Baixe Aula 3 e outras Notas de aula em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! 1 Eletrônica Digital Prof. Arthur Braga Tópicos Álgebra Booleana Constantes e variáveis Booleanas Tabela-Verdade Operações OR, AND e NOT, e suas Portas Lógicas Descrevendo Circuitos Lógicos Algebricamente Avaliando as saídas dos Circuitos Lógicos Implementando circuitos a partir de expressões Booleanas Portas NOR e Portas NAND Teoremas Booleanos Teoremas de DeMorgan Universalidade das Portas NAND e NORK 2 Álgebra Booleana Constantes e Variáveis Booleanas A Álgebra Booleana é uma ferramenta matemática que nos permite descrever relações entre as entradas e as saídas dos circuitos lógicos como uma equação algébrica (uma expressão Booleana). A principal diferença entre a álgebra Booleana e a álgebra convencional é que as constantes e variáveis podem assumir apenas dois valores possíveis: 0 e 1. As variáveis Booleanas não representam efetivamente números, mas sim o estado da variável monitorada – indica um nível lógico. Entradas Saída FIGURA 3-1 Exemplos de tabelas –verdade para circuitos de: (a) duas entradas, (b) três entradas e (c) quatro entradas. Tabela-Verdade 5 Operação OR (“OU”) e a Porta OR Considere que os diagramas de tempo abaixo correpondem às entradas A, B e C da porta lógica OR. Acompanhe como serão as saídas obtidas. FIGURA 3-7 (a) Tabela-verdade para a operação AND; (b) símbolo da porta AND. Operação AND (“E”) e a Porta AND 6 FIGURA 3-8 Tabela-verdade e símbolo para uma porta AND de três entradas. Operação AND (“E”) e a Porta AND Operação AND (“E”) e a Porta AND Considere que os diagramas de tempo abaixo correpondem às entradas A e B da porta lógica OR. Acompanhe como serão as saídas obtidas. 7 Operação AND (“E”) e a Porta AND Considere que os diagramas de tempo abaixo correpondem às entradas A e B da porta lógica OR. Acompanhe como serão as saídas obtidas. FIGURA 3-11 (a) Tabela-verdade; (b) símbolo para o INVERSOR (circuito NOT); (c) exemplos de formas de ondas. Operação NOT (“NÃO”) ou Inversor 10 Descrevendo Circuitos Lógicos Algebricamente Qualquer circuito lógico, não importando sua complexidade, pode ser descrito usando as três operações Booleanas básicas pois as portas OR, AND e INVERSOR são os blocos fundamentais dos sistemas digitais. Desta forma, qual seria a expressão para a saída do circuito abaixo ? Descrevendo Circuitos Lógicos Algebricamente De forma semelhante, qual seria a expressão para a saída do circuito abaixo ? 11 Uma vez de posse da expressão Booleana para a saída de um circuito, podemos obter o nível lógico da saída para qualquer conjunto de níveis lógicos de entrada. Exemplo I: A = 0, B = 1, C = 1 e D = 1. ( )DABCAx += 0 0 1 1 1 )1( 1 1 1 )1 0( 1 1 1 )1 0( 1 1 0 = ⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅= +⋅⋅⋅= +⋅⋅⋅= Avaliando as saídas dos Circuitos Lógicos Uma vez de posse da expressão Booleana para a saída de um circuito, podemos obter o nível lógico da saída para qualquer conjunto de níveis lógicos de entrada. Exemplo II: A = 0, B = 0, C = 1, D = 1 e E = 1. ( )[ ] ECBADx ⋅⋅++= ( )[ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 00 1 = ⋅= ⋅+= ⋅+= ⋅⋅+= ⋅⋅++= Avaliando as saídas dos Circuitos Lógicos 12 Em resumo, segue-se as seguintes regras para se avaliar uma expressão Booleana: 1. Primeiro, realize as inversões de termos simples. 2. Em seguida, realize todas operações dentro de parêntesis. 3. Realize as operações AND antes das operações OR (a menos que os parêntesis indiquem o contrário). 4. Se uma expressão tiver uma barra sobre ela, realize a operação indicada pela expressão e, em seguida, inverta o resultado. Avaliando as saídas dos Circuitos Lógicos Avaliando as saídas dos Circuitos Lógicos. O nível lógico da saída, em função dos níveis lógicos especificados para as entradas, pode ser determinado diretamente a partir do diagrama do circuito sem usar a expressão Booleana. Esta técnica é muitas vezes utilizada para a análise de defeitos, ou teste de um sistema lógico. 15 Portas NOR e Portas NAND Dois outros tipos de portas lógicas, as portas NAND e NOR, são muito usados em circuito digitais. Na realidade elas combinam as operações básicas AND, OR e NOT, de modo que é relativamente simples escrever suas expressões Booleanas. FIGURA 3-19 (a) Símbolo de porta NOR; (b) Circuito equivalente; (c) Tabela-verdade. PORTA NOR (“NÃO-OU”) Portas NOR e Portas NAND Dois outros tipos de portas lógicas, as portas NAND e NOR, são muito usados em circuito digitais. Na realidade elas combinam as operações básicas AND, OR e NOT, de modo que é relativamente simples escrever suas expressões Booleanas. PORTA NAND (“NÃO-E”) FIGURA 3-22 (a) Símbolo da porta NAND; (b) Circuito equivalente; (c) Tabela-verdade. 16 Portas NOR e Portas NAND Determine a expressão Booleana para uma porta NOR de três entradas seguidas de um inversor. Sempre que duas barras estiverem sobre a mesma variável ou expressão, uma cancela a outra, como mostrado acima. Entretanto, em casos como: BA+ as barras de inversão não se cancelam. Assim: BABA +≠+ BABA ⋅≠⋅ Portas NOR e Portas NAND Implemente, usando apenas portas NOR e NAND, o circuito lógico que tem como expressão: ( )DCABx +⋅= COMENTÁRIOS: o termo é a expressão para a saída de uma porta NOR. Deve-se fazer uma operação AND desse termo com A e B, e inverter o resultado – gerando uma operação NAND. ( )DC + 17 Teoremas Booleanos Vimos como a Álgebra Booleana pode ser usada para ajudar na análise de um circuito lógico e como expressar matematicamente a operação do circuito. Prosseguimos no uso da Álgebra Booleana investigando teoremas Booleanos, que poderão nos ajudar a simplificar expressões lógicas e circuitos lógicos. Começaremos com os teoremas para uma variável lógica, acompanhados de um circuito lógico para demonstrar sua validade. Em seguida, serão apresentados os teoremas com mais de uma variável lógica. Teoremas Booleanos Teoremas com 1 variável lógica 20 Teoremas de DeMorgan Dois dos mais importantes teoremas da álgebra Booleana foram uma contribuição do matemático Augustus DeMorgan. Os teoremas de DeMorgan são extremamente úteis na simplificação de expressões nas quais um produto, ou uma soma, de variáveis aparece negado (barrado). Os dois teoremas são: ( ) yx ⋅=+ yx )16( ( ) yxyx +=⋅ )17( Teoremas de DeMorgan Embora os teoremas tenham sido apresentados em termos das variáveis x e y, eles são igualmente válidos para situações em que x e/ou y são expressões com mais variáveis. ( ) ( ) CBACBA ⋅=+ Exemplo: 21 EXEMPLO: Simplifique a expressão para que ela tenha apenas variáveis simples invertidas. ( ) ( )DBCAz +⋅+= Solução ( ) ( ) ( ) ( )DBCADBCAz +++=+⋅+= Usando o teorema (17), temos: DBCA ⋅+⋅= DBCA ⋅+⋅= Os teoremas de DeMorgan podem ser estendidos para mais de duas variáveis ? Teoremas de DeMorgank Teoremas de DeMorgank Considere o complemento da soma lógica para três variáveis lógicas: zyx ++ ( ) zyx ⋅+= zyx ⋅⋅= Expressão semelhante ao teorema para 2 variáveis !! Raciocínio semelhante pode ser aplicado para o complemento da soma lógica de N variáveis. De forma semelhante, temos que: zyxzyx ++=⋅⋅ O teorema de DeMorgan para o complemento do produto lógico também pode ser estendido para N variáveis. 22 Teoremas de DeMorgank Analisando os teoremas de DeMorgan do ponto de vista das portas lógicas FIGURA 3-26 (a) Circuitos equivalentes relativos ao teorema (16); (b) símbolo alternativo para a função NOR. FIGURA 3-27 (a) Circuitos equivalentes relativos ao teorema (17); (b) símbolo alternativo para a função NAND. Universalidade das Portas NAND e NOR Todas as expressões Booleanas consistem em combinações das operações básicas OR, AND e INVERSOR. Entretanto, é possível implementar qualquer expressão usando apenas portas NAND, e nenhum outro tipo de porta lógica. FIGURA 3-29 As portas NAND podem ser usadas para implementar qualquer função booleana. INVERSOR