escrito em lıngua matematica, os caracteres sao triangulos, circunferencias e outras figuras geometricas, sem cujos meios e impossıvel entender humanamente as palavras; sem eles nos vagamos perdidos dentro de um obscuro labirinto.”

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