Exercicios resolvidos de fisica 1 cap 8, Exercícios de Engenharia de Materiais

Baixe Exercicios resolvidos de fisica 1 cap 8 e outras Exercícios em PDF para Engenharia de Materiais, somente na Docsity! LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, às 10:52 Exercı́cios Resolvidos de Dinâmica Clássica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı́sica teórica, Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Instituto de Fı́sica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul 91501-970 Porto Alegre, BRASIL Matéria para a QUARTA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro “Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Sumário 8 Conservação da Energia 2 8.1 Problemas e Exercı́cios . . . . . . . . . 2 8.1.1 Determinação da Energia Po- tencial . . . . . . . . . . . . . . 2 8.1.2 Usando a Curva de Energia Po- tencial . . . . . . . . . . . . . . 9 8.1.3 Conservação da Energia . . . . 9 8.1.4 Trabalho Executado por Forças de Atrito . . . . . . . . . . . . 9 8.1.5 Massa e Energia . . . . . . . . 12 Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (listam2.tex) http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 1 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, às 10:52 8 Conservação da Energia 8.1 Problemas e Exercı́cios 8.1.1 Determinação da Energia Potencial E 8-1 (
na 6  edição) Uma determinada mola armazena  J de energia po- tencial quando sofre uma compressão de   cm. Qual a constante da mola? Como sabemos que a energia potencial elástica arma- zenada numa mola é  , obtemos facilmen- te que       ! " "  $# %'&)(*"+ N/m  E 8-6 (8-3/6  ) Um pedacinho de gelo se desprende da borda de uma taça hemisférica sem atrito com ! cm de raio (Fig. 8- 22). Com que velocidade o gelo está se movendo ao chegar ao fundo da taça? A única força que faz trabalho sobre o pedacinho de gelo é a força da gravidade, que é uma força conservati- va. Chamando de ,.- a energia cinética do pedacinho de ge- lo na borda da taça, de ,0/ a sua energia cinética no fundo da taça, de 1- sua energia potencial da borda e de 2/ sua energia potencial no fundo da taça, temos então, /43 / $, -53 -  Consideremos a energia potencial no fundo da taça co- mo sendo zero. Neste caso a energia potencial no topo vale 1-687:9; , onde ; representa o raio da taça e 7 representa a massa do pedacinho de gelo. Sabemos que,.-<=" pois o pedacinho de gelo parte do repouso. Cha- mando de > a velocidade do pedacinho de gelo ao atin- gir o fundo, temos então, da equação da conservação da energia acima que 709;?=7@> , o que nos fornece>'BA C9;D A  % #!E " !F$GH( m/s  E 8-8 (8-13/6  ) Um caminhão que perdeu os freios está descendo uma estrada em declive a (*I" km/h. Felizmente a estrada dispõe de uma rampa de escape, com uma inclinação de (J (Fig. 8-24). Qual o menor comprimento da rampa para que a velocidade do caminhão chegue a zero an- tes do final da rampa? As rampas de escape são quase sempre cobertas com uma grossa camada de areia ou cascalho. Por quê? Nota: uso o valor (KI!" km/h da sexta edição do livro, em vez dos (*" km/h da quarta, já que na quarta edição não é fornecida nenhuma resposta. Despreze o trabalho feito por qualquer força de fricção. Neste caso a única força a realizar trabalho é a força da gravidade, uma força conservativa. Seja ,.- a energia cinética do caminhão no inı́cio da rampa de es- cape e ,0/ sua energia cinética no topo da rampa. Seja 2- e / os respectivos valores da energia potencial no inı́cio e no topo da rampa. Então,0/ 3 2/6$,.- 3 1-L Se tomarmos a energia potencial como sendo zero no inı́cio da rampa, então 2/MN709O , onde O é a altura final do caminhão em relação à sua posição inicial. Te- mos que ,.-P$7@> , onde > é a velocidade inicial do caminhão, e ,0/0Q" já que o caminhão para. Portanto7:9O.R7@> , donde tiramos que O: >C9  S(*I" &T(K" + CI!U""S5 %5 # =U!U I m  Se chamarmos de V o comprimento da rampa, então te- remos que V sen (J)WO , donde tiramos finalmente que VX O sen (* J  U!U Isen (* J  "U m  Areia ou cascalho, que se comportam neste caso como um “fluido”, tem mais atrito que uma pista sólida, aju- dando a diminuir mais a distância necessária para parar o veı́culo. E 8-10 (
na 6  ) Um projétil com uma massa de G Y kg é disparado pa- ra cima do alto de uma colina de ( m de altura, com uma velocidade de (" m/s e numa direção que faz um ângulo de Y(*J com a horizontal. (a) Qual a energia cinética do projétil no momento em que é disparado? (b) Qual a energia potencial do projétil no mesmo mo- mento? Suponha que a energia potencial é nula na ba- se da colina ( Z$[" ). (c) Determine a velocidade do projétil no momento em que atinge o solo. Supondo que a resistência do ar possa ser ignorada, as respostas acima dependem da massa do projétil? http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 2 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, às 10:52 (b) A componente vertical é dada por >Š‹ ‰ > - tT> ˆ  b ,.-7 tT> ˆ b ] S(""  tŒYq= m/s (c) No tal instante a energia cinética , do projétil é, { 7@>   {  7Nc > ˆ t)> Š d { " !Ž Y  3 U e (K%!UY J  Chamemos de ‘ o deslocamento vertical desde o ponto inicial até o instante em questão. Então,’ -< { 7@> - =, 3 “R, 3 709G‘5g o que nos fornece ‘  (7:96” {  7:> - tŒ,–• ( "5 !] % #!|— ("˜t(K%!UY™ t˜CU5 # m  Portanto o ponto ‘ em questão encontra-se ABAIXO da posição inicial de lançamento. P 8-19 (
na 6  ) Uma bola de " g é arremessada de uma janela com uma velocidade inicial de # m/s e um ângulo de I"J para ci- ma em relação à horizontal. Determine (a) a energia cinética da bola no ponto mais alto da trajetória e (b) a sua velocidade quando se encontra a I m abaixo da ja- nela. A resposta do item (b) depende (c) da massa da bola ou (d) do ângulo de arremesso? (a) No topo da trajetória, a componente vertical da velocidade da bola é zero enquanto que sua componente horizontal continua sendo > ˆ s>Cš\›EœI" J , onde >Cš é o módulo da velocidade da bola. A energia cinética , da bola de massa 7 é, portanto,, { 7ž> ˆ  {  _" &T(K" k +]'Ÿ #E ›Eœ!I" J    f(  J  (b) Quando a bola se move com uma velocidade > a uma distância OT^I m abaixo da janela, sua energia poten- cial é menor que o seu valor inicial, a diferença sendo igual a tz7:9GO . Conservação da energia então fornece{  7:> š  {  7@>  tT7:9GO\g donde obtemos>'B‰ > š 3 9O. A #  3 !E % #!E I!1^(( m/s  (c) e (d) Da expressão para > acima, fica bem claro que> não depende nem da massa da bola nem do ângulo inicial. P 8-20 (
na 6  ) A mola de uma espingarda de mola tem uma constan- te de ( N/cm. Quando a espingarda faz um ângulo deI!" J para cima em relação h̀orizontal, uma bala de " g é disparada e atinge uma altura de  m acima do cano da espingarda. (a) Qual a velocidade da bala ao deixar o cano? (b) De quanto a mola estava comprimida no momento do disparo? (a) Chamando-se de >Cš o módulo da velocidade ini- cial da bala de massa 7 , temos que a componente ho- rizontal da velocidade é > ˆ 8>Cš<›Eœ!5I" J . No topo da trajetória, a bala tem apenas velocidade horizontal. Por- tanto, a conservação da energia mecânica nos diz que{  7:> J  {  7@> ˆ 3 709Z max { 7 — > š ›Eœ!5I" J   3 709Z max o que nos fornece > š  b 9Z max(ztŒ›Eœ!  I" J  A !E % #!E _ sen I!" J =Y¡ % #6f(G  m/s  (b) A mola estava comprimida de  tal que, pela conservação da energia, tenhamos{  G   {  7@> š g donde obtemos@> š b 7  f L(*G  b "5 ""(K"!" R"5 # m  P 8-21 (
na 6  ) http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 5 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, às 10:52 Uma bala de morteiro de  kg é disparada para cima com uma velocidade inicial de (*"" m/s e um ângulo de IYJ em relação à horizontal. (a) Qual a energia cinética da bala no momento do disparo? (b) Qual é a variação na energia potencial da bala até o momento em que atinge o ponto mais alto da trajetória? (c) Qual a altura atingida pela bala? (a) Seja 7 a massa da bala e > š sua velocidade inicial. A energia cinética inicial é então,.-\ ( 7:> š  ( !E S(*""  $ q&Œ(K"‚ J  (b) Tome o zero da energia potencial gravitacional como sendo o ponto de tiro e chame de / a energia potencial no topo da trajetória. / coincide então com a variação da energia potencial deste o instante do tiro até o instan- te em que o topo da trajetória é alcançada. Neste ponto a velocidade da bala é horizontal e tem o mesmo valor que tinha no inı́cio: > ˆ s>Cš\›]œ!G¢š , onde ¢š é o ângulo de tiro. A energia cinética no topo é,0/‡ ( 7:> ˆ  ( 7@> š ›Eœ  ¢ š  Como a energia mecânica é conservada( 7@> š  / 3 ( 7:> š ›]œ!  ¢ š  Portanto 2/  ( 7@> š S(ztŒ›Eœ!  ¢ š  ( 7@> š sen  ¢ š ( !E L(K""  sen  IY J  # &)(*" + J  (c) A energia potencial no topo da trajetória é também dada por /£7:9GO , onde O é a altura (desnı́vel) do topo em relação ao ponto de tiro. Resolvendo para O , encontramos:O0 /7:9  G # &T(K" + _] % #! ^(KU!" m  P 8-23 (8-23/6  ) A corda da Fig. 8-31 tem VMQ(*" cm de comprimento e a distância ‘ até o pino fixo ¤ é de  cm. Quando a bola é liberada em repouso na posição indicada na fi- gura, descreve a trajetória indicada pela linha tracejada. Qual é a velocidade da bola (a) quando está passando pelo ponto mais baixo da trajetória e (b) quando chega ao ponto mais alto da trajetória depois que a corda toca o pino? Chame de ¥ o ponto mais baixo que a bola atinge e de ¦ o ponto mais alto da trajetória após a bola to- car no pino. Escolha um sistemas de coordenada com o eixo Z originando-se no ponto ¥ e apontando para ci- ma. A energia inicial da bola de massa 7 no campo gravitacional da Terra antes de ser solta vale ’ 7:9GV . Conservação da energia fornece-nos então uma equação para a velocidade > da bola em qualquer lugar especifi- cado pela coordenada Z :’ =709GVu ( 7:>  3 7:9Z (a) Com Z§ls" em 709GVM { 7:>§ 3 7:9Z§ , obtemosfacilmente que> §  A 9GVŒ A ] %5 #E S(! !1RY # m/s  (b) Importante aqui é perceber que o tal ponto mais alto da trajetória depois que a corda toca o pino não é o pon- to V t'‘ (como a figura parece querer indicar) mas sim o ponto Z¨l$ V@t@‘ , pois a bola tem energia suficiente para chegar até ele! É neste detalhezito que mora o pe- rigo... :-) Substituindo Z¨ em 7:9Vl { 7:>¨ 3 7:9Z!¨ ,obtemos então facilmente que> ¨  A 9© ‘DtTVpª A  % #!Ec  "«!|tM(  d  Y m/s  Qual a razão deste último valor ser a metade do ante- rior?... P 8-25 (8-25/6  ) Deixa-se cair um bloco de  kg de uma altura de Y!" cm sobre uma mola cuja constante é f(*%U" N/m (Fig. 8- 32). Determine a compressão máxima da mola. Seja 7 a massa do bloco, O a altura da queda e  a compressão da mola. Tome o zero da energia potencial como sendo a posição inicial do bloco. O bloco cai uma distância O 3  e sua energia potencial gravitacional final é tz709© O 3  . Valores positivos de  indicam ter ha- vido compressão da mola. A energia potencial da mola é inicialmente zero e C no final. A energia cinética é zero tanto no inı́cio quanto no fim. Como a energia é conservada, temos"6^tz709© ¬ 3  3 (    http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 6 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, às 10:52 As soluções desta equação quadrática são   7:9?­ A 709  3 C7:9GO  (*% Uz­ A S(K%5 U  3  L(K% U!] _#Y(K%!U" que fornece dois valores para  : "5o(*" m ou tv" "#!" m. Como procuramos uma compressão, o valor desejado é"H(K" m. P 8-27 (8-27/6  ) Duas crianças estão competindo para ver quem conse- gue acertar numa pequena caixa com uma bola de gu- le disparada por uma espigarda de mola colocada sobre uma mesa. A distância horizontal entre a borda da mesa e a caixa é de   m (Fig. 8-34). João comprime a mola(H( cm e a bola cai ! cm antes do alvo. De quando deve Maria comprimir a mola para acertar na caixa? A distância que a bola de gude viaja é determina- da pela sua velocidade inicial, que é determinada pela compressão da mola. Seja O a altura da mesa e  a distância horizontal até o ponto onde a bola de gude aterrisa. Então “m> š*® eOm9 ® K , onde >Cš é a velocidade inicial da bola de gude e ® é o tempo que ela permanece no ar. A segunda equação fornece®  A !O9 de modo que @š A O*9 A distância até o ponto de aterrisagem é diretamente proporcional à velocidade inicial pois Q[>Cš ® . Seja>Cš { a velocidade inicial do primeiro tiro e  { a distância horizontal até seu ponto de aterrisagem; seja >Cš  a velo- cidade inicial do segundo tiro e   a distância horizontal até seu ponto de aterrisagem. Então> š     { > š {  Quando a mola é comprimida a energia potencial é}]C¯ , onde } é a compressão. Quando a bola de gude perde contato da mola a energia potencial é zero e sua energia cinética é 7@>š  . Como a energia mecânica é conservada, temos ( 7@> š  ( }  g de modo que a velocidade inicial da bola de gude é dire- tamente proporcional à compressão original da mola. Se} { for a compressão do primeiro tiro e }  a do segundo, então > š  ° ±}  *} { S> š { . Combinando isto com o resul- tado anterior encontramos }  [    { } { . Tomando agora  { ² " tM"5 )[( %I m, } { [(H(K" cm, e  $  m, encontramos a compressão }  desejada:}   ”  " m(! %!I m • S(!o(*" cm f(  cm  P 8-31 (8-26/6  ) Tarzan, que pesa U!## N, decide usar um cipó de (K# m de comprimento para atravessar um abismo (Fig. 8-36). Do ponto de partida até o ponto mais baixo da trajetória, desce I5  m. O cipó é capaz de resitir a uma força máxima de %!" N. Tarzan consegue chegar ao outro la- do? Chamando de 7 a massa do Tarzan e de > a sua ve- locidade no ponto mais baixo temos que( 7@>  7:9GO\g onde O é a altura que Tarzan desce. Desta expressão tiramos que >  =C9GO.9© I5 !F$U Y9 Por outro lado, no ponto mais baixo temos, da segunda lei de Newton, que a força centrı́peta está relacionada com a tensão no cipó através da equação³ tT7:9 7 > ´g onde ´ é o raio da trajetória. Portanto, temos que³ R709 3 7 >´  7:9 3 U5 Y!709´ U#!# ” ( 3 U5 Y(K# • %IG U N  Como ³`µ %" N, vemos que Tarzan consegue atra- vessar, porém estirando o cipó muito perto do limite máximo que ele agüenta! P 8-32 (8-29/6  ) Na Fig. 8-31 mostre que se a bola fizer uma volta com- pleta em torno do pino, então ‘$¶mI!Vp . (Sugestão: A bola ainda deve estar se movendo quando chegar ao ponto mais alto da trajetória. Você saberia explicar por quê?) http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 7 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, às 10:52 E 8-51 (
na 6  ) Uma mulher de  kg sobe correndo um lance de escada de Y5  m de altura em I5  s. Qual a potência desenvol- vida pela mulher? ¤s !E % #!] Y5 I  $U%!I W  E 8-55 (
na 6  ) Um nadador se desloca na água com uma velocidade média de "  m/s. A força média de arrasto que se opõe a esse movimento é de ((K" N. Qual a potência média de- senvolvida pelo nadador? Para nada com velocidade constante o nadador tem que nadar contra a água com uma força de (!(K" N. Em relação a ele, a água passa a "5 ! m/s no sentido dos seus pés, no mesmo sentido que sua força. Sua potência é ¤fRÆMÃEÇ) €6È ^ L((K"E " FCY W  E 8-64 (8-43/6  ) Um urso de  kg escorrega para baixo num troco de árvore a partir do repouso. O tronco tem ( m de al- tura e a velocidade do urso ao chegar ao chão é de G U m/s. (a) Qual a variação da energia potencial do urso? (b) Qual a energia cinética do urso no momento em que chega ao chão? (c) Qual a força média de atrito que agiu sobre o urso durante a descida? (a) Considere a energia potencial gravitacional inicial como sendo 1-^" . Então a energia potencial gravita- cional final é / ftz7:9GV , onde V é o comprimento da árvore. A variação é, portanto, 2/?tu 1-\^tz709GV  t6 _] %5 #E S( t4 %Y'&T(K" + J  (b) A energia cinética é, ( 7:>   ( !E _G U!  =I% J  (c) De acordo com a Eq. 8-26, a variação da energia mecânica é igual a t4ÉV , onde É é a força de atrito média. PortantoÉ@ft r , 3 r V “t I%˜tŒ%Y!"(* G(K" N  P 8-66 (8-51/6  ) Um bloco de I  kg é empurrado a partir do repouso por uma mola comprimida cuja constante de mola é UY" N/m (Fig. 8-45). Depois que a mola se encontra total- mente relaxada, o bloco viaja por uma superfı́cie hori- zontal com um coeficiente de atrito dinâmico de "5 ! , percorrendo uma distância de  # m antes de parar. (a) Qual a energia mecânica dissipada pela força de atrito? (b) Qual a energia cinética máxima possuı́da pelo blo- co? (c) De quanto foi comprimida a mola antes que o bloco fosse liberado? (a) A magnitude da força de fricção é É@RÊ\ËCÀ , ondeÊ\Ë é o coeficiente de atrito dinâmico e À é a força nor- mal da superfı́cie sobre o bloco. As únicas forças verti- cais atuantes no bloco são a força normal, para cima, e a força da gravidade, para baixo. Como a componente vertical da aceleração do bloco é zero, a segunda lei de Newton nos diz que ÀmR709 , onde 7 é a massa do blo- co. Portanto É~Ê Ë 7:9 . A energia mecânica dissipada é dada por r ’ ÌÉ}ÍÎÊ Ë 709} , onde } é a distância que o bloco anda antes de parar. Seu valor ér ’ B "5 !E I ] % #!] _G #P$UU5 #!# J  (b) O bloco tem sua energia cinética máxima quando perde contato com a mola e entra na parte da superfı́cie onde a fricção atua. A energia cinética máxima é igual à energia mecânica dissipada pela fricção: UU5 #!# J. (c) A energia que aparece como energia cinética esta- va ariginalmente armazenada como energia potencial elástica, da mola comprimida. Portanto r ’ †* , onde  é a constante da mola e  é a compressão. Logo, @ b  r ’  b 5 U!U ##!UY!" $" Y! m n=Y!U cm  P 8-69 (8-55/6  ) Dois montes nevados têm altitudes de #" m e " m em relação ao vale que os separa (Fig. 8-47). Uma pis- ta de esqui vai do alto do monte maior até o alto do monte menor, passando pelo vale. O comprimento to- tal da pista é I  km e a inclinação média é I"!J . (a) Um esquiador parte do repouso no alto do monte maior. Com que velovidade chegará ao alto do monte menor sem se impulsionar com os bastões? Ignore o atrito. (b) Qual deve ser aproximadamente o coeficiente de atrito http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 10 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, às 10:52 dinâmico entre a neve e os esquis para que o esquiador pare exatamente no alto do pico menor? (a) Tome o zero da energia potencial gravitacional co- mo estando no vale entre os dois picos. Então a energia potencial é - 7:9O - , onde 7 é a massa do esquiador e O - é a altura do pico mais alto. A energia potencial final é / ^7:9O / , onde O / é a altura do pico menor. Inicialmente o esquiador tem energia cinética , - †" . Escrevamos a energia cinética final como , / 7@>   , onde > é a velocidade do esquiador no topo do pico me- nor. A força normal da superfı́cie dos montes sobre o esquiador não faz trabalho (pois é perpendicular ao mo- vimento) e o atrito é desprezı́vel, de modo que a energia mecânica é conservada: 2- 3 ,0-1° 2/ 3 ,0/ , ou seja,7:9GO-\R7:9O/ 3 7@> , donde tiramos>' ‰ C9 _O5-tXO/! A 5 %5 #E #"jtu"1YY m s  (b) Como sabemos do estudo de objetos que deslizam em planos inclinados, a força normal da superfı́cie in- clinada dos montes no esquiador é dada por À 7:9l›Eœ!¢ , onde ¢ é o ângulo da superfı́cie inclinada em relação à horizontal, I"J para cada uma das superfı́cies em questão. A magnitude da força de atrito é dada porÉ~Ê\ËCÀNÊ\Ë*7:9M›]œ!G¢ . A energia mecânica dissipa- da pela força de atrito é É}jsÊ\Ë7:9!}~›]œ!G¢ , onde } é o comprimento total do trajeto. Como o esquiador atinge o topo do monte mais baixo sem energia cinética, a ener- gia mecânica dissipada pelo atrito é igual à diferença de energia potencial entre os pontos inicial e final da tra- jetória. Ou seja,Ê\Ë*7:9}:›EœG¢q7:9 _O - tŒO / Eg donde tiramos Ê Ë :Ê Ë  O-©tŒO/}@›]œ!G¢ #!"˜tu" I5 '&T(K" + '›Eœ'I!" J $" "IU5 P 8-74 (
na 6  ) Uma determinada mola não obedece à lei de Hooke. A força (em newtons) que ela exerce quando distendida de uma distância  (em metros) é de G # 3 I!# Y  , no sentido oposto ao da distensão. (a) Calcule o traba- lho necessário para distender a mola de u†"5  m até^`(! " m. (b) Com uma das extremidades da mola mantida fixa, uma partı́cula de GH( kg é presa à ou- tra extremidade e a mola é distendida de uma distância l²( " . Em seguida, a partı́cula é liberada sem velo- cidade inicial. Calcule sua velocidade no instante em que a distensão da mola diminuiu para w"5  m. (c) A força exercida pela mola é conservativa ou não- conservativa? Explique sua resposta. (a) Para distender a mola aplica-se uma força, igual em magnitude à força da mola porém no sentido oposto. Como a uma distensão no sentido positivo de  exerce uma força no sentido negativo de  , a força aplicada tem que ser € BG # 3 I# Y , no sentido positivo de  .O trabalho que ela realiza éÏ  ½ {eÐ šš Ð · !G # 3 I#5 Y!  L‘ Ž !G #   3 I#5 YI +  {eÐ šš Ð · =I5( " J  (b) A mola faz I( J de trabalho e este deve ser o au- mento da energia cinética da partı́cula. Sua velocidade é então >' b ,7  b 5 I5( "!GH( = I m/s  (c) A força é conservativa pois o trabalho que ela faz quando a partı́cula vai de um ponto  { para outro pon- to   depende apenas de  { e   , não dos detalhes do movimento entre  { e   . P 8-79 (8-61/6  ) Uma pedra de peso Ñ é jogada verticalmente para cima com velocidade inicial >Cš . Se uma força constante É de- vido à resistência do ar age sobre a pedra durante todo o percurso, (a) mostre que a altura máxima atingida pela pedra é dada por O0 >šC9 L( 3 É|Cј  (b) Mostre que a velocidade da pedra ao chegar ao solo é dada por > R>Cš ” Ñ=tXÉÑ 3 É • { ¿   (a) Seja O a altura máxima alcançada. A energia mecânica dissipada no ar quando a pedra sobe até a altu- ra O é, de acordo com a Eq. 8-26, r ’ ^t4É©O . Sabemos que r ’ B ,0/ 3 2/Pt ,.- 3 1-eg http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 11 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, às 10:52 onde ,.- e ,0/ são as energias cinéticas inicial e final, e 1- e 2/ são as energias poetenciais inicial e final. Esco- lha a energia como sendo zero no ponto de lançamento da pedra. A energia cinética inicial é ,.-˜Ò7@>š  , a energia potencial inicial é - “" , a energia cinética fi- nal é , / 8" e a energia potencial final é / ÎјO . Portanto t4É©O:јO.t)7@> J  , donde tiramosO0 7@>š Ñ 3 É©  Ñv>š9© Ñ 3 É©  >šC9 L( 3 É|Ñj g onde substituimos 7 por Ñ?*9 e dividimos numerador e denominador por Ñ . (b) Note que a força do ar é para baixo quando a pe- dra sobe e para cima quando ela desce. Ela é sempre oposta ao sentido da velocidade. A energia dissipada durante o trajeto no ar todo é r ’ Ót4!É©O . A ener- gia cinética final é , / B7@>C , onde > é a velocida- de da pedra no instante que antecede sua colisão com o solo. A energia potencial final é / ²" . Portantot4É©O.=7@>5tv7:>š  . Substituindo nesta expressão a expressão encontrada acima para O temost É>šC9 L( 3 É|Cј  ( 7:>  t ( 7@> š  Deste resultado obtemos>  => š t É> š7:9 L( 3 É|Cј  > š t É> šÑ‡ S( 3 É|Cј  > š ” (zt !ÉÑ 3 É •  > š ” ÑRtXÉÑ 3 É •Fg de onde obtemos o resultado final procurado:>'=> š ” ÑRtXÉÑ 3 É • { ¿   Perceba que para ÉRÎ" ambos resultados reduzem-se ao que já conheciamos, como não podeia deixar de ser. 8.1.5 Massa e Energia E 8-92 (
na 6  ) (a) Qual a energia em Joules equivalente a uma massa de (*"! g? (b) Durante quantos anos esta energia aten- deria às necessidades de uma famı́lia que consome em média ( kW? (a) Usamos a fórmula ’ R7ÍÔE :’ f "H(K"!!E _G %%#q&T(K" Ä   =%H(‡&)(*" { · J  (b) Usamos agora ’ R¤ ® , onde ¤ é a taxa de consumo de energia e ® é o tempo. Portanto, ®  ’ ¤  %H(‡&T(K" { ·(D&)(*" + %H(‡&T(K" {  segundos G %(?&T(K" · anos! P 8-96 (
na 6  ) Os Estados Unidos produziram cerca de G I(@&(*" {  kW à h de energia elétrica em 1983. Qual a massa equi- valente a esta energia? Para determinar tal massa, usamos a relação ’ 7ÍÔE , onde ԇB %!%#&l(K" Ä m/s é a velocidade da luz. Primeiro precisamos converter kW à h para Joules: I5(˜&T(K" {  kW à h  G I(?&T(K" {  S(K" + W E IU"!" s  # I!q&T(K" { Ä J  Portanto 78 ’Ô   #5 I‡&T(K" { Ä _G %%#q&T(K" Ä   $%!  kg  http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 12 de 12